基于Prandtl−Ishlinskii模型的麦克斯韦磁阻驱动器率相关磁滞特性建模与分析.pdf

文章编号：1009 444X（2023）01 0027 07基于 PrandtlIshlinskii 模型的麦克斯韦磁阻驱动器率相关磁滞特性建模与分析张旭，赖磊捷（上海工程技术大学 机械与汽车工程学院,上海 201620）摘要：为克服麦克斯韦磁阻驱动器材料内部磁场强度与磁感应强度之间强烈的磁滞非线性以及大气隙下漏磁增加等因素引发的驱动器控制电压与输出位移之间的磁滞特性，提出一种率相关改进型 PrandtlIshlinskii(PI)模型对磁阻驱动器的磁滞特性进行建模.分析磁阻驱动器结构及其磁路和磁力模型，同时搭建基于柔性机构的磁阻驱动微定位平台试验系统，验证磁滞模型.为克服驱动器磁滞非线性，优化改进传统 PI 模型，使其具有描述非对称率相关磁滞特性的能力，并利用粒子群算法完成参数辨识.通过对比试验验证所建模型对于磁阻驱动器磁滞非线性的描述能力.结果表明，不同频率输入信号下率相关 PI 模型输出与实际输出之间的均方根误差均小于 0.004 9 mm，仅为整体行程的 0.245%,证明了该模型的有效性和高精度.关键词：麦克斯韦磁阻驱动器；磁滞；Prandtl-Ishlinskii 模型；率相关中图分类号：TP29 文献标志码：AModeling and analysis of rate-dependent hysteresis characteristicsof Maxwell reluctance actuator based on PrandtlIshlinskii modelZHANGXu，LAILeijie（School of Mechanical and Automotive Engineering,Shanghai University of Engineering Science,Shanghai 201620,China）Abstract：In order to overcome the strong hysteresis nonlinearity between the internal magnetic field strengthand magnetic induction strength of Maxwell reluctance actuator materials and the hysteresis between theactuator control voltage and output displacement caused by the increase of magnetic leakage under the long airgap,a rate-dependent improved PrandtlIshlinskii (PI)model was proposed to model the hysteresischaracteristics of reluctance actuator.The structure,magnetic circuit and magnetic force model of reluctanceactuator were analyzed,and the experimental system of reluctance actuator micropositioning stage based onflexible mechanism was built for the verification of hysteresis model.In order to overcome the hysteresisnonlinearity of the actuator,the traditional PI model was optimized and improved to make it have the abilityto describe the asymmetric rate-dependent hysteresis characteristics,and the particle swarm optimizationalgorithm was used to complete the parameter identification.The comparative experiment was used to verifythe ability of the rate-dependent PI model to describe the hysteresis nonlinearity of the reluctance actuator.The results show that the root mean square error between the output of rate-dependent PI model and the actual 收稿日期：2021 12 26基金项目：国家自然科学基金项目资助（51605275）；上海市自然科学基金项目资助(21ZR1426000)作者简介：张旭（1996 ），男，在读硕士，研究方向为微纳米定位技术.E-mail：通信作者：赖磊捷（1984 ），男，副教授，博士，研究方向为微位移驱动控制、微纳制造装备等.E-mail： 第 37 卷 第 1 期上 海 工 程 技 术 大 学 学 报Vol.37 No.12023 年 3 月JOURNAL OF SHANGHAI UNIVERSITY OF ENGINEERING SCIENCEMar.2023output under different frequency input signals is less than 0.004 9 mm,which is only 0.245%of the overallstroke，and the effectiveness and high precision of the model are proved.Key words：Maxwell reluctance actuator；hysteresis；PrandtlIshlinskii(PI)model；rate-dependent 麦克斯韦磁阻驱动器作为微纳米定位技术中的新兴驱动器，近年来受到国内外学者的广泛关注1 3.不同于音圈电机依靠洛伦兹力进行驱动，麦克斯韦磁阻驱动器通过励磁线圈与永磁体共同作用产生麦克斯韦电磁正应力对动子进行推动.由于磁阻正应力与气隙中磁感应强度的平方成正比，因此该类驱动器具有较大的推力密度.由于驱动器线圈固定于磁轭上，避免了其重量对系统谐振频率的影响.由于磁阻驱动器磁轭及动子的铁磁材料内部磁场强度与磁感应强度之间存在强烈的磁滞非线性，因此在享受大推力等优点的同时，驱动器输入电流与动子位移之间存在严重的磁滞特性，限制了麦克斯韦磁阻驱动器在大行程微定位平台上的应用.对于磁滞非线性的补偿，目前存在多种磁滞模型，如 Bouc-Wen、Duhem 和 Backlash-like 等唯象磁滞模型及 Preisach、Prandtl-Ishlinskii（PI）等算子磁滞模型4 7.利用上述磁滞模型，国内外学者提出多种磁滞补偿控制器设计及辨识方法，成功地对不同材料的磁滞特性进行非线性补偿.例如，Rakotondrabe8采用 Bouc-Wen 模型设计了基于观测器的迟滞逆补偿控制器;Katalenic9建立基于 Duhem 模型的正逆磁滞模型，通过查找表方法考虑漏磁通效应，分别对 E 型和 C 型致动器开展力轨迹跟踪；Cruz-Hernandez 等10通过 Preisach模型，将非线性相移器设计为前馈网络，采用系统串 联 的 方 式 补 偿 滞 后 对 系 统 精 度 的 影 响；Ang等11 12观察到磁滞曲线的斜率与输入信号的变化率几乎是线性的，通过引入线性变化的动态权重函数构造率相关的 PI 模型，精确地描述 40 Hz以下的压电陶瓷的磁滞特性曲线.上述模型及算法较多应用于压电陶瓷驱动器及小行程磁阻驱动器（几十微米）的磁滞特性补偿.行程为数百微米甚至毫米级的麦克斯韦磁阻驱动器，其气隙中磁场变化剧烈，漏磁严重，输出力的非线性特性更为显著.另外，加工材料本身导致的带有率相关特性的磁滞非线性，使得普通控制器的控制效果极大降低.因此如何有效利用磁滞模型建立磁滞补偿器，实现大行程麦克斯韦磁阻驱动微定位平台的高精度控制，是目前的最大挑战.本研究提出一种改进型的率相关 PI 模型，实现大行程麦克斯韦磁阻驱动器磁滞特性的描述与补偿.1 磁阻驱动器结构及微定位平台 1.1 磁阻驱动器结构麦克斯韦磁阻驱动器结构如图 1 所示.驱动器呈对称结构，两组由硅钢片压叠制作而成的 C 型磁轭组成了驱动器的定子，由汝铁硼(Nd-Fe-B)烧结而成的永磁体用于构成永磁偏置磁路，以改善驱动器非线性13 14.励磁线圈安装在磁轭固定位置处，提供驱动器运动所需的励磁磁场.g1、g2、g3和 g4为驱动器气隙，驱动器结构尺寸见表 1.g4g1线圈动子铝合金外壳永磁体磁轭g2g3图 1 麦克斯韦磁阻驱动器结构Fig.1 Structure of Maxwell reluctance actuator 表 1 磁阻驱动器结构尺寸Table 1 Dimensions of reluctance actuator 尺寸/mm磁轭永磁体动子长1001518宽461515高151515垂直磁通方向横截面/mm2151515151515 图 2 为理想情况下驱动器单个 C 型磁轭中偏置磁路及励磁磁路的理想等效磁路.p为通过Rpm的磁通，由于驱动器结构对称，通过单个 C 型磁轭磁路分析，可获得驱动器输出推力 F 与励磁 28 上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 37 卷电流 I 之间的函数表达式.以气隙 g1和 g4所对应的磁轭为例，由电磁学基础理论可知，磁场具有可加性，当驱动器中仅有励磁线圈作用时，产生励磁磁路.同时，永磁体产生的偏置磁路与励磁磁路共同作用时，动子两侧磁感应强度出现差值，不仅增加了单位电流下所能产生的力，同时改善了驱动器的非线性.14pmR4R1RpmR4R11122421p1lr(a)偏置磁路(b)励磁磁路图 2 驱动器等效磁路Fig.2 Equivalent magnetic circuit of actuator 当永磁体单独作用时，根据电磁学理论相关计算公式可得pm=BrSRpm=Lpm0S（1）式中：Br为永磁体剩磁；Lpm为永磁体高度.