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北京邮电大学通信原理笔记第一章绪论1.1信息、消息、信号信息是要表示和传送的对象（内容），例如:“2001年7月13日北京申奥成功”即为一条信息。信息由消息表示，消息是表示信息的媒体，象语言、文字、图象、符号、声音等。同一条信息可以用不同的消息表示。例如前面用中文表示的中奥 信息也可由英文、法文、俄文、德文、日文等其他文字表示，也可用不同语言等 其他方式表示，这说明信息和消息有密切的关系，但它们并不等同。消息可分为连续消息和离散消息两大类。离散消息的可能取值是离散的、可数 的，例如文字、符号等都是离散消息。连续消息的可能取值是连续的、不可数的，例如语音、音乐、活动图象等都是连续消息。取两种值的离散消息称为二元消息 或二进制消息（例如取1,0或1,1）；取值数大于二的称为多元消息或多进 制消息。信号是与消息对应的某种物理量，通常它是时间的函数，例如随着时间变化的 电压（电流），随时间变化的电磁波等都是信号，这种信号统称为电信号。利用 电信号传送信息的通信称为电通信，简称电信。随时间变化的光（激光）称为光 信号，利用光信号传输信息的系统称为光通信系统。信号常常由消息变换而来。传输离散消息的通信系统通常称为数字通信系统；传输连续消息的通信系统称 为模拟通信系统。由于数字通信系统具有模拟系统不具有的许多优点，所以得到 了迅速的发展和应用。数字通信的特点可归纳为：1.抗干扰能力强，可消除噪声积累；可消除噪声积累；2.差错可控，传输性能好；3.便于与各种数字终端接口，用现代计算技术对信号进行处理、加工、变换、存储，形成智能网；4.便于集成化，从而使通信设备微型化；5.便于加密处理，且保密强度高。事物总是一分为二的，一般来说，数字通信的许多优点都是用比模拟通信占据 更宽的系统频带为代价而换取的。以电话为例，一路模拟电话通常只占据4KHz 宽带，但一路接近同样话音质量的数字电话可能要占据2060KHz的宽带，因 此数字通信的频带利用率不高。数字通信的另一个缺点是对同步要求高，系统设 备比较复杂。1.2模拟通信系统与数字能信系统图11模拟通信统模型1图12数字通信统模型1 3 离散消息的信息量离散消息靛种涓自取值称作其元素，简称元，在通信技术中常称其为符号或 码元。由消息的元素组成的集合称为消息集，例如：由26个英文字母abed.xyz 组成的集合就是一个26元的(或26进制的)消息集。信息通常由消息集的元素 构成的序列表示，例如由26个英文字母组成的词或句子就是这种表示信息的序 列。序列中每一个元素所表示的平均信息量与消息集的进制和各元素在序列中的 出现概率有关。设由 M 个符号 xl,x2,x3.xi.xM构成的M元消息集的无素xi在序列中出现的概率为：p(xi)i=l、2、.M,且 各符号在序列中出现相互独立，则每一个符号平均信息量等于：H p(xi)log2p(xi)bit/符号(12)i IM由于H同热力学中的嫡形式一样，故通常又称它为消息集的符号及商，单位为 bit/符号。可以证明，当消息集的各个元素(符号)在消息序列中等概独立出现 时，其符号夕商最大，等于：H i 1M11(13)log2 log2Mbit/符号 MM当二元消息集的元素在消息中等概率独立出现时，其符号埔最大，等于：H2=l bit/符号这个信息量就定为离散消息信息量的单位，称为bito例如：某消息集的符号嫡等于3 bit/符号，则其每一个符号所表示的平均信息 量为3 bit,换句话说，如果用二进制符号表示此消息集的符号，则平均须用3 个二进制符号。1.4通信系统的主要性能指标通信系统的最主要的性能指标是其有效性和可靠性。有效性是指在给定信道内 传输的信息量的多少，可靠性是指接收信息的准确程度。这两者是相互有联系又 有矛盾的，且可以互换。模拟通信系统的有效性通常用单位带宽内传送的电话路数或电视路数表示，而 可靠性是用接受端的输出信噪比来度量。数字通信系统的有效性的主要性能指标是传输速率、频带利用率。可靠性主要 是差错率。1.传输速率1)码元传输速率(Rg)一码元传输速率简称传码率，也称码元速率或符号速率。它被定义为单位时间(si)内传输码元的数目，单位为波特，记为Baud或B。码元速率与所传的码元进制 无关，即码元可以是多进制的也可以是二进制的。通常一个M进制的码元可以 用log2M个二进制码元表示。码元速率双叫做调制速率。它表示信号调制过程中，1秒中内调制信号波形的 变换次数。