2024年荆楚理工学院普通专升本数学分析考试大纲.doc

荆楚理工学院一般专升本《数学分析》考试大纲

一、课程名称：数学分析
二、合用专业:数学与应用数学
三、考试措施：闭卷考试
四、考试时间：100分钟
五、试卷结构：总分：150分，选择题30分，填空题30分，计算题50分，证明题40分。
六、参考书目：
1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，第4版。
2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，第1版。
七、考试的基本要求：
数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应了解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本措施。应具备抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能利用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。能综合利用数学分析中的基本理论、基本措施分析和处理实际问题。
八、考试范围
第一章实数集与函数
（一）考核内容
实数及其性质,绝对值与不等式。区间与邻域，有界集与确界原理。函数概念,函数的表示法。函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。具备某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。
（二）考核知识点
1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；
2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；
3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；
4、具备某些特性的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
（三）考核要求
1、了解实数域及性质；
2、掌握几个不等式及应用；
3、纯熟掌握数域，上确界，下确界，确界原理；
4、牢靠掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第二章数列极限
（一）考核内容
数列。数列极限的定义,无穷小数列。收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。子列及子列定理。数列极限存在的条件：数列极限的单调有界定理、柯西收敛准则。
（二）考核知识点
1、极限概念；
2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；
3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。
（三）考核要求
1、纯熟掌握数列极限定义；
2、掌握收敛数列的若干性质；
3、掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。

第三章函数极限
（一）考核内容
求函数的极限，单侧极限。函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性和四则运算法则。函数极限存在的条件：归结标准、函数极限的单调有界定理和柯西准则。两个重要极限。无穷小量及其阶的比较,无穷大量，曲线的渐近线。
（二）考核知识点
1、函数极限的概念，单侧极限的概念；
2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；
3、函数极限存在的条件：归结标准（Heine定理），柯西准则；
4、两个重要极限；
5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。
（三）考核要求
1、纯熟掌握使用语言，纯熟论述各类型函数极限；
2、掌握函数极限的若干性质；
3、掌握函数极限存在的条件。（归结标准，柯西准则，左、右极限,单调有界等）；
4、纯熟应用两个特殊极限；
5、牢靠掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。
第四章函数连续性
（一）考核内容
函数在一点的连续性,左、右连续,间断点及其分类，区间上的连续函数。连续函数的局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函数的连续性,一致连续与一致连续性定理。指数函数的连续性，初等函数连续性。
（二）考核知识点
1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；
2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；
3、初等函数的连续性。
（三）考核要求
1、纯熟掌握在点连续的定义,等价定义；
2、掌握间断点及其类型；
3、了解在区间上连续的定义；
4、掌握在一点连续的性质及闭区间上连续函数的性质；
5、了解初等函数的连续性。
第五章导数与微分
（一）考核内容
导数的定义，导函数，导数的几何意义，极值，费马定理。导数的四则运算法则，反函数的导数,复合函数的导数，基本求导法则与公式。参变量函数的导数,隐函数的导数，初等函数的导数。高阶导数。微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，高阶微分，微分在近似计算中的应用。
（二）考核知识点
1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；
2、求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；
3、微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；
4、高阶导数与高阶微分。
（三）考核要求
1、纯熟掌握导数的定义及其几何意义；
2、牢靠记住求导法则、求导公式；
3、会求各类函数的导数（复合函数、含参变量函数、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式））；
4、掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算；
5、了解连续、可导、可微的关系。
第六章微分中值定量、不定式极限
（一）考核内容
罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，单调函数。柯西中值定理。不定式极限，罗比塔法则。带有皮亚诺型余项、拉格朗日型余项的泰勒公式，泰勒公式在近似计算上的应用
（二）考核知识点
1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；
2、几个特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；
3、泰勒公式。
（三）考核要求
1、牢靠掌握微分中值定理及应用（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）；
2、会用洛比达法则求极限（将其他类型的不定型转化为等类型）。
第七章导数的应用
（一）考核内容
函数单调性与极值。最大值与最小值。函数的凸性与曲线的拐点。函数图象的讨论。方程的近似解。极值的判别法；函数的升降、凸性讨论的有关理论及成果；画函数草图的基本要素和措施。
（二）考核知识点
1、函数的单调性与极值；
2、函数凹凸性与拐点.