联立磁阻计算公式可得气隙 g1、g2、g3和 g4中的磁阻为R2=R4=x0+x0SR1=R3=x0 x0S（2）计算可得气隙 g1、g4中磁感应强度 B11和 B14分别为B11=11S=RpmpmR1S=LpmBrx0 xB14=14S=RpmpmR4S=LpmBrx0+x（3）式中：x0为气隙初始宽度；x 为驱动器位移；Rpm为永磁体的磁阻；pm为永磁体内部磁场强度为 0 时产生的总磁通；1为流入永磁体的总偏置工作磁通；l=14和 r=11分 别 为 流 经 左 右 气 隙 磁 阻R1和 R4的磁通量；0为真空磁导率，等于 4107N/A2；S 为垂直于磁通量流动方向的磁轭及动子的横截面面积.对于图 2(b)中的励磁磁路，有2=2NIR1+R4=0NISx0B21=B24=0NIx0（4）式中：N=200 为线圈匝数.联立式(3)和(4)，由麦克斯韦电磁正应力公式可得驱动器输出力 F 为Fid=S20(B11+B21)2(B24B14)2（5）由于驱动器结构对称，因此驱动器产生的总推力 F=2Fid，将此推力驱动双平行四杆机构，如图 3所示.形成的微定位平台位移 x 为k=2Ebh3l3x=Fk=Fl32Ebh3（6）式中：k 为柔性机构刚度；E 为杨氏模量，由柔性机构材料决定，此处 E=71.7 GPa.柔性梁长度 l、宽度 b、厚度 h 分别为 63、15 和 2 mm.主运动平台机架二级运动平台hxylb图 3 双平行四杆机构Fig.3 Double parallel four-bar flexure mechanism 1.2 磁阻驱动微定位平台试验系统为测量磁滞特性，搭建基于 xPC target 和麦克斯韦磁阻驱动器的磁滞特性测量系统，如图 4 所示.其 中，线 性 放 大 器(CH808)将 数 据 采 集 卡(PCI6221)的输出电压(10+10 V)线性转换为驱动器输入电流(8+8 A).驱动器产生推力驱动柔性机构输出的位移由激光位移传感器(HLG103SJ，量程为4 mm)测量，并转换为10+10 V 的模拟量输出，由数据采集卡进行实时采集.2 率无关 PrandtlIshlinskii 模型式(5)建立了理想情况下输入电流 I 与推力F 之间的函数关系，但在实际应用中，中长行程的磁阻驱动器在大气隙下漏磁大大增加，气隙中磁第 1 期张旭 等：基于 PrandtlIshlinskii 模型的麦克斯韦磁阻驱动器率相关磁滞特性建模与分析 29 场分布不均匀程度剧烈上升，使得驱动器的磁滞非线性严重影响微定位平台的控制与应用.为补偿驱动器的磁滞非线性，需对磁滞特性进行建模.PI 模型由 Play 算子和密度函数加权叠加组成，结构简单且具有解析逆特性，广泛用于磁滞非线性的描述及构建磁滞补偿控制器.对于任意输入信号 u(t)Cm0,TH，传统 PI 算子定义为y(t)=p0u(t)+Ni=1piFriu(t)（7）Fri式中：u(t)为输入信号；y(t)为传统 PI 模型的输出；p0为正常数；N 为 Play 算子的个数；pi为阈值为 ri(1 i N)的 Play 算子对应的权重系数，通常由试验数据辨识获得；为 Play 算子的输出，可定义为Friu(0)=fri(u(0),y(0)Friu(t)=fri(u(t),Friu(tT)（8）fri(u,)=max(uri,min(u+ri,)（9）式中：T 为采样周期.阈值 ri通常根据输入信号的幅值进行选择，公式为ri=i1Nu(t),i=1,2,N（10）事实上，磁阻驱动器在大气隙下磁场变化剧烈，非线性增强，用于描述对称性磁滞非线性曲线的传统 PI 模型无法准确描述驱动器磁滞特性.为使 PI 算子拥有更强的非线性描述与补偿能力，用多 项 式 函 数 g(t)=a1u3(t)+a2u(t)改 变 传 统 PI算子的对称性，a1和 a2分别为多项式常系数.增强后 PI 模型表达式为y(t)=g(u(t)+Ni=1piFru(t)（11）由式（7）至（11）可知，即使改变传统 PI 模型的对称性，Play 算子的率无关特性也未发生变化.作为验证，当输入信号 u(t)=0.4sin(2ft)+0.7sin(6ft)+0.5，f 分别取 10 和 400 Hz 时，增强后的 PI 模型生成的磁滞曲线如图 5 所示.可以看出，模型生成的磁滞曲线未发生变化，验证了传统 PI 模型率无关性.磁 滞 模 型 的 辨 识 结 果 为：N=4，a1=0.072 0，a2=0.499 9，权重矩阵为 p=0.266 7 0.169 0 0.097 30.144 7.位移/mm位移/mm1.00.501.00.5000.51.000.51.0控制电压/V(a)10 Hz(b)400 Hz 控制电压/V图 5 不同频率输入信号下得到的率无关模型磁滞曲线Fig.5 Hysteresis curve of rate-independent model withdifferent frequency input signals 3 率相关 PrandtlIshlinskii 模型传统 PI 模型可以很好地描述麦克斯韦磁阻驱动器在低频时的磁滞特性，但与压电陶瓷驱动器类似，麦克斯韦磁阻驱动器的磁滞非线性有较强的速率相关特性.