2如果一个单位调制信号波形的时间长度为T秒，则调制速率为RB 1BT(1T)2)信息传输速率(Rb)信息传输速率简称传信率，又称信息速率。它被定义为单位时间(si)(15)或单位带宽f(l6)其中：Af为系统带宽。严格讲，第二种表示方法更为确切地反映了系统的频带利用率。3.可靠性指标数字通信系统的可靠性指标是差错率，常用误码率和误信率表示。误码率(也 称误符号率)为接收码元错误的概率，可表示为：Pe错误码元数传输总码元数(17)误信率(也称误比特率)是信息比特错误的概率，可表示为：Pb错误比特 数 传输总比特数(18)显然，对于二进制有：Pb=Pe对于多进制，我们以八进制为例说明：八进制符号x0,xl,x7与二进制符号1,0的编码关系如图所示：X0 000XI 一 001X2 010X3 一 onX4 100X5 101X6 一 noX7 一 ni假设传送了 1000个八进制符号，接受端错判了 10个符号，则误码率约为1%。传送的1000个八进制符号等价于3000个二进制符号，错误的10个八进制符号 引起的二进制符号的错误数目小于30。因为由上图可见，由X0错至u XI或X2或 X4只引起一个二进制符号的错误，由X0错到X3或X5或X6引起两个二进 制符号的错误，而由X0错到X7才引起三个二进制符号的错误。由此可见，对 于多进制通信系统，误信率(误比特率)小于误码率。3第二章随机过程2.1 随机过程的基本概念2.1.1 定义随机过程是随时间变化的随机变量，它的实现(样本函数)是时间函数。无穷 多个样本函数(实现)的集合构成一个随机过程。我们用大写字母X(t),Y(t),Z(t)，等表示随机过程；用小写字母x(t),y(t),z(t)等表示对应的随机过程的实现(样 本函数)。在确定的时刻tl,随机过程X(tl),是一个随机变量在时刻tl,t2,X(tl),X(t2)构成一个二维的随机向量；在时亥(J,tn,X(tl),X(t2),X(t3).,X(tn),构成一个 n维的随机向量。2.1.2 分布函数和概率密度随机过程X(t)在任意一个时刻tl的取值是随机变量X(tl),则随机变量X(tl)小于或等于某一数值X1的概率：Fl(xl,tl)pX(tl)xlFl(xl,tl)fl(xl?tl)xl(21)称作随机过程X(t)饿一维分布函数。如 果存在(22)则称为X(t)的一维概率密度。显然，随机过程的一维分布函数和一维概率密度仅仅描述随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有反映随机过程在各个时刻取值之间的(23)"Fn(x l,x2,.,xn;t,tn)fn(x l,x2,.,xn;t,tn)xl x2.xn(2i则称其为X(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描 述就越充分。2.1.3 随机过程的数字特征在实际工作中，有时不需要了解随机过程的分布函数和概率密度，只需知道随 机过程的某些数字特征，如均值、方差及相关函数等即可满足需要。下面介绍几种主要的数字特征：(1)均值(数学期望或统计平均)：EX(t)xf(x,t)dx 1(2-5)并记为EX(t)=a(t)o均值表示随机过程的摆动中心。(2)方差：4DX(t)EX(t)a(t)2 EX(t)2a(t)2 22 xf(x,t)dxa(t)1(26)DX(t)常记为。2(t)o可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示 随机过程在某时刻对于其均值的偏离程度。当均值a(t)=O时，方差为o2(t)=EX(t)2(27)均值和方差是刻画随机过程在各个孤立时刻统计特性的重要数字特征，为了描 述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数 字特征。(3)相关函数：在衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度时，常用自协 方差函数B(tl,t2)和自相关函数R(tl,t2)来表示。其定义分别为：Btl,t2 E X(tl)a(tl)X(t2)a(t2)R(tl,t2)EX(tl)X(t2)(28)(29)X(t)与 Y(t)的互相关函数定义为：RXY(tl,t2)EX(tl)Y(t2)(210)2.2 平稳随机过程2.2.1 狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程，又称严平稳妥过程。