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185基于核心素养下贝叶斯公式及算法的教学探究基于核心素养下贝叶斯公式及算法的教学探究张晓丽（运城师范高等专科学校，山西 运城044000）摘要：核心素养的培养是一个潜移默化的过程，只有将其融入到课堂教学中，才能使学生在学习的过程中逐渐将理论知识转化为实践能力。本文以贝叶斯公式及Bayes算法教学设计为案例，主要从贝叶斯公式的来源、Bayes算法的推导、公式之间关系及实际应用四方面着手，将核心素养能力培养融入到每一部分内容讲解中，让学生基于概率统计知识学习的同时，掌握用大数据分类算法分析解决实际问题的综合能力和思维创造力。关键词：核心素养；课堂教学；数据分析；贝叶斯公式；Bayes算法中图分类号：F224.7文献识别码：A文章编号：2095-3771(2023)05-0018-05国际DOI编码：10.3969/j.issn.2095-3771.2023.05.005概率论与数理统计作为一门数学基础课程，其逻辑严密、应用广泛，通过对一些基本概念和理论知识、具体运算等内容的讲解，有效增强了学生将概率统计知识和分析方法用于解决实际问题的能力和思维创造力，进而提升学生核心素养。而课堂作为提高数学核心素养的主要抓手，要求教师在备课、讲课时只有将核心素养与课堂教学不断融合，才能使学生在对具体知识有深刻理解的基础上，将其逐渐转化为理性认知。本文在对相关领域研究现状进行分析的基础上，结合概率统计教学设计中的案例分析，这里主要以贝叶斯公式及算法（以下简称Bayes算法）教学设计为案例，通过对公式的来源、关系和基本应用的讲解，使学生在具体理论知识学习的过程中，具备用数学思想和方法解决、分析实际问题的能力，进而提升学生数学应用素养。1 研究现状基于核心素养下对概率统计这门课程进行教学研究的文献有很多。如有学者提出用文本分析法来优化中小学概率统计教学内容，该方法分析了从小学到高中的所有概率统计课程及教材，使学生的认知发展与知识理论相匹配1，该方法确实能使课程内容布局更加合理，但概率统计作为一门应用范围广、实用性很强的课程，对大学生就业及能力提升的重要性不言而喻，因此，该内容中缺少基于大学视角下的课程教学规划。还有一些学者从数学建模角度，提出将数学建模核心素养及思想融入概率统计课程教学中，以此夯实学生数学建模基础2-3，但数学建模与数据分析是分不开的，若缺少信息技术（如编程、数据分析）的支撑，则很难提升学生的建模能力。伴随大数据时代的到来，近几年，又有学者通过对历年高中数学高考试题进行研究后，提出将数据分析素养和能力训练融入高中数学课程教学中4，但数据分析的统计基础源于概率统计这门课程，因此，更应该将数据分析与概率统计相结合，培养学生数据分析能力。为了使数学核心素养的培养更有针对性、实效性，本文以大学概率统计教材中贝叶斯公式一节内容为重点，通过对公式的来源、关系及具体应用的讲解，使学生在理解抽象的统计理论知识的同时，能进一步将理论应用于实际生活，并对数据分析处理思路、方法以及整个处理过程都有更加系张晓丽(1987)，女，讲师，硕士，研究方向：经济数学。基金项目：山西省教育科学“十三五”课题（GH-19292）。集宁师范学院学报/Sep.2023/No.519统全面的了解，进一步增强学生数据分析素养的培养，进而提升学生用大数据分类算法解决实际问题的能力。2 贝叶斯公式及算法案例分析贝叶斯公式是由全概率公式推出的。通过这部分的学习，使学生了解全概率公式与贝叶斯公式的基本思想，掌握全概率公式与贝叶斯公式的适用范围、关系及具体运用情形，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提升学生数学应用意识和技能。2.1 全概率公式与贝叶斯公式之间的关系在一些复杂事件概率问题的计算中，虽然全概率公式起着举足轻重的作用，但其作用正好与贝叶斯公式相反5。可以说，全概率公式与贝叶斯公式是对随机事件概率及性质、条件概率定义及乘法公式等内容的总结以及综合应用。从图1可以看出，贝叶斯公式是由全概率公式、条件概率定义、条件概率乘法公式综合推出的，而且这些公式之间也存在着某种特殊的关系，如条件概率定义推出条件概率乘法公式，条件概率乘法公式推出全概率公式，全概率公式推出贝叶斯公式。所以，贝叶斯公式是对条件概率定义、条件概率乘法公式以及全概率公式的总结和综合应用。二者的主要区别：1全概率公式中，将事件发生的概率()(=1,2,)叫做实验前的假设概率，表示各种原因发生的可能性大小，即称先验概率。贝叶斯公式中，如果事件结果B确实发生了，则应当重新估计事件原因发生的概率，因此，概率(/)(=1,2,)，叫做实验后的假设概率，即后验概率。二者之间的作用及思维方式不同。实际上，全概率公式与贝叶斯公式是两个作用完全相反的公式。全概率公式主要用于“由因推果”的概率计算问题，其主要思想采用的是化整为零、分类讨论的方法，即将一个复杂事件的概率计算问题转化为多个简单事件概率计算问题，最后通过求并集的方式得出最后结果；而贝叶斯公式主要用于“执果寻因”的概率计算问题，通过分析每个原因对事件结果发生所做的贡献比例，进而重新评估影响该事件发生的每一个因素的概率6。