非饱和土-结构动力响应的2.5维有限元-完美匹配层法.pdf

第45卷第8 期2023年8 月铁道学报JOURNALOFTHECHINARAILWAY SOCIETYVol.45No.8August2023文章编号：10 0 1-8 36 0(2 0 2 3)0 8-0 138-0 9非饱和土-结构动力响应的2.5维有限元-完美匹配层法狄宏规12，苏光北1-2，郭慧吉2 3，周顺华1-2，于佳永1.2（1.同济大学道路与交通工程教育部重点实验室，上海2 0 18 0 4；2.同济大学上海市轨道交通结构耐久与系统安全重点实验室，上海2 0 18 0 4；3.上海申通地铁集团有限公司技术中心，上海2 0 110 3）摘要：基于非饱和土的实用波动方程，利用双重Fourier变换和Galerkin法，推导us-P-P格式的非饱和土频域-波数域内的2.5维有限元表达式。引人坐标拉伸函数构建完美匹配层单元，提出非饱和地基-结构动力响应的2.5维有限元-完美匹配层法，并验证该算法的可靠性。以某工程地铁隧道并行高铁路基段为研究背景，利用该方法分析隔离桩对地铁减振效果的影响。结果表明：隔离桩能够显著减小地基表面土体的振动响应，且桩径和隔离桩与隧道距离越大，隔离桩的减振效果越好，双排桩的隔振效果要优于单排桩。隔离桩的存在会使得隧道右侧（无隔离桩侧）的土体响应增强，在隔离桩减振设计时应考虑振动放大现象的影响。关键词：非饱和土；完美匹配层；地铁振动；隔离桩中图分类号：U451.32.5 Dimensional Finite Element-Perfectly Matched Layer Method forCalculating Dynamic Response of Unsaturated Soil-Structure SystemDI Honggui-2,SU Cuangbei2,CUO Huiji-,ZHOU Shunhua-,YU Jiayong1,2(1.Key Laboratory of Road and Traffic Engineering of Ministry of Education,Tongji University,Shanghai 201804,China;2.Shanghai Key Laboratory of Rail Infrastructure Durability and System Safety,Tongji University,Shanghai 201804,ChinaAbstract:Based on the practical wave equation of unsaturated soil,the 2.5 dimensional finite element expression of un-saturated soil in the frequency-wavenumber domain in the us-Pi-P format was derived using double Fourier transformationand Galerkin method.By introducing the coordinate stretching function to construct the perfectly matched layer elements,the 2.5D FE-PML method for calculating the dynamic response of unsaturated soil-structure system was proposed,whosereliability of the developed method was validated against the existing analytical method.Subsequently,this method wasused to analyze the influence of isolation piles on the vibration damping effect in a subway tunnel paralleling a high-speedrailway subgrade system.The results show that the isolation piles can significantly reduce the