其n维分布函数和n维概率密度与时 间起点无关。平隐随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。例如，其一维 概率密度与时间无关fl(x,t)fl(x)(211)而二维概率密度函数只与时间间隔有关f2(xl,x2;tl,t2)f2(xl,x2;)其中：t2tl(212)2.2.2 广义平稳随机过程广义平衡随机过程，又称宽平稳随机过程。其定义为：若随机过程的数学期望 和方差与时间无关，而相关函数仅与时间间隔工有关，即a(t)a,t 2R(tl,tl)R()(213)则称其为广义平稳随机过程。在通信系统中所遇到的信号及噪声的大多数均可视为广义平稳随机过程。后面 的分析中如果不加特殊说明，平稳随机过程均指广义平稳随机过程。可以证明，狭义平稳随机过程一定是广义平稳随机过程；广义平稳随机过程不 一定是狭义平稳随机过程。2.2.3 广义平稳随机过程的性质1.各态历经性(遍历性)5设x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个实现(样函数)，若X(t)的数字 特征(统计平均)可由X(t)的时间平均代替，即la a limT2x(t)dtT T2T1 limT2x(t)a2dtT T222T(214)1R()R()limT2x(t)x(t)dtT T2则称平稳过程X(t)具有各态历经性，简称遍历性。注意，只有平稳随机过程才具有遍历性，在能信系统中所遇到的随机信号和器 声，一般均能满足遍历条件。2.自相关函数的性质设X(t)为平稳随机过程，则其自相关函数具有如下性质：(l)R(0)=EX2(t)=S(X(t)的平均功率)(215)(2)R(t)=(t)(R是偶函数)(216)(3)|R(t)|R(0)(R的上界)(217)(4)R(oo)=E2X(t)(X(t)的直流功率)(218)(5)R(0)R(oo)=o2(方差，X(t)的交流功率)(219)3 功率谱密度平稳随机、程的功率谱密度表示其单位带宽中平均功率在不同频率上的分布 情况。可以证明：平稳随机过程的功率谱密度Px(3)与其自相关函数Rx是一 对傅立叶变换，即TPx()j R()ed(2-20)XlRx()2 兀 PX()d(2-21)1当 0 时，有RX(O)2兀 P2X()d(2-22)由前可知，RX(O)EX(切是随机过程的总平均功率So由此可以看出PX(3)的物理含义，即单位带宽中的平均功率。关系式(220)和(221)在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要 的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。2.2.4白噪声1.定义：白噪声是带宽非常大的噪声的数学模型。其定义为：均值为0的平 稳随机过程，其功率谱密度在整个频段为一常数。通常用n(t)表示白噪声，其功 率谱密度为：Pn()n0 2(223)相据关系式(221)可以得到白噪声6的自相关函数为：Rn()no()2(224)2.白噪声的某些特性令：n(t)(t)dt,其中：为确定函数非随机0T可以证明，自是高斯随机变量，其均值(数学期望)及方差可由以下方法求得:令心的数学期望为萌则：Ta E()E n(t)(t)dtTEn(t)(t)dt 0的方差为：D E(a)2 E(2)T T E n(tl)(tl)dtl n(t2)(t2)dt20 0TT E n(tl)n(t2)(tl)(t2)dtldt200E n(tl)n(t2)(tl)(t2)dtldt200TTTTOOnO(tlt2)(tl)(t2)dtldt2 2noT2(t2)dt22 0当.t 1 时，有：(2-25)D noT2(226)2.3高斯随机过程1.定义任意n维分布都服从正态分布的随机过程称为高斯过程。2.重要性质(1)若高斯过程是广义平衡的，则也是狭义平稳的；(2)若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的；(3)若干个高斯过程之和的过程仍是高期型；(4)高斯过程经过线性过线变换(或线性系统)后的过程仍是高斯型。73.一维概率密度和分布函数1)概率密度函数高斯过程在给定任二时刻上，则是一高期随机变量，其概率密度函数可表示为(xa)2 fifx)exP 222 2兀 1式中，a及o2为两个常量。当a=0,o=l时，称f(x)为标准正态概率密度函数。