2.2 贝叶斯公式与 Bayes 算法之间的关系在大数据分析中，Bayes算法是基于贝叶斯公式、定理的一类算法，它主要利用概率统计知识来解决分类和回归问题，Bayes算法全称“朴素贝叶斯（Bayes）算法”。因为该算法的前提假设是各类别之间互不相关，也就是互相独立，而且这种假设是硬性的假设，有时候无法证明，因此就加上了“朴素”两个字。我们把P(A)称为“先验概率”，即当事件B尚未发生时，事件A发生的概率大小；P(A/B)称为“后验概率”，即当事件B发生以后，我们需要重新对事件A发生的概率进行评估，P(B/A)/P(B)称为“可能性函数”，这是一个调整因子，使事件发生的预测概率值更接近真实值。（如图2所示：后验概率=先验概率*调整因子）2.3 Bayes 算法的具体应用2.3.1 Bayes算法在实际生活中的应用案例例如：某院早上接诊了六位病人，其结果如表1所示：请预测第七个病人（打喷嚏的建筑工人）患上感冒的机率有多大？图1贝叶斯（Bayes）公式图2Bayes算法相关公式20表1某医院收入六位门诊病人情况序号症状职业疾病序号症状职业疾病1号打喷嚏护士感冒4号头痛建筑工人感冒2号打喷嚏农夫过敏5号打喷嚏教师感冒3号头痛建筑工人脑震荡6号头痛教师脑震荡从题型设置来看，该题正好与当下的疫情形势有关，比较贴近实际生活，体现了数学知识源于生活本身，又服务于生活的思想和理念，鼓励学生深度思考的同时，让数学走进学生的生活，激发学生自主学习的兴趣。由贝叶斯的朴素假设，打喷嚏和建筑工人之间互相独立。解：(感冒/打喷嚏建筑工人）=(感冒打喷嚏建筑工人)/（打喷嚏建筑工人）=(打喷嚏建筑工人/感冒)(感冒)/（打喷嚏建筑工人）=(打喷嚏/感冒)(建筑工人/感冒)(感冒)/（打喷嚏)(建筑工人）=（2/3 1/3 3/6）/(3/6 2/6)=0.662.3.2 Bayes算法在大数据分类预测中的应用案例数据准备：在模型建立之前，首先要准备样本数据，这里主要包括训练样本数据、测试样本数据和预测样本数据三个模块，训练样本数据主要用于模型建立，测试样本数据主要用于检验模型效果，预测样本数据主要用于模型预测。由于训练样本数据的质量对整个建模过程的影响比较重要，并且分类器的质量和分类效果很大程度上也是由训练样本数据中的变量特征属性、特征属性的划分以及训练样本数据质量决定的。因此，前期的训练样本数据准备也是Bayes算法中唯一需要人工完成的，必须由真实采样得出。测试样本数据通常要求是从真实分布中独立得出的。即，测试数据来源于训练数据，但不出现在训练数据中，也不参与前期的模型训练。预测样本数据是独立于训练样本数据和测试样本数据之外，只用于模型预测。数据选取：选取85个不同类型的花瓣样本数据进行研究，变量指标主要有萼片长、萼片宽及花瓣长、花瓣宽。其中，将60个数据作为样本训练数据，通过研究确定每个变量的特征属性，并将其进行适当的划分，建立训练样本数据模型；同时，将15个数据作为测试样本数据，用于检测训练模型效果；将剩余的10个数据作为预测样本数据，用于最后的分类预测。模型建立：将60个训练样本数据导入datahoop2.0数据分析平台，选取Bayes算法进行模型建立，建模结果如表2所示。从表2、图3和图4中可以看出，60个样本训练数据被分成两类，其中，0类有25个，1类有35个；模型预测正确率为0.96，AUC值为0.98786，两者的预测值几乎都等于1；模型准确率、召回率以及综合评分所对应的数值都比较高，说明模型结果比较准确。模型检验：为进一步检验上述模型分类效果，我们将15个测试数据导入数据平台，经对比计算，直接得出模型的分类预测结果统计表和测试模型混淆矩阵（如表3、表4所示）。表3分类预测结果统计表表2训练数据建模结果模型指标AccuracyAUC0.960.98786类别PrecisionRecallF1-scoreSupport00.944440.971430.957752510.974360.950.9620235图3 ROC曲线图4混淆矩阵21TRUEpredict类别0109（TP）1（FN）10（FP）5（TN）整体来看，15个测试数据中，有14个数据分类结果预测正确，只有1个预测错误，模型预测正确率为0.933，接近于1，说明模型分类效果好，预测准确率高，该模型可以用于后期的模型预测。具体来看，0类的准确率Precision=TP/(TP+FN)=0.9；0类的召回率Recall=TP/(TP+FP)=1.0；1类的准确率Precision=TN/(TN+FP)=1.0000；1类的召回率Recall=TN/(TN+FN)=0.8333；同时，0类与1类的模型综合评分F1-score分值都比较高，接近于1，说明建模效果确实不错，预测准确率高。注：上表中TP表示实际值为0、预测值为0的样本个数；FP表示实际值为0、预测值为1的样本个数；TN表示实际值为1、预测值为1的样本个数；FN表示实际值为1、预测值为0的样本个数。模型预测：将剩余的10个需要预测的样本数据导入数据平台，利用前期建好的模型直接进行预测，最终完成了对整个样本数据的处理。