（三）考核要求
1、掌握单调与导数符号的关系，并用它证明单调，不等式、求单调区间、极值等；
2、利用的二阶导数判定凹凸性及拐点;
3、了解凸函数及性质;
4、会求曲线各种类型的渐近线性.
第八章极限与连续（续）
（一）考核内容
有关实数集完备性的基本定理：闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理与致密性定理，实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的证明。
（二）考核知识点
1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；
2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；
（三）考核要求
1、掌握下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列；
2、了解刻划实数完备性的六个定理的等价性，并掌握各定理的条件与结论；
3、学会用六个定理证明其他问题，如连续函数性质定理等.
第九章不定积分
（一）考核内容
原函数与不定积分概念,基本积分表,线性运算法则。换元积分法，分部积分法。有理函数的不定积分,三角函数有理式的不定积分,某些无理函数的不定积分。
（二）考核知识点
1、不定积分概念；
2、换元积分法与分部积分法；
3、几类可化为有理函数的积分；
（三）考核要求
1、掌握原函数与不定积分的概念；
2、记住基本积分公式；
3、纯熟掌握换元法、分部积分法；
4、了解有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。
第十章定积分
（一）考核内容
概念引入（曲边梯形面积与变力作功），定积分定义，定积分的几何意义。牛顿－莱布尼兹公式。可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类：闭区间上的连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函数。定积分的基本性质，积分中值定理。变限积分与原函数的存在性，微积分学基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法。可积性理论补叙.
（二）考核知识点
1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；
2、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；
3、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；
4、非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。
（三）考核要求
1、掌握定积分定义、性质；
2、了解可积条件，可积函数类；
3、深刻了解微积分基本定理，并会纯熟应用；
4、纯熟计算定积分；
5、掌握广义积分收敛定义及判别法，会计算广义积分。
第十一章定积分应用
（一）考核内容
微元法。平面图形的面积。由平行截面面积求体积，旋转体体积。平面曲线的弧长、曲率。旋转曲面的面积。定积分的近似计算.
（二）考核知识点
1、定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率；
（三）考核要求
1、纯熟计算各种平面图形面积；
2、会求旋转体或已知截面面积的体积；
3、会利用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积.
第十二章数项级数
（一）考核内容
数项级数极其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。正顶级数收敛性的一般判别标准（比较标准），比式判别法与根式判别法，积分判别法。拉贝判别法。交织级数，莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与性质，条件收敛，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
（二）考核知识点
1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；
2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；
3、一般项级数：交织级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
（三）考核要求
1、掌握数项级数敛散的定义、性质；
2、纯熟掌握正项级数的敛、散判别法；
3、掌握条件、绝对收敛及莱布尼兹定理。
第十三章函数列与函数项级数
（一）考核内容
函数列与函数项级数的收敛、一致收敛性以及一致收敛的柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯优级数判别法（M判别法），阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性与可微性。
（二）考核知识点
1、一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；
2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。
（三）考核要求
1、掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义；
2、掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法；;
3、函数列的极限函数，函数项级数的和函数的性质。
第十四章幂级数
（一）考核内容
阿贝尔第一定理,幂级数的收敛半径与收敛区间,内闭一致收敛性，幂级数的性质，幂级数的四则运算。泰勒级数，函数能够展开成泰勒级数的条件,初等函数的幂级数展开式。复变量的指数函数和欧拉公式。
（二）考核知识点
1、幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；
2、几个常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。
（三）考核要求
1、纯熟掌握幂级数收敛域、收敛半径及和函数的求法；;
2、了解幂级数的若干性质；
3、了解求一般任意阶可微函数的幂级数展开式的措施；
4、会利用间接法求某些初等函数的幂级数展开式。
第十六章多元函数极限与连续
（一）考核内容
平面点集概念，R2上的完备性定理,二元函数和n元函数概念。二重极限,累次极限。二元函数的连续性,复合函数的连续性。有界闭域上连续函数的性质。
（二）考核知识点
1、平面点集与多元函数的概念；
2、二元函数的极限、累次极限；
3、二元函数的连续性：二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。
（三）考核要求
1、了解平面点集的若干概念；
2、掌握二元函数二重极限定义、性质；
3、掌握二次极限，并掌握二重极限与二次极限的关系；
4、掌握二元连续函数定义、性质.
