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关于液体压力分析中平均压强的思考黄亮(重庆市南开中学校重庆 )(收稿日期:)摘要:在分析浸没物体表面所受液体压力类问题时,运用平均压强可避开繁难的数学计算迅速求解但该方法有严格的应用前提,如果不注意物体几何形态与浸没姿态,贸然推广便缺乏必要的严谨性文章对平均压强的确定方法及其在求解压力中的应用原理进行了理论思考,并结合教学中的类常见实例探讨适用条件关键词:液体压力;分析;平均压强物体浸没时,外表面受到的液体压强往往随位置发生变化,对应的液体压力在中学阶段难以直接计算,但在分析现象时却频繁出现“平均压强”的引入提供了一种简便有效的解决方法,能帮助学生快速求解,协助教师定量分析该方法的应用有诸多前提,需要特别注意且平均压强的确定方法会随浸没面的几何形态与姿态不同而产生差异,情况较复杂相关教辅资料少有涉及,多定性讨论且结论含混,致使该处师生存疑较多矩形平面完全浸没解释浮力产生原因时,教材引出长方体没入水中的例子,如图所示图教材中浮力产生原因举例强调“长方体两个相对的侧面所受液体的压力相互平衡”从几何对称的角度给予定性论述时常有学生提问:能否计算出该面所受压力的具体数值?这是典型的由变压强求取压力的问题,显然超出学生的数学能力与知识储备,无法直接完成但是该类问题经转化后可用平均压强来处理 浸没面竖直以浸没长方体某侧面为研究对象,建立直角坐标系:h轴(x轴)和该面边线重合,且设该边线竖直y轴在液面上,如图所示在该侧面上取一小块“面积元素”dsadh面积元素上所受液体压力为dFpdsp adh由pg h可知:压强的本质是静流体内部应力,理想情况下(忽略液体密度变化)液体内部压强与研究点所在深度成正比,与朝向无关我们做出p h特性曲线(液体压强 深度曲线),如图所示图p h特性曲线(压强 深度曲线)图为一条过原点的倾斜直线,其斜率为k t a ndpdhg压强p是关于h的一次函数(正比例),两者成线性关系该侧面所受液体压力Fhhp adhahhpdh 年第期物理通报竞赛与物理专题研修a为侧面宽度是常数如图所示,式中的pdh对应于p h特性曲线上的窄边梯形的面积积分后上式可以理解为a与梯形A BHG的面积的乘积如图所示图p h特性曲线上的窄边梯形面积图梯形A BHG面积矩形A B E F面积中学阶段,之所以无法直接求解,关键问题就在于“梯形面积”的转化和推导Fahhpdhhhg h adhaghhhdhag(hh)()由式()不 难 看 出 求 解 过 程 可 以 转 化 为 用 矩 形A B E F的面积来“等效替代”梯形A BHG面积,该矩形与原梯形等宽(A B),而矩形的高(F A或E B)可认为是梯形中位线(D C)的长度,恰好是压强曲线的中点值pc,也就是侧面中心点(形心)处深度所对应的压强为g(hh)则矩形面积可以表示为pchh()替代过程的数学实质是“黎曼和”在“线性变化”下的一种特例观察图可知D EH与D F G全等所以,这样的代换在几何上是较好理解的替代后,压力Fpchh()a其中的hh()a项恰好就是所研究侧面的面积因此问题可以进一步等效成:所求压力等于受力面积与平均压强的乘积便于学生接受液体压强随深度线性增加,面积元素不随深度变化,所以“中心处压强”在数值上恰好就等于“平均压强”,是该方法的核心基于这个结论,分析问题时,压力计算可按下列方式进行:首先求取浸没部分的中心处深度值hchh()然后求解平均压强pcg hcghh()计算浸没面面积Sahh()最后计算该面所受液体压力FpcSghh()ahh()ag(hh)计算结果与式()完全一致全过程没有超出中学数学范围,学生能较快领悟并掌握 浸没面倾斜将图中长方体绕端面底边线旋转使其与竖直方向成角,保持端面完全浸没,底边仍与液面平行,如图所示图端面完全浸没且与竖直方向成角计算该端面所受液体压力为Fbg hxc o s()adxghbbc o saghbc o sa b()结果中的hbc o s为端面中心(形心)处深度,ghbc o s为中心(形心)处压强,即平均压强a b是端面面积若端面面积一定,中心点深度 年第期物理通报竞赛与物理专题研修不变则压力值与倾角无关结论:矩形平面完全浸没时,若有一条边与液面平行,则该面受到的液体压力等于其中心(对角线交点,形心)处压强(即平均压强)与面积的乘积圆形平面完全浸没 浸没面竖直将圆柱体浸没在液体中,令其一个端面(圆形平面)处于竖直状态,该端面最高点距离液面的深度为h如图所示图端面完全浸没且竖直取此面为研究对象,计算其所受液体压力FDg hRrs i n()rdrd dRg hRrs i n()rdr ghRRRs i ndg hR()R()D:;rR()在式()结果中的hR(),可理解为圆心处深度,g hR()则为圆心处压强,即平均压强 R为端面面积 浸没面倾斜将圆柱体浸没在液体中,其一个端面(圆形平面)与竖直方向成角,该端面圆心距离液面的深度为h如图所示图端面完全浸没且与竖直方向成角取此面为研究对象,计算其所受液体压力FDg hrs i nc o s()rdrdg dRhrs i nc o s()rdrg h RRs i nc o sdg hR()D:;rR()在式()结果中的h可理解为圆心处深度,g h则为圆心处压强,即平均压强 R为端面面积倾角积分时被消掉,不对结果造成影响说明压力值与无关结论:圆形平面完全浸没时,所受到的液体压力等于其圆心(形心)处压强(即平均压强)与面积的乘积三角形平面完全浸没 浸没面竖直(底边朝下)将直三棱柱浸没在液体中,令其端面(三角形平面)竖直,且端面中的一条边与液面平行,处于水平状态该端面最高点距离液面的深度为h如图所示图端面完全浸没且竖直设坐标原点与顶点重合两腰所在直线分别为ykxykx三角形高为a如图所示取此面为研究对象,则该三角形平面所受液体压力为Fag