2)正态分布函数正态分布函数是正态概率密度函数的积分，即：P(X x)F(x)x(za)2 exP dz 222兀 2 1通常高斯分布概率积分函数，简称概 率积分表示，其定义为：(x)12 z2 dz exP 2 x这个积分只能利用数值法计算，一般数学手册中有它的数值表，可以查阅。正态分布函数 可以由概率积分函数表示：xa P(X x)F(x)可以证明：(X)(X)1;lerfc(x)1 22x.2x;2 其中:erfc(x)1 erf(x)称作互补误差函数；xez2dzerf(x)2 xOezdz 2称作误差函数。第二章确定信号分析2.1 引言通信系统中利用信号表示信息和传关信息.一般信号是时间的函数.确定信号是 指可以用确定的时间函数表示的信号.实际载荷信息的各种信号是许多信号的集 合体，并具有一定的统计规律性.这种信号称作随机信号，将在第三章研究.本章 研究的确定信号可以是随机信号的样函数(实现)或是载波信号的数学模型.2.2 确定信号的分类分类方法很多，例如，分为周期信号和非周期信号，能量信号与功率信号，模 拟信号与8数字信号，基带信号与频带信号等，本章主要用第一和第二种分类法.2.2.1 周期信号定义：若f(t)f(tT)对于任何t值成立，其中T为任一常数，则称f(t)为周期信 号，T为其周期.性质：1)若T是f(t)的周期，则nT也是f(t)的周期.其中n为任意整.即：f(t)f(tnT)2)s(t)f(at)的周期等于T/a TT3)其中:c为任意常数 f(t)dt f(x)dt 004)同周期信号的和、差、积也是周期信号，且具有同一周期.例如：eix=cosx+于sinx的周期为2兀2.2.2能量信号与功率信号若f(t)表示一欧姆电阻上的电压(V),则电流i(t)f(t)(A),在电阻上消耗的能量 为:Ef f2(t)dt,若Ef，则称f(t)为能量信号.一般限时信号的能量有限，为能量 信号.非限时信号也有能量有限的，例如:e无限大，因此不是能量信号el等，因而是能量信号.周期信号的能量21若里)的平均功率limitTlT12Tl2f2(t)dt 0,但，则称f(t)为功率信号.不艰看出周期信号是功率信号.非周期不限时信号也可能是功率信号，例 如，随机噪声的样函数(实现)等.2.3周期信号的三角付立叶级数(谐波分析)令f(t)为周期信号，周期为T,且满足狄里赫利条件*(一般实际信号均满足)，则f(t)可展开为以下级数：f(t)aQ ancosn Obnsinn 0(2.3.1)ttn t 式中:ao 2an T bn 2TcTITcT f(t)dtcO f(t)cosn tdtccT 0 C f(t)sinn tdtT 2其中：c为常数，其值可任选。通常选c 9则有：a0 1TT2T2 f(t)dt an 22f(t)cosn tdt b f(t)sinn OtdtOn TTTT22T2T2*狄里赫利条件为：在一个周期,2.3.2由式(2.3.2)可见，周期信号展开为许多不同幅度、频率和相位的正弦信号之 和。这些信号称作f(t)的谐波。其中：c0为直流分量，clcos(30t+i)3)称为f(t)的 一次谐波(又称基波，)cncos(n30t+i)3)称作f(t)的n次谐波。Cn与3的关系称 作f(t)的幅度一频率特性，简称幅-频特性，它表示不同谐波幅度大小与频率的关 系。n与3的关系称作f(t)的相位-频率特性，简称相-频特性，它表示不同谐 波相位与频率的关系。不难看出cnn仅在3=n30处有值(n=l,2,3,.)因 此，Cm)n与3的关系是离散的，因此称作离散频谱。(也称线频谱)。谱线间隔 为0 2m T愈大，3。愈小，即谱线愈密。TIjx(eejx)(2.4.1)224周期信号的指数付立叶级数利用欧拉公式COSX可以将三角付立叶级数化为指数信立叶级数。后者分析和计算比较方便，因此 应用广泛。据式(2.4.1)有：cnj njn denjnjn cncosn Ot n eeee(2.4.2)22令：Fn cnj nee,F nej n 且：n n 22贝Uf(t)可表示为：f(t)1 其中:Fn Tn T2T2 Fenjn d t.2.4.3,2.4.4f(t)ejn ddt一般情况，Fn,F-n是复数，若f(t)是实函数，则Fn和F-n 一对共甄复数，即：Fn=F*-n见式(2.4.2)止匕时有：|Fn|=|F-n|=cn;n n 2|Fn|与3的关系称作f(t)的幅度-频率特性，简称幅度频谱，它表示f(t)的各谐 波分量的幅度与频率关系。