vibration response of theground surface soil.The greater the pile diameter and the greater the distance between the isolation piles and the tunnel,the better the vibration damping effect of the isolation piles.The vibration isolation effect of double-row piles is betterthan that of single-row piles.The isolation piles will increase the soil response on the right side of the tunnel(the sidewithout isolation piles).The impact of vibration amplification should be considered in the vibration reduction design of i-solation piles.Key words:unsaturated soil;perfectly matched layer;subway vibration;isolation piles收稿日期：2 0 2 1-0 6-19；修回日期：2 0 2 1-12-2 0基金项目：国家自然科学基金（518 0 8 40 5）；上海市科技计划项目(20ZR1459900)第一作者：狄宏规（19 8 5一），男，湖南岳阳人，副教授，博士。E-mail:2012dihonggui 通信作者：郭慧吉（19 9 4一），男，河南林州人，博士。E-mail:guohuiji 文献标志码：A3.Technical Center of Shanghai Shentong Metro Group Co.,Ltd.,Shanghai 201103,China)doi:10.3969/j.issn.1001-8360.2023.08.015地铁给城市居民的出行带来极大便利，但近年来地铁运行产生的环境振动问题也愈发突出。地下铁路行车振动经由轨道、隧道以及土体向外传播，进一步诱发邻近建（构）筑物的二次振动和噪声，严重影响邻近第8 期建筑物内居民的生活、周边精密仪器等的正常工作以及邻近古建筑安全等。因此，地铁减（隔）振问题正受到越来越多的关注1-2 ，为揭示车致振动传播机理，提出有效减（隔）振措施，首先需要建立可靠的地基-隧道动力响应分析模型。常见的地基-隧道动力响应预测解析（半解析）模型有嵌人的欧拉梁模型3-4、管中管（PiP）模型5-6 及波面转化法7-8 1等。解析（半解析）模型计算效率较高，能够了解振动传播的一般规律，但无法处理不规则边界。难以考虑复杂地基结构，不便用于减（隔）振设计。与解析（半解析)模型相比，数值模型的优势在于可以进行精细化建模，模型适应性更广。常见的有2维、3维9-10 、2.5维11-12 、周期性有限元模型13 等。然而有限元模型计算效率相对较低，且需要截断无限域,存在较大计算误差。为此相关学者基于2.5维动力Green函数，提出边界元来截断无限域，构建2.5维有限元-边界元模型14-15、周期性有限元-边界元模型16 1等。但边界元由于引入边界积分处理，损失部分计算效率，所以需要更好的边界处理方法17 。Berenger18引人复数坐标下的拉伸函数，构建可以完全吸收各个方向、各种频率波的完美匹配层（PerfectlyMatchedLayer，PM L）单元。近年来，完美匹配层法被用于结构动力分析的边界处理当中19-2 0 ，可以兼顾模型计算精度与计算效率。然而，上述既有的数值模型仅将土体视为单相弹性或两相饱和多孔介质，尚未考虑地基土体的三相特性。为此，本文基于非饱和土运动微分方程、连续性方程以及渗流运动方程，结合应力、渗流边界条件，采用Galerkin法，推导出频域内up-Pi-Pg格式2.5维有限元方程。同时引人拉伸函数构建PML处理边界，提出非饱和地基-结构动力响应分析的2.5维有限元-完美匹配层方法。基于该方法，研究某工程地铁盾构隧道并行高铁路基段隔离桩的减振效果，研究结果可为轨道交通的减振设计提供参考。