其结果如表5中y_predict所示：表5预测样本数据分类结果萼片长萼片宽花瓣长花瓣宽y_predictProbability(0)Probability(1)7.736.12.3011.6623E-127.135.92.100.9999999871.30588E-086.73.14.41.410.052695430.947304576.22.94.31.310.0017546240.99824537662.251.510.0220493040.9779506966.93.25.72.300.9999999996.37216E-106.33.362.5012.48576E-125.52.43.7111.493E-060.9999985077.23.66.12.5013.00591E-146.93.14.91.500.7762632620.2237367382.3.3核心素养在贝叶斯公式与Bayes算法教学中的体现任何一种算法，都有其独特的思想和灵魂。Bayes算法就是基于贝叶斯公式、定理而推出，又由大数据分析技术的发展而生成的。在教学设计过程中，通过讲解第一部分全概率公式与贝叶斯公式之间的关系，让学生切实理解贝叶斯理论形成的基本思想，锻炼学生的数学抽象思维；通过对第二部分贝叶斯公式与Bayes算法之间关系的学习，让学生在公式推导的过程中构建公式网络，熟练掌握公式之间的关系，提升数学逻辑推理能力；第三部分为Bayes算法的应用，以学生实践操作为主。主要以Bayes算法在大数据分类预测中的应用案例为主，通过数据选取、模型建立、模型检验、模型预测四个方面，借助于数据分析平台，将多媒体信息化教学融入到数学常规教学中，丰富了课堂教学效果和教学形式，同时，在学习的过程中也提升了学生的数学建模能力和数据分析能力。3 小结核心素养的培养是一个潜移默化的过程。贝叶斯公式及算法作为概率统计这门课程中看似简单的一节课，其背后内容融入了数学基本思想、公式推导、辩证关系及实际运用等内容。因此，为进一步提升学生数学综合运用素养，在今后的课堂教学中，应更加注重将数据分析技术与统计理论知识有效结合，将数学理论融入实际生活，从生活案例和大数据分析两个角度出发，使学生在解决实际问题的同时，不仅加深了对所学理论知识的理解，同时，对数据分析整个处理过程也有了更加系统全面的掌握，进一步增强了学生数据分析素养的培养，也增强了学生运用信息技术手段分析解决实际问题的能力和思维创造力。（下转第 27 页）表4测试模型混淆矩阵accuracy0.9333333PrecisionRecallF1-scoreSupport00.91.00000.9474911.00.83330.90916275刘金存.分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究D.呼和浩特:内蒙古大学.2016.6 Hu J,HuangY,Shen Q.Constructing both lower and upper bounds for the eigenvalues of elliptic operators bynonconforming finite element methodsJ.Numer Math,2015,(131):273-302.7刘发旺,庄平辉,刘青霞.分数阶偏微分方程数值方法及其应用,北京:科学出版社,2015.8张然,翟起龙.偏微分方程特征值问题的弱有限元方法J.中国科学:数学,2019,(12):1979-1994.9王芬玲,张景丽,樊明智,等.多项时间分数阶扩散方程类Wilson非协调元的超收敛分析J.应用数学,2018,(1):79-88.10高莉.偏微分方程数值解法对比研究J.企业科技与发展,2018,(2):195-197.Research on Teaching Methods for Solving Numerical Solutions of Partial DifferentialEquations Based on Finite Element MethodMENG Yi-chengWU Zheng-fei(Finance and Mathematics School,Huainan Normal University,Huainan,Anhui 232001）Abstract:Taking elliptic equation as an example,this paper studies the teaching method of solving numerical solutionof partial differential equation by finite element method in teaching,and summarizes the weak finite element method forsolving eigenvalue problem of elliptic partial differential equation.This method can give the asymptotic lower boundestimation of eigenvalue without constructing special