hx)(kxkx()dxg kk()haaghaakaka()()年第期物理通报竞赛与物理专题研修结果中的ha为距三角形顶点高处深度,由三角形性质可知此处水平线过其重心,因此可理解为三角形重心处深度则gha为重心处压强,即平均压强akaka()为该三角形平面的面积该情景下的平均压强并不是三角形高的中点处对应的压强原因是压强随深度线性增加的同时,面积元ds也随深度线性增加,两者乘积就不再随深度线性变化这里的“平均”应该考虑对压力值的影响“权重”是一种“带权平均”因此平均压强对应的深度位置更加靠近底边总压力只同重心处压强和面积有关,与形状无关此情况中,若三角形的高、底不变,k、k的取值不影响压力值 浸没面倾斜(底边朝下)将 中的直三棱柱绕其一条底边旋转保持该边水平,端面完全浸没,且和竖直方向成角如图所示图端面完全浸没且与竖直方向成角此端面所受液体压力为Fag hxc o s)(kxkx()dxg kk()haac o sghac o sakaka()()结果中的hac o s仍为三角 形重心所在 深度,ghac o s为重心处压强,即平均压强akaka()为三角形面积当三角形底边水平时,若重心深度不变,其受到的液体压力与倾斜角度无关 浸没面竖直(底边朝上)将 中直三棱柱绕z轴旋转使端面底边朝上且平行于液面,保持端面竖直,重建坐标系如图 所示图 端面完全浸没且竖直(底边朝上)则其受到的液体压力为Fag hx()baxbcaxcdxga habc()ghabc()a()结果中的gha为重心处压强,即平均压强bc()a为三角形面积 浸没面倾斜(底边朝上)将 中直三棱柱绕y轴旋转,使其端面与竖直方向成角,如图 所示图 端面完全浸没且与竖直方向成角(底边朝上)则该端面所受液体压力为Fag hxc o s()baxbcaxcdxga hac o sbc()ghac o sbc()a()年第期物理通报竞赛与物理专题研修结果中的hac o s为三角形重心所处深度,ghac o s为 重 心 处 压 强,即 平 均 压 强bc()a为三角形面积当三角形底边水平时,若重心深度不变,其受到的液体压力与倾斜角度无关结论:三角形平面完全浸没时,若有一条边与液面平行,则该面受到的液体压力等于其重心(形心)处压强(即平均压强)与面积的乘积若三角形平面底边不水平,如图 所示可用水平线将其分割后分别求解,再求总压力因此,在求解任意浸没多边形平面所受液体压力时,可先分割成三角形,后再按上述思路水平分割 与 中若矩形面没有边与水平面平行,也可以按此思路进行水平分割图 A B C为浸没三角形面(过B作水平线B D)【例题】试计算浸没直角梯形平面受到的液体压力(底边水平)(图)图 浸没直角梯形面解:将梯形沿竖直虚线分割矩形面积Sa c,平均压强pghc,压力为FpSghca c三角形面积Sba()c,平均压强pghc,压力为FpSghcba()c则梯形面所受液体压力FFFghb cha cb ca c验证:按图 所示建立坐标系图 浸没直角梯形面取面积元素并积分计算其所受压力Fcg(hx)bacxadxghb cha cb ca c与用平均压强方法计算结果一致平均压强也可用于容器平面内壁(方形水池侧壁等)受到的液体压力求解结束语当浸没面为平面时,通过合理归类与分割,找准各情况下对应的“平均压强”是关键在此基础上,中学教学中出现的大多数此类问题均能用简单的初等几何知识进行定量分析,方便深入地解释有关现象以此引导学生对压强、压力以及浮力等与之联系的物理概念及事件形成准确、全面的理解,且不违背基本规律与事实,进而为数理方法的进一步学习积累认知素材非圆平面、非多边形平面(如椭圆边、二次函数曲线边、三角函数曲线边等)及曲面等情况需另行分析参 考 文 献人民教育出版社,课程教材研究所,物理课程教材研究开发中心义务教育教科书物理八年级下册M北京:年第期物理通报竞赛与物理专题研修人民教育出版社,:郑永令,贾起民力学(下册)M上海:复旦大学出版社,:同济大学数学系高等数学(上册)M北京:高等教育出版社,:O nt h eC o n s i d e r a t i o no fA v e r a g eP r e s s u r ei nL i q u i dP r e s s u r eA n a l y s i sHUAN GL i a n g(C h o n g q i n gN a n k a i S e c o n d a r yS c h o o l,C h o n g q i n g )A b s t r a c t:W h e na n a l y z i n gp r o b l e m s r e l a t e d t o t h ep r e s s u r e e x e r t e db y l i q u i d so ns u bm e r g e do b j e c t s,t h eu s e o fa v e r a g ep r e s s u r ec a nq u i c k l ys o l v e t h ep r o b l e m w i t h o u tc o m p l e xm a t h e m a t i c a l c a l c u l a t i o n s H o w e v e r,t h i sm e t h o dh a ss t r i c tp r e r e q u i s i t e s I f t h eg e o m e t r i cs h a p eo f t h eo b j e c t a n d i t s s u bm e r