1非饱和地基土-结构动力响应的2.5维有限元首先定义时间t到频率、轴向坐标z到波数k的双重Fourier变换,即f(o)=f(t)e-iodtf(t)f(w)eioda2元J狄宏规等：非饱和土-结构动力响应的2.5维有限元-完美匹配层法2TJ式中：为时间t对应的频率;k,代表坐标z对应的波数；上标“”、“_”分别为频域、波数域；i为虚数单位。将地基土体视为由固、液、气组成的三相介质，参考文献8 中非饱和地基土波动方程求解过程，可得频域内非饱和地基土运动微分方程、连续性方程、渗流运动方程分别为uini+(a+)ini.u-ayo,Pi,-a(1-).B.Pi+Bi2 P,+Bis ui.,+Bi4,=0Ba+Ba+Ba in,Bas,=0ions.(v,-ub.)=-ian(1-S,)(w,-ini)式中：入vu为lame常数;为狄拉克算子；下标s、b、l、g分别表示土颗粒、土骨架、孔隙水、气体；下标讠j为张量角标，i,j=1,2,3,分别代表xy、z 三个方向;upu、w分别为土骨架位移、孔隙水相对于土骨架位移、孔隙气体相对于土骨架位移;P为孔隙压力;n为孔隙比;Sr为饱和度；ki、h g 分别为孔隙水、孔隙气体动力渗透系数；为有效应力系数；为计算参数，=1-K,/K，K,、K,分别为土骨架、孔隙水压缩模量;A。为V-G模型经验系数；p。PIv Pg 分别为土颗粒、孔隙水、气体密度，p为相对密度,计算式分别为p.=（1-n)p.,p=n s,p i，pg=n(1-S,)p;B,为连续性方差相关系数,i=1,2,j=1,2,3,4,计算式分别为Bii=K.KSa(1-)-n(1-S,)+A。nB12=K.Br3=(1-n-K,/K,)(ay-ns,)(1-s.)B21=A,+nK.a(1-)-n(1-S,)(1-S,)B22=-A,+-nK.(1)(1-S,)K139）=1f(z)e-izdzf(k.)ehedk.PPigk=P.8Pe.-0p,w.)ay-ns.nBi4=n(2）(3)(4)+140整理式(4）可得v,=(M,un-Pi.)/(M,-wpl)lw,=(M,u-pg.)/(Mg-wpg)式中：M,、M,为计算参数,M,=ionS.pig/ki,M,=ion(1-S,)pgg/kgo将式（5）代人式（2）,结合式（3）可得非饱和土振动控制方程为uipi+(A+u)ivi.-ayo,Pi.-a(1-)o,Pr.=-cn iu+0c12 Pl.+22C1323PgiBu P+Bi2 P,+Bi,ii.jj+Bi4,=0Ba P+Ba2 P,+Bas i,+B24 w,=0引人应力、渗流边界条件，即on,-j.=0ions,un,-c,=0ion(1-S,)ign,-c,=0式中：，为土体单元总应力分量；n，为应力与形式平面法线同方向夹角的余弦值;f、c i、C分别为边界处的外力以及边界处输入的液体、气体流速。结合式（7），利用Galerkin法处理式（6）可得Jtai,i.(a+)i.u-ayo,Pi.-a(1-y)o,P.+wc.un-wci2 Pi.-wcs P.I dv=fa i,(o g n,-j i)d sLa P,s,(Bu Pi+Bi2 Pg+Br3 un.,+Bu4 v,).dVLa Pin(B,1 Pi+B2P+B223ib.,+B24w.,):Capn(1-s.).in,dV式中：V为计算区域的体积；S为计算区域的外表面。根据分部积分原理得铁道学报K,(1-S.)B-nK.ns,n;D.ia)第45卷tai,Luinij+(A+u)ivia-ayo,pi.-B24=(1S,)a(1-)o,pg.ldv=JLau,(n,)ds-(5)JEae,(o,)dvJCapis.(Buv,)dv=Japis.(Bu)ds-JLapi,s.(Bl4)dvJEap.n(Baw,)dv=JEap.n(Bai)ds-apa.jn(B2a4w)dv(6)将式（9）、式（5）代人式（8）得f-aefo,+ai,ocnn.+aeyayo,p,-au,oci2pi.,+aga(1-y)o,p.-ai,acsPr.dv=Jai,(-f.)ds(7)(apicalu-apijcai,+apicapi+apujcapi,+apicasp,)dV=ap10)(ap.calin-apaucai,+ap.capi+ap.csP,+apa.coPa.)dVds(10)式中：c,为计算参数,i=1,2,3,j=1,2,3,4,5,6。