n与3的关系称作f(t)的相位-频率特性，简称相位 频谱，它表示f(t)的各谐波10分量的相位与频率的关系不难看出，幅度频谱是3的偶函数，相位频谱是3的奇函数，它们仅在 o=nco0(n=0,l,2,3整数)即频率取离散值时有值，因此称其为离散频谱，又称为线频谱。又因co取正负值，故又称双边频谱。许多情况利用信号的频谱 进行分析比较直观方便。2.5.信号的付立叶变换周期信号的频谱分析可以推广到非周期信号。令f为非周期信号，其持续时间为tl,即f(f)=O,t>T/2,或t<172。现以T>Tl为周期将f延拓为周期信号F(t)n(tnT)其中：n=0,l,2,3.整数。不难看出，当 T-oo时，则在一oo<t<+oo区间 F(t)=f(t),BP LimitF(t)=f(t)因此我们可以研究当T-oo时，周期信号F(t)的付立叶级数的变化情况。令F(t)满足狄里赫利条件，则可展开为付立叶级数：t.F(t)Fnejn d,2.5.1 n其中：Fn 12?gn dF(t)edt 2.5.20 TTT2T2将式(2.5.2)代入式(2.5.1)得：T 2 1 F(t)F(t)ejm ddt ejn dn TT 21 27m T2 F(t)e T2jn ddt ejn d 0当T 时，0则有:2兀d,n 0,Tj dj tf(t)edted lf(t)limitF(t)2 兀T令：F()财：f(t)edt(2.5.3)lf(t)2兀 F()ej td(2.5.4)11式(2.5.3)称为f(t)的付立叶变换，又称作频谱密度。式(2.5.4)称作f(t)的付 立叶反变换。两式称为f(t)的付立叶变换对，表示为：f(t)f(co)下面说明为何称F(3)为f(t)的频谱密度。已知：Fn 1TT2T2 F(t)ejn ddt其中：0 2兀为Fn和Fn+1之间的角频率间隔，其频率间隔等于：Tf 02兀1,可以将F/Af看作平均频谱密度(单位带宽中的频谱)。当T-s时，有：TT2 Fnjn dlimit limit F(t)edt f(t)ej tdt F()(2.5.5)ff 2由式(255)可看出F(3)的物理意义。2.6.付立叶变换性质。(见表2.1)2.7.单位冲击函数单位冲击数是一种广义函数，它的引入可扩大付立叶变换的应用范围，使其可 以用于功率信号，例如：周期信号，直流信号等。2.7.1 通常单位冲击函数以3(t)表示，其定义如下：,t 0(t)0,t 0且：(2.7.1)对任意 0(2.7.2)(t)dt 1,对于任意函数u(t),有：若 a tO b 且(t)在 t to 连 续(tO)(t)(ttO)dt(t)(t6t)dt 若 tO(a,b)(2.7.3)0ccbb3(t)函数可以看作是某种函数的极限。例如：1 h/2 t h h(t)1 0 t h不艰验证：12limit h(t)(t)hxt2又如：(t)limit ItTeT 0(t)limitk7iSa(kt)2.7.23(t)的主要性质0 t 011)(t)dt u(t)It 0(2.7.23)1 t 0u(t)称为单位阶跃函数。由式(2.7.3)可得:du(t)dt(t)(2.7.4)2)(t)(ttO)dt(t)(t6t)dt(tO)(2.7.5)若 i)(t)在 t=tO 点连续。3)b(t)的付立叶变换F(ttO)(ttj tj t0)edt eO即：5(ttcoO)e-jto 由此有：8(t)t1即：2 兀 ej td(t)4)ej 2兀(0)ej Ot 2ti(.0)取式()右边式的付立叶反变换即可证其成立。Fl2 10()2兀2兀()ej 芍 0tOdeFl2 0(.)12兀 2兀(.O)ej td ej Ot5)若1)(t)在1=均存在n阶导数，贝U：13(2.7.6)(2.7.7)(2.7.8)(t)(n)(ttO)dt(t)n(n)(t0)(2.7.9)2.8功率信号的付立叶变换按照经典数学函数的定义，功率信号的付立叶变换是不存在的，但如果扩大函 数定义范围，引入广义函数3(t),则可以求得功率信号的付立叶变换。以下求一 些主要功率信号的付立叶变换。2.8.1 常数A先3(3)的付立叶反变换：1F()21 j t()ed 1()2(2.8.1)由此 可得：A 271Ab(3)2.8.2 cosoOt?sinoOt?