g e dp o s t u r ea r en o t t a k e n i n t oa c c o u n t,b l i n d l yg e n e r a l i z i n gt h e m e t h o dl a c k st h en e c e s s a r yr i g o r T h i sa r t i c l et h e o r e t i c a l l yc o n s i d e r st h e m e t h o do fd e t e r m i n i n ga v e r a g ep r e s s u r e a n d i t s a p p l i c a t i o np r i n c i p l e i ns o l v i n gp r e s s u r ep r o b l e m s,a n de x p l o r e s t h e a p p l i c a b l ec o n d i t i o n s t h r o u g ht h r e ec o mm o ne x a m p l e s i nt e a c h i n g K e yw o r d s:l i q u i dp r e s s u r e;a n a l y s i s;a v e r a g ep r e s s u r e(上接第 页)中华人民共和国教育部教育部关于印发 高等学校课程思政建设指导纲要的通知:教高 号A/O L()h t t p s:/w ww g o v c n/z h e n g c e/z h e n g c e k u/c o n t e n t_ h t m?e q i dd c c 施郁评冯端和金国钧的 凝聚态物理学 J现代物理知识,():田强,涂清云凝聚态物理学进展M北京:科学出版社,朱劲松南京大学凝聚态物理学科J,物理,():冯端,金国钧凝聚态物理学(上卷)M北京:高等教育出版社,俞健,陈涛,马广兴,等固体与半导体物理教学改革及课程思政探讨J教育教学论坛,():陈占林,王建伟,赵志军,等“固体物理”教学中思政元素的发掘与融合J教育教学论坛,():江苏省教育厅 关于深入推进全省高等学校课程思政建设的实施意见(苏教高 号)E B/O L()()h t t p:/j y t j i a n g s u g o v c n/a r t/a r t_ _ h t m l P r a c t i c e o nI d e o l o g i c a l a n dP o l i t i c a lE d u c a t i o no fC u r r i c u l u mT e a c h i n g i nC o n d e n s e dM a t t e rP h y s i c sGO N GL o n g y a n(C o l l e g eo fS c i e n c e,N a n j i n gU n i v e r s i t yo fP o s t s a n dT e l e c o mm u n i c a t i o n s,J i a n g s u,N a n j i n g )A b s t r a c t:C o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c si sa ne x t e n s i o no fs o l i ds t a t ep h y s i c s I th a sb o t hr i c ht h e o r e t i c a lc o n t e n ta n dm a n yp r a c t i c a lu t i l i t y A c c o r d i n gt ot h ec o u r s ec h a r a c t e r i s t i c,i d e o l o g i c a la n d p o l i t i c a le l e m e n t sf r o m s c i e n t i s ta n de n t r e p r e n e u r sa r e e x p l o r e d T h e s e e l e m e n t s a r e a p p l i e d t o c u r r i c u l u m o b j e c t i v e s,c o u r s e s y l l a b u s,t e a c h i n g p l a n,c o u r s e w a r e,c l a s s r o o mt e a c h i n ga n d f i n a l e x a m i n a t i o n A l l t h e s e s t e p sb r i n gk n o w l e d g e t e a c h i n g,a b i l i t y t r a i n i n ga n dv a l u em o d e l i n g t o g e t h e r A t t h e s a m e t i m e,s t u d e n t s e a s i l ya c c e p t t h e mK e yw o r d s:c o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s;i d e o l o g i c a l a n dp o l i t i c a l e d u c a t i o n;t e a c h i n gp r a c t i c e 年第期物理通报竞赛与物理专题研修