数学综合试卷三.doc

数学综合试卷三
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．若复数满足（是虚数单位），则 ．
2．已知集合A = {－1，0，1}，B = {0，1，2，3}，则A∩B = ．
3．若以连续掷两次骰子得到的点数分别作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为 ．
4．已知且，则 ．
5．已知定义域为的函数是奇函数，则 ．
6．右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 ．
7．在中，已知，，则＝ ．
8．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第
一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的
面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量
为1600，则中间一组（即第五组）的频数为 ．
9.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .
10．函数，且）的图象恒过点A，若点A在直线上，其中，则的最小值是 ．
11．已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前20项和为 ．
12．已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿，，三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的体积为 ．
13.已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .
14．设a、b均为大于1的自然数，函数，，若存在实数k，使得，则 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知分别为三个内角的对边，
（1）求 （2）若，的面积为；求.

16．（本小题14分）
P
A
D
B
C
E
如图，四棱锥中，⊥底面，⊥．底面为梯形，，，，点在棱上，且．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求证：∥平面．

17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．
（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆离心率e的值．

18．（本小题满分16分）
如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元．设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．
(1)写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
(2)问：中转点D距离A处多远时，S最小？

19． （本小题满分16分）
已知数列中，，，其前项和满足,其中，．
（1）求证；数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求使>2的n的取值范围．
（3）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．

20.（本小题满分16分）
已知函数，.
(1)求的最大值；
(2)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程恰有一解，其中是自然对数的底数，求实数的值.

数学综合试卷三参考答案
一.填空题：
1．； 2．{0，1}； 3．； 4．； 5．2； 6．7500；7．4； 8．360；
9．； 10．8 ； 11．55；12．； 13．(0，1/2) 14．4
二、解答题
15．（1）由正弦定理得：

----------------------7分
（2）----------------------7分
16.：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴，
又AB⊥BC，，∴⊥平面．
又平面，
∴平面⊥平面． ----------------------7分
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD内的射影．
又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD．
在梯形中，由AB⊥BC，AB=BC，得，
∴．又AC⊥AD，故为等腰直角三角形．
∴．
连接，交于点，则
在中，，
∴
又PD平面EAC，EM平面EAC，
∴PD∥平面EAC． ----------------------7分
17.（1）∵，∴
∵，∴，∴∴椭圆方程为
（2）设焦点∵关于x轴对称，∴
∵三点共线，∴，即①
∵，∴，即②
①②联立方程组，解得 ∴
∵C在椭圆上，∴，
化简得，∴, 故离心率为
18.解：(1)由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.
由正弦定理知＝＝，………2分
即CD＝，AD＝，………4分
所以S＝4AD＋8BD＋12CD＝12CD－4AD＋80
＝＋80 ………6分
＝20·＋60.………8分
(2)S′＝20·，令S′＝0得cos α＝ . ………10分
当cos α＞时，S′＜0；当cos α＜时，S′＞0，………12分
所以当cos α＝时，S取得最小值，………14分
此时sin α＝，AD＝＝，
所以中转点D距A处 km时，运输成本S最小．………16分
19． 解：（1）由已知，（，）， ………………2分
即（，），且．
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．
∴．……………………………………………………………………………4分
(2) ∵，∴

∴ …………………………………………………6分
代入不等式得：
设
∴在上单调递减， ………………………………………………8分
∵，
∴当n=1,n=2时,，
所以n的取值范围．为 …………………………………………10分
（3）,要使恒成立，
即恒成立，
恒成立，∴恒成立，…………………12分
（i）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为，．
（ii）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值， ．即，又为非零整数，则．…………………15分
综上所述：存在，使得对任意的，都有．……………16分
20．（1）因为，所以，……2分
由，且，得，由，且，，……4分
所以函数的单调增区间是，单调减区间是，
所以当时，取得最大值；………………………………6分
（2）因为对一切恒成立，
即对一切恒成立，
亦即对一切恒成立，……………………8分
设，因为，
故在上递减，在上递增， ，
所以． ……………………………………10分
（3）因为方程恰有一解，即恰有一解，即恰有一解，
由（1）知，在时，，…………………12分