计算式分别为+n(1-S.)pg:M./(M-opg)dsC12=nS,p(M,-apl)-1Cr3=n(1-S,)p,(M,-wpg)C21=S,(1-n-K,/K.)(ay-ns,C23=Sdsio(8)(9)SdsapM,C222=nS,M,/(M,-0pl)nn十KAK.S.C24=nS,/(M,-wpl)Sa(1-)-n(1-S.)K.C3r=(1-n-K/K.)(1-S,)C26=0S.第8 期C32=n(1-S,)Mg/(M,-wpg)(a-ns,)(1-S,)1C33nA+a(1-)-n(1-S.)(1-S.)(1-S,)1C3=n(1-S.)/(Mg-0pg)K,根据固体位移、液体孔压性质以及有效应力原理，可得各物理量矩阵表达式,=DBu,=Bu,Pi.,=BTpIPi,=BplLP.=BTp:Pe.,=Bp.式中：,为土骨架应力；8,为土骨架应变；B=mB，m=1110 0 0 ;B、D 分别为偏导应变矩阵、弹性矩阵,计算式分别为00ayB=0ay00z入+2 u入入入+2 u入入D=000采用平面四节点等参单元进行离散处理，单元形函数取N,=-（1+mm；）（1+），则单元土骨架位移、单元孔隙水压力、单元孔隙气压力与节点土骨架位移、节点孔隙水压力、节点孔隙气压力关系可以分别表示为u=N,(n,)u4Pi=N.(n,5)Pi4PZN.(n,5)Ps式中：n和分别为局部坐标，n：和为节点局部坐标；uipi和p%分别表示节点土骨架位移、节点孔隙水压力和节点孔隙气压力。将式（11)代人式（10）,并结合式（1）进行z向的Fourier变化，可得到ub-Pi-Pg格式的非饱和地基2.5维有限元表达式为狄宏规等：非饱和土-结构动力响应的2.5维有限元-完美匹配层法C34=0nK,+nK.uw.,=mBil0z000ayx入0007入00 0入+2u0 000000004141(K+Ki2)i,+(Lu+Li2)p+(Gi+Gi2),=_(K21+K2)i,+(L21+L22)Pi+(Ks1+K,2)i,+(L31+L32)p+(11)式中：K，、L、G,分别为刚度矩阵、溶体贡献矩阵，气体贡献矩阵,i=1,2,j=1,2。计算式分别为Ki=-(B*N)DBNIJI dndsKi,=oc.NNIJI dndsLu=ai(BN)mNIJI dndsTLi2=-wc2NB*TNIJI dndGu=a;(1-)(BN)mNIJI dndgGi2=-ocraNBTNIJI dndsK,=C21NmBNIJI dndgK2=-C2 NB*TNIJI dndsL21=C23 NTNIJI dndL2,=C24NB*TBNIJI dndsGz1=C2s NTNIJI dnds000000(12)ioG 22=0K,=CsiNmBNIJI dndgKs2=-Cs2 NB*TN IJI dndsL3i=C3 NNIJI dndgL32=0G,=Cs N NI JI dndsG32C36NB*TBNIJIdndN,00N=0N0L0NN=N,N,N,N4J其中,N为位移对应形函数矩阵;N为孔压对应形函数矩阵；J为四节点单元的雅克比矩阵。对于非饱和地基中的路基和隧道结构，在建模时均简化为单相弹性介质，求解其2.5维有限元格式时，只需将前述三相介质的波动方程退化为单相弹性介质的波动方程，退化方法参考文献2 1，此处不再赘述。2完美匹配层边界为截断无限域，引人拉伸函数构建PML单元，处N4000N4000N4J142理边界。PML是一种波的吸收层,其能完全吸收各种人射角（分界处没有任何反射）的传播波,并且在PML的范围内显著衰减人射波，定义拉伸坐标：为3=So+入(s)ds式中：s为原坐标;入（s）为拉伸函数;SovSp为完美匹配层在s方向上开始、结束坐标；“”为进行拉伸变化。弹性波在传播过程中可分为传播波（Propagating）与隐逝波（Evanescent），因此定义拉伸函数入（s）【2 2 为(s)=1+5(s)-i()(14)ao式中：a。为无量纲频率常数，a。=w Lp M L/c.，Lp M L为PML区间长度，为角频率，c。为剪切波速;f为主要衰减隐逝波的拉伸函数;fP为主要衰减传播波的拉伸函数，其定义分别为Sofe=f。LpML其中,f。f。q 均为拉伸多项式优化参数，fo”为主要衰减弹性波波长,f。为主要衰减弹性波幅值。因此选取合适的f。、f。、q 可实现有限单元中弹性波迅速的衰减。