根据公式：cosx可得:ljxljx(eejx),sinx(句乂)及式(2.7.8)22jcos Ot 研(0)(.0)(2.8.2)Tisin Ot (0)(0)(2.8.3)j2.8.3 周期信号的付立叶变换令f(t)为周期信号，周期为T,且满足狄列赫利条件，则可展开为付立叶级数:f(t)IFn Tn Fnejn Ot 其中 0 T2T2 2;iTf(t)ejn Otdtf(t)的付立叶变换为:F Fnejn Otnn FFen jn Ot 27m F(n n 0)(2.8.4)2兀，强度决定于相T即周期信号的付立叶变换(频谱谱密度)为一冲激序列，间隔为0应的付立叶级数的系数Fn。式(2.8.4)可以化为便于计算的另一种形式。令：T f(t)t g(t)2 t 为其他值 0又令：g(t)G(3),则有：即g(t)是f(t)的一个周期14G()jn tg(t)edt T2T2 fft)ejn tdt由此可得：Fn lG(n 0)T(2.8.5)将式(2.8.5)代入式(2.8.4)得：2tiF()Tn G(n 0)(n 0)(2.8.6)例2.8.1求周期矩形脉冲序列的付立叶变换(频谱密度)f(t)g(tnT)Tl A t其中：g(t)2 0 t为其他值解：先求g(t)的频谱密度G(3)Tl2G()g(t)ej tdt Tl2 Aej tdt ATI T1T12)ATlSa(T12)将此式代入式(2.8.6)得：F()AT 0 Sa(n 0T1)(n 0)2(2.8.7)其中：0 2T由式(2.8.7)可见，周期信号的频谱密度是一冲激序列。冲激的间隔为0 2兀 与周期TT成反比；冲激强度的分布规律决定于单个脉冲g(t)的频谱密度G(3)；其主要 分量集中在3=0到2兀1之间，即在频率fM)到之间。T1T1例2.8.2求周期单位冲激序列8r(t)的频谱密度T(t)N (tnT)令：5T(t)6T(co)；则据式(2.8.6)有：152兀 T()F(t)0(n 0)Tn 因:F(t)1,则得：2兀 Tn (n 0)On (n 0)(2.8.8)图 2.8.22.8.4符号函数的付立叶变换符号函数Sgn(t)定义为：1 t>OSgn(t)=0 t=01 t<O为了求其付立叶变换，可将Sgn(t)表示为：Sgn(t)limiteatu(t)eatu(t)a 0取此式两边的付立叶变换：FSgn(t)F limiteatu(t)eatu(t)a 0limit eatej tdt eatej tdt 00 a 0e(aj)t le(aj)t 1 2 limit limit aj aj j 询a 0即:Sgn(t)22.8.5单位价跃函数的付立叶变换1 t 1 111 u(t)t 0u(t).Sgn(t)由止匕有:22 20 t 0Fu(t)lllFlFSgn(t)(.)22j16a 0(2.8.9)j可表示为:即(t)(.)lj2.8.6一些常见信号的付立叶变换(表2.2)2.9能量谱密度与功率谱密度2.9.1能量谱密度令：f(t)为实能量信号，且f(t)F(3)则f(t)的能量Ef1 2兀1 2 兀 f2(t)dt f(仇 j t 12 兀 F()ej td dt F()f(t)e 2 ldtd 2 2 F()F()d F()d F(27if)df即 lf(t)dt 2兀2 F()d(2.9.1)2式(2.9.1)称作帕色瓦尔定理 或E(2曲 F(2兀f)通常令：E()F()称为f(t)的能量谱密度。由此有：22lEf f(t)dt 2兀 2 (2.9.2)E()d E(2 兀 f)df 由式(2.9.2)可看出E)是单位带宽中的信号能量与角频率3的关系，故称 其为能量谱密度。由于E(3)存在于(一8&lt；3&lt；8)故称为双边能量谱密度。不艰看出对于实信号E)是3的偶函数。在通信技术中常用到单边能量谱密度 的概念G(3),其定义为：(3)CO&gt；0G(3)=(2.9.3)2.92功率谱密度令功率信号f(t)的平均功率为Pf limitT-oo 1TT2 f2(t)dt f2(t)T2其中一表示时间平均t f(t)t 取 f(t)的短截：fr(t)2其他t 0令 fT(t)FT(co)显然fT(t)为能量信号，其能量为：一1ET fT(t)dt 2 2 FT()d 2(根据帕色瓦尔定理)f(t)的平均功率可表示为:17ElPf limitT limitTT2;i令：1F()d limitT 2士 2 FT()T2d TT TFT()T2P()limit(2.9.4)T如果此极限在，则称其为f(t)的功率谱密度。由此得到：IPf 2兀 P()d P(2;if)df (2.9.5)由式(2.9.5)可见，P)表示单位带宽中f(t)的平均功率与3的关系，故称其 为f(t)的功率谱密度。