随着输入信号频率增加，磁滞曲线宽度逐渐增加，如图 6 所示.随着输入信号频率不断增加，传统率无关 PI 模型描述驱动器磁滞特性时会产生较大的误差.为更精确地描述和补偿麦克斯韦磁阻驱动器的磁滞特性，建立结合输入修形函数的率相关 PI 模型.数字控制系统大行程微定位平台MATLAB/Simulink实时工作平台D/AA/D软件数据采集卡线性放大器激光位移传感器柔性机构Maxwell磁阻驱动器采集系统图 4 麦克斯韦磁阻驱动器的磁滞特性测量系统Fig.4 Hysteresis characteristic measurement system ofMaxwell reluctance actuator 30 上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 37 卷位移/mm21001.22.43.64.86.0控制电压/V1 Hz5 Hz10 Hz图 6 驱动器磁滞非线性的率相关特性Fig.6 Rate-dependent characteristics of hysteresisnonlinearity of actuator 为改变传统 PI 模型中 Play 算子的率无关特性，同时控制改进后率相关 PI 模型中所包含的参数个数.利用修形函数对 Play 算子中的输入函数进行改进，率相关 PI 算子中修形函数的选择并不唯一，需要结合使用对象进行具体选择.由于麦克斯韦磁阻驱动器磁滞回线随着输入信号频率的增加而变宽，本研究中由输入信号及输入信号梯度组成的修形函数定义为s1(u)=u3(t)|u(t)|sh(u)=u3(t)+|u(t)|（12）u(t)式中：、为正实数，由试验数据辨识获得；为输入信号的梯度.结合输入修型函数的率相关PI 模型定义为y(t)=g(u(t)+Ni=1piFsriu(t)（13）其中Fsriu(0)=fsri(u(0),y(0)Fsriu(t)=fsri(u(t),Fsriu(tT)fsri(u,)=max(sl(u)ri,min(sh(u)+ri,)（14）选 择 输 入 信 号 u(t)=0.4sin(2ft)+0.7sin(6ft)+0.5，f 分别取 10 和 400 Hz，率相关 PI 模型生成的磁 滞 曲 线 如 图 7 所 示.其 中，N=4，a1=0.072 0，a2=0.499 9，权重矩阵为 p=0.266 7 0.169 0 0.097 30.144 7.通过引入修形函数获得的率相关 PI 模型可以更好地描述磁阻驱动器的磁滞非线性.然而，由于率相关 PI 模型为非线性模型，维数较高且约束较多，同时具有不可微分等特性，传统线性系统的辨识方法无法直接用于 PI 模型中参数的辨识.为获 得 精 度 较 高 的 PI 模 型，采 用 粒 子 群 算 法(PSO)对模型参数进行辨识15.为使粒子群算法快速收敛，获得最终的辨识结果，利用最小二乘原理得到的适应度函数定义为f(X)=ni=1(y(i)yd(i)2（15）X式中：=a1,a2,p1,p2,pN 为 PI 模型中待辨识参数；n 为采样信号的长度；y(i)为模型输出；yd(i)为试验测量得到的实际数据.4 参数辨识与验证为准确辨识率相关 PI 模型中所包含的参数，选择包含不同频率的正弦信号 u(t)=4+sin(10t)+2sin(20t)作为输入，对微定位平台磁滞特性进行测量.使用 Matlab 中 filtfilt 函数设计的基于切比雪夫 1 型滤波器，通带损失上限为 0.2 dB,截止频率为 10 Hz 的零相位滤波器对试验数据进行处理.利用处理后数据对 PI 模型进行训练，最终参数训练结果见表 2.位移/mm位移/mm1.00.501.00.5000.51.000.51.0控制电压/V(a)10 Hz(b)400 Hz 控制电压/V图 7 不同频率输入信号下得到的率相关模型磁滞曲线Fig.7 Hysteresis curve of rate-dependent model with differentfrequency input signals第 1 期张旭 等：基于 PrandtlIshlinskii 模型的麦克斯韦磁阻驱动器率相关磁滞特性建模与分析 31 表 2 率相关 PI 模型参数Table 2 Parameters of rate-dependent PI model 序号iripiai/100.076 20.076 20.091 521.50.119 80.180 70.239 8330.149 044.50.174 6560.047 067.50.134 5790.105 4810.50.111 49120.042 51013.50.008 8 率相关 PI 模型的模拟输出与实际输出对比如图 8 所示.由图可知，两者之间的拟合度较好，最大误差为 0.027 mm，仅为整体行程的 1.35%.