finite element space and posterior error estimation.The asymptoticlower bound of eigenvalues is given by the weak finite element method,and the upper bound method of eigenvalues basedon interpolation post-processing is carried out.By using this algorithm,the upper bound estimation and lower boundestimation of eigenvalues can be obtained simultaneously under the condition of solving the eigenvalue problem only once.When solving the eigenvalue problem of partial differential equations,the weak finite element method can obtain theproperties of higher-order lower bound estimation.This kind of method can be applied to the eigenvalue of elliptic partialdifferential equation,and at the same time,the finite element method is calculated by Matlab tool,so that better teachingeffect can be obtained.Key words:teaching method;numerical solution;partial differential equation;finite element method;Matlab tools（上接第 21 页）参考文献：1刘楚欣.统计素养下中学概率统计教学研究D.福州:福建师范大学,2021.2刘易松.基于数学建模核心素养的高中“概率统计”教学研究D.牡丹江:牡丹江师范学院,2021.3王永静.数学建模思想在概率统计教学中的应用分析J.数学学习与研究,2021,(23):122-123.4张忠美.高中数学数据分析素养培养的研究D.重庆:西南大学,2021.5张建国.全概率公式与贝叶斯公式教学探析J.科教文汇:下旬刊,2016,(6):49-50.6陈中明.全概率公式与贝叶斯公式的启发式教学设计浅谈J.教育教学论坛,2019,(25):202-203.Teaching Exploration of Bayesian Formulas and Algorithms Based on Core LiteracyZHANG Xiao-li(Yuncheng Advanced Normal College,Yuncheng,Shanxi,044000)Abstract:The cultivation of core literacy exhibits subtle influence.Only by integrating it into classroom teaching canstudents gradually transform theoretical knowledge into practical ability in the process of learning.Taking the teachingdesign of Bayes formula and Bayes algorithm as a case,this paper mainly starts from four aspects:the source of Bayesformula,the derivation of Bayes algorithm,the relationship between formulas and practical application,and integrates thecultivation of core literacy ability into each part of the content explanation,so that students can master the comprehensiveability and thinking creativity of analyzing and solving practical problems with big data classification algorithm whilelearning based on probability and statistics knowledge.Key words:Core literacy;classroom teaching;data analysis;Bayes formula;Bayes algorithm