由于P(3)存在于(-00&lt；(D&lt；00),故称为双边功率谱 密度。对于实信号P(3)是3的偶函数。因此对于实信号还使用术语单边功率 谱密度。其定义为:2P(co)3>OB(3)(2.9.6)0 3&gt；O信号f(t)的功率Pf可表示为：IPf B()d B(2兀f)df 27100(2.9.7)2.9.3.信号带宽信号带宽是指信号的能量或功率的主要部分集中的频率范围。若信号的主要能 量或功率集中在零频率附近则称这种信号为基带信号。若信号的能量或功率集中 在某一载波频率附近，则称此类信号为频带信号。这里介绍几种常见的定义信号 带宽的方法：1)根据占总能量和总功率的比例如0.9,0.95或0.99等确定信号带宽。设信号带宽为B赫，则根据所占的百分数可列出等式：B2 E(2 f)dfEB 90%(或)(2.9.8)2 P(2 f)dfPf90%(或 95%,99%)(2.9.2)(对于功率信号)2)若E)或P(3)在0频率处最大，则可以将E(3)或P(3)值下降到 3db(半功率点)的频率定为信号带宽。即：3)(2.9.10)18B E(2 兀 f)df2E(0)(2.9.11)B P(2兀f)df2P(0)(2.9.12)2.10确定信号的相关函数2.10.1 定义：令f2(t)为能量信号，一般情况可以是时间的复函数。称：R12()f(t)fl2(t)dt(2.10.1)为fl(t)和f2(t)的互相关函数。令f2(t)为功率信号，则称：R12()limitlTT2 f(t)flT22(t)dt(2.10.2)T 一 oo为fl(t)和f2(t)的互相关函数。若fl(t)和f2(t)为周期信号(周期为T),则有：R12()1TT2 f(t)flT22(t)dt(2.10.3)若若fl(t尸f2(t尸f(t),则称R()limitlTT2fl(t)f(t)dt(2.10.4)T2为f(t)的自相关函数。对于能量信号，自相关函数的定义为：R()fl(t)f(t)dt(2.10.5)对于实信号，上述公式中去掉共甄符号*。旧一化相关函数的定义为:rl2()R12()Rl()R2()12(2.10.6)2.10.2 相关函数的性质1)R12(t)R21(-t)192)|i12(t)|1*3)R(t)=R(-t)4)|R(工)R(0)5)能量信号的能量E=R(0),功率信号的平均功率P=R(0)6)周期信号的自相关函数是周期函数，且周期与信号周期相等，下面我们对 于实信号证明此性质。(对于复信号用类似方法也可证明)令f(t)为实周期信号，周期等于T,可将其展为付立叶级数：f(t)n Fnejn d T2(-oo<t<oo)其中：0 2兀Tf(t)的自相关函数为：R()T21T)dt T2T21T jm o Ijn djn d(t)lim(nm)tFeFedt FFeedt nmnm T TTmnm n 22考虑到1T 1 m nlim(nm)tedt T 0 m n2T2 以及对实信号有：Fn=F-n可得到：R()n Fnejn t()2(2.10.7)由式(2.10.7)可看出，R(t)是周期为T的周期函数。(注意到：02.10.3.相关函数与能量(功率)谱密度的关系1)能量信号的自相关函数与其能量谱密度互为付立叶变换，即：271)TR()E()F()2(2.10.8)证：令f(t)为能量信号，且：f(t)F(co)根据定义有：1 j(t)R()f(t)f(t)dt f(t)F()ed dt 2 兀1 l*kxkx*kx f(t)edtF()ed F()F()ed 2兀 2兀*1 2兀 lkxF()ed E()ed 证毕 2 2kx2)功率信号的自相关函数与其功率谱密度互为付立叶变换。即：R()P()(2.10.9)20证：令f(t)为功率信号，取其短截：T出t),t fT(t)2 t为其他值 02令fT(t)FT()显然fr(t)是能量信号，令其自相关函数为rt(t)则有：RT()FT()据定义f(t)的自相关函数为：1R()limitTlimitlf(t)f(t)dt limit#T(t)fT(T)dt T T*2T2 RT()T T2Too已知：RT()FT()由此有：FT()RT()limit limit R()P()证毕.TTT 一 oo T 一 oo利用式(2.10.8)和式(2.10.9)可根据已知的相关函数求出相应的能量谱密度 或功率谱密度。