第十七章多元函数微分学
（一）考核内容
多元函数的可微性与全微分，偏导数及其几何意义,全微分存在的必要条件、充足条件，可微性的几何意义及应用。复合函数的求导法则，复合函数的全微分。方向导数与梯度。高阶偏导数，二元函数的中值定理和秦勒公式，二元函数的极值与最值。
（二）考核知识点
1、可微性：偏导数的概念，偏导数的几何意义，偏导数与连续性；全微分概念；连续性与可微性，偏导数与可微性；
2、多元复合函数微分法及求导公式；
3、方向导数与梯度；
4、泰勒定理与极值。
（三）考核要求
1、纯熟掌握可微，偏导,可微的意义；
2、掌握二元函数可微，连续以及偏导函数连续等概念之间的关系；
3、会计算各种类型函数的偏导，函数的全微分；
4、会求空间曲面的切平面，法线；
5、会求函数的方向导数；
6、会求二元函数的无条件极值。
第十八章隐函数定理及其应用
（一）考核内容
隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定
理，隐函数求导。隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，
反函数组与坐标变换。几何应用。条件极值与拉格朗日乘数法。
（二）考核知识点
1、隐函数：隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例；
2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式；
3、几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线；条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。
（三）考核要求
1、掌握一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，隐函数的导数（偏导）公式；
2、会求空间曲线的切线与法平面；
3、会求空间曲面的切平面与法线；
4、掌握条件极值的拉格朗日乘子法。
第二十章重积分
（一）考核内容
平面图形的面积，二重积分的定义及其存在性，二重积分性质。直角坐标系下二重积分的计算(化为累计积分)。格林公式，平面曲线积分与路线无关的等价条件，原函数。二重积分的变量替代公式，用极坐标计算二重积分。三重积分的概念与性质，化三重积分为累次积分，三重积分的换元法，柱坐标变换与球坐标变换。重积分在的应用：曲面的面积。
（二）考核知识点
1、二重积分概念：二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质；
2、二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；
3、含参变量的积分；
4、三重积分计算：化三重积分为累次积分,换元法（一般变换，柱面坐标变换，球坐标变换）；
5、重积分应用：立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量；
6、含参量非正常积分概念及其一致敛性：含参变量非正常积分及其一致收敛性概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量非正常积分的分析性质.
（三）考核要求
1、了解二重积分，三重积分的定义与性质；
2、掌握二重积分的换序，变量代换；
3、了解三重积分的换序，会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分；
4、了解含参量正常积分的定义及性质.
第二十二章曲线积分与曲面积分
（一）考核内容
第一型曲线积分的定义与计算。第二型曲线积分的定义和计算，两类曲线积分的联系。第一型曲面积分概念、性质和计算。曲面的侧,第二型面积分概念、性质和计算，两类曲面积分之间的联系。高斯公式,斯托克斯公式，空间曲线积分与路线无关的等价条件。场论初步。
（二）考核知识点
1、第一型曲线积分的概念、性质与计算，第一型曲面积分的的概念、性质与计算；
2、第二型曲线积分的概念、性质与计算，变力作功，两类曲线积分的联系；
3、格林公式，曲线积分与路线的无关性,全函数；
4、曲面的侧，第二型曲面积分概念及性质与计算，两类曲面积分的关系;
5、高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与途径无关性；
（三）考核要求
1、纯熟掌握第一、二型曲线、曲面积分的计算措施；
2、了解两种曲线积分，两种曲面积分关系；
3、纯熟利用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式的计算；
4、掌握积分与途径无关的条件。

更多湖北专升本考试资料尽在湖北专升本网：