为验证该组参数下 PI 模型对平台磁滞特性的拟合能力，将f=1，5，10 Hz 的不同频率信号u(t)=6sin(2ft)作为输入信号，对比率相关 PI 模型所产生的模拟输出磁滞曲线与微定位平台实际磁滞曲线，结果如图 9 所示.21.22.43.64.86.01.22.43.64.86.01.22.43.64.86.010位移/mm210位移/mm210位移/mm控制电压/V(a)1 Hz(b)5 Hz(c)10 Hz 控制电压/V控制电压/V实际输出率相关模型输出率无关模型输出图 9 不同频率输入信号下率相关 PI 模型预测结果与试验结果的对比Fig.9 Comparison between prediction results andexperimental results of rate-dependent PI model withdifferent frequency input signals 率无关 PI 模型只能描述较低频率下麦克斯韦磁阻驱动器的磁滞非线性，且随着频率增加，其输出与实际输出之间的误差逐渐变大，而采用率相关 Play 算子的率相关 PI 模型输出磁滞回线在不同频率下均表现出优异的磁滞描述能力.不同频率下率无关 PI 模型和率相关 PI 模型与实际输出之间的均方根误差见表 3.由表可知，率无关PI 模型的均方根误差随着频率的增加而增加；在较高频率下，率相关模型精度更高，更适用于大行程磁阻驱动器磁滞特性的描述.位移/mm误差/mm实际输出模型输出2100.0200.021.22.43.64.86.000.10.2控制电压/V(a)模型输出与实际位移对比(b)模型输出与实际输出之间的误差时间/s图 8 模拟数据与试验数据对比Fig.8 Comparison of simulated and experimental data 32 上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 37 卷表 3 不同频率下模型输出与实际输出间的均方根误差Table 3 Root mean square error(RMSE)between modeloutput and actual output at different frequencies 信号频率/Hz率相关模型/mm率无关模型/mm10.004 90.004 850.003 00.023 6100.004 10.050 9 5 结语本 研 究 利 用 修 形 函 数 优 化 传 统 PI 模 型 中Play 算子的率相关性，提出一种率相关 PI 模型.利用该模型描述行程为 2.5 mm 的大行程麦克斯韦磁阻驱动器的磁滞非线性，并对模型优化前后的率 相 关 特 性 进 行 验 证 与 对 比.结 果 表 明，在 5、10 Hz 等不同频率下，率相关模型的均方根误差远小于率无关模型，说明该模型在描述率相关磁滞特性时的有效性.本研究所提的率相关 PI 模型结构较为简单，容易辨识，为磁滞非线性的处理积累了经验.参考文献：谢晓丹,王博超,吴丹.电磁驱动快速刀具伺服机构的电磁场和驱动力J.清华大学学报(自然科学版)，2008，48（8）：1298 1301.1 KATALENIC A ,BOEIJ J D,BUTLER H,et al.Linearization of a current-actuator reluctance actuator withhysteresis compensationJ.Mechatronics，2013，23（2）：163 171.2 ZHU Z,CHEN L,TO S.A novel direct driveelectromagnetic XY nanopositioning stageJ.CIRPAnnals，2005，70（1）：415 388.3 邹亮,李庆民,许家响,等.考虑漏磁效应的永磁饱和型故障限流器磁路建模与实验研究J.中国电机工程学报，2012，32（21）：137 145.4 向洪岗,陈德桂,李兴文,等.基于三维磁场分析建立电磁铁等效磁路的研究J.西安交通大学学报，2003，5 37（8）：4.毛剑琴,丁海山.率相关迟滞非线性系统的智能化建模与控制J.中国科学:信息科学，2009，39（3）：289 304.6 贺一丹,王贞艳,何延昭,等.压电陶瓷作动器的改进Duhem迟滞建模J.压电与声光，2021，43（3）：431 434.7 RAKOTONDRABE M.Bouc-Wen modeling and inversemultiplicative structure to compensate hysteresis nonlinea-rity in piezoelectric actuatorsJ.IEEE Transactions onAutomation Science&Engineering，2011，8（2）：428 431.8 KATALENIC A.Control of reluctance actuators for high-precision positioningD.Eindhoven:Eindhoven Univer-sity of Technology,2013.9 CRUZ-HERNANDEZ J M,HAYWARD V.Phase 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