例：2.10.1求周期信号的功率谱密度解：由式(2.10.7)有:R()贝2jn dt 2jn dtP()FR()F Fne FFe n n n 2n Fnejn dt又有:P()P()2已知:Fejn dt 2(n 0)得到：R()2nn (2.10.10)Fn(n 0)22.104互能量谱密度和互功率谱密度定义：令fl(t)和f2(t)为能量信号，且它们的互相关函数为R12(1)，称R12(t)的付立叶变换为门(t)和f2(t)的互能量谱密度，以E12(3)表示之。即：R12()E12()(2.10.11)则有：性质：令 fl(t)Fl(),fl2(t)F2()E12()Fl()F2()(2.10.12)21证：*ikxFR12()fl(t)f2(t)dt edt*fl(t)f2(t)d dt fl(t)F2()eikxdtF*l()F2()证毕.定义：令f2(t)为功率信号，且它们的互相关函数为R12(t),称R12(t)的付 立叶变换为fl(t)和f2(t)的互功率谱密度，以R12(3)表示之。即：R12()P 12()(2.10.13)R12()j xR()ed 122.n,卷积积分2.11.1 卷积积分的定义令有函数fl(t)和f2(t),称积分 f()fl2(t)d为fl(t)和f2(t)的卷积积分，简称卷积，通常以fl(t)*f2(t)表示。即：*fl(t)*f2(t)f()fl2(t)d(2.11.1)式中a为积分变量，由于定积分值与积分变量符号无关，所以式(2.11.1)中 的积分变量可用任何符号表示，例如：。P，入等。2.11.2 卷积的性质1)交换律：fl(t)f2(t)=f2(t)fl(t)2)分配律：fl(t)f2(t)+f3(t)=fl(t)f2(t)+fl(t)f3(t)3)结合律:fl(t)f2(t)f3(t)=fl(t)f2(t)3(t)4)卷积的微分：dfl(t)*f2(t)=fi(t)f2(t)=fl(t)fi(t)dt2.11.3 卷积定理1)时域卷积定理22令:fl(t)Fl(),f2(t)F2()贝 U 有：fl(t)*f2(t)Fl()F2()(2.11.2)证:fl()f2(t)d ej tdtJ tfl()f2(t)edt d fl()F2()ej td Fl()F2()证毕。2)频域卷积定理令：fl(t)Fl();f2(t)F2()贝U：fl(t)f2(t)证：lf2()*fl()27i(2.11.3)1 Fl Fl()*F2()2 兀j tF(u)F(u)du 1 ed 21 Ij t F(u)F(u)ed du 12 2tc 2jc 12兀1 2兀 2 Fl(u)F2(t)ej tldu f2(t)2兀 j t(u)edu fl(t)f2(t)证毕。2.11.4函数与单位冲激函数的卷积由定义和 的性质可得到下列各式：f(t)*(t)(2.H.4)f()(d)d f(ttl)*(tt2)f(ttlt2)(ttl)*(tt2)(ttlt2)相似地，在频域中有类似的关系：F()*(0)F(0)F(1)*(2)F(i 2)f(t)(2.11.5)(2.11.6)(2.11.7)(2.11.8)(1)*(2)(1 2)(2.11.9)卷积定理和式(2.11.4)到式(2.11.9)在信号分析中很有用。2.12.确定信号通过线性系统(滤波)通信系统由许多部份组成，例如，天线，放大器，信道和调制解调器等。其中 一些部份可看作是线性系统。例如，信道，放大器，滤波器等。本节研究确定信 号通过线性系统。并限于研究具有一个输入端和一个输出端的系统。23X。)一一 y(t)一个输入信号X(t),对应有一个确定的输出信号y(t).将x(t)变换为y(t)的运算，数学上称为算子，以L表示。则可表示为：y(t)=Lx(t)(2.12.1)2.12.1,线性算子与线性系统令：yl(t尸Lxl(t)i=l,2,3.若系统算子满足以下关系：y(t)L cixl(t)ciLxl(t)ciyi(t)(2.12.2)111其中：ci为任意常数，i=l,2,3.则称此算子为线性算子，相应的系统称为线性系统，式(2.12.2)称为叠加原 理。其表述为：系统输入线性和的响应等于响应的线性和。如前所述，任意信号x(t)可以表示为：x(t)X()(t)d x(t)*(t)对于线性算子，有：y(t)Lx(t)L x()(t)d x()L(t)d令：L5(t-i)=h(t(k),称作系统的单位冲激响应，得至U：y(t)x()h(tO)d(212.3)若系统满足 L3(t-T)=h(t-T),T则称系统为时不变线性系统或称恒参线性系统。本节仅