根据式（13)坐标拉伸定义，可得其导数形式为(16)入(s)ds将式（16)代人式（12)推导过程中，可得完美匹配层有限元表达式(Ku+Kg)i,+(L+Li)Pi+(Gu+Gn)P,=ia(K+Ka)i,+(Ls+Ln)P+(Gn+Ga)P.=ia(17)式中：（B=mBK=-(BN)DBNIJIA,dndsK,=wc.NNJA.A,dndsL=ai(BN)mNJIA,A,dndgL,=-wcnNBTNJ/A.A,dndsGu=ai(1-)(BN)mN|JIA,dndsG,=-csNTBNJIa.A,dnds铁道学报K2,=c21NBN|J/入,A,dndgL2ns,(M,-wpl)(13)L22=c2NNJ/入入,dndG2I=0G2,=c2sNNIJ/入,入,dndsK,=c.,NBN|J|A,dndL.I=0L,2=cs2NNJI入,dndsG31n(1一S,(B*N)BNIJIA,dndgM,-0p2G32CaNNJ/a.A,dnds1入，（）xSo(15)LpML1第45卷K22=0(B*N)BNJI入,dndgKs2=00010入,(y)ay00B=1入,(y)y入(x)0z入,(y)dy10入()x通过Matlab软件自编代码求解式（12）、式（17），可得到方程在频域-波数域内的解，对其进行快速傅里叶逆变换（FastFourierTransform）得到时间-空间域的解。Fourier逆变换点数N=524,步长间隔取1m。当计算机为AMDR93950X的CPU和6 4GB运行内存时，每个波数下计算时间在7 0 s左右。3隔离桩减振效果分析3.1模型验证为验证模型的可靠性，将本文模型的计算结果与文献2 1 给出的解析模型进行对比，验证模型见图1。图1中，模型长14m，宽17 m，隧道外径D=6m，衬砌厚度e=0.25m，隧道中心线距地表距离H。=10 m，PML边界厚度1m，f=0,f=2 0,q=12 。计算中非饱和土以及隧道参数参考文献2 1，见表1。非饱和地基-隧道模型在单位简谐荷载（f=30Hz,U=0m/s）作用下，隧道底部（=0,y=-3)竖向动位移沿隧道轴向的分布规律见图2。由图2 可知，由于有限元网格0101第8 期尺寸选取对计算精度有一定影响，与文献2 1 中的结果相比，本文结果在部分区间存在轻微波动，但总体趋势和量级一致，验证了本文模型的可靠性。PML(h=1)RML(h=1)图1验证模型平面图（单位：m）表1验证模型计算参数取值2 1介质参数弹性模量E/Pa隧道衬砌泊松比密度p/(kgm3)压缩模量Kg/kPa空气密度pg/(kgm3)黏滞系数ng/(Pas)压缩模量K/GPa水密度p/(kgm=3)黏滞系数n/(Pas)压缩模量K,/CPa土颗粒密度p/(kgm3)压缩模量K,/MPa动剪切模量./MPa孔隙率几。饱和度S,土骨架液体约束饱和度Swo有效应力系数阻尼土体固有渗透系数K拟合系数1，2，386420-2-50图2隧道底部（x=0,y=-3）竖向动位移沿隧道轴向的分布规律狄宏规等：非饱和土-结构动力响应的2.5维有限元-完美匹配层法14P口-250z/m1433.2算例分析以某地铁隧道并行高铁路基段为工程背景，开展隔离桩隔振效果分析，模型简化示意见图3。图3中，模型总长40 m,高2 5m,隧道中心距离地表H。=15m，隧道外径11m,内径10 m,衬砌厚度0.5m，隧道埋深9.5m，路基高度2 m,路基宽度10 m，路基坡度为1：1,路基坡角与隧道间距9.5m。PM L边界厚度1 m,相关常数取值:f。=0,f。=2 0,q=12 2 。为保证一个波长内有6 个单元以上，每个单元尺寸取为0.5m0.5m,并在靠近隧道处进行网格加密处理。地基土体为砂土，计算参数2 3 见表2。隧道衬砌、路基以及隔离桩计算参数见表3。研究隧道仰拱处作用单位移动荷载下（u=16.7m/s,f=0Hz)非饱和地基中隔振桩的隔振效果。106数值50 x1090.32.5001451.291510621 000110-3362.70043.3200.40.90.05S.0.04110-4110*4,0.5,2口文献2 1 一本文计算模型CELLLLL2550409.5S.d.PML(h=1)PML(h=1)图3计算模型平面图（单位：m）表2非饱和地基土体计算参数2 3介质参数压缩模量Kg/kPa空气密度pg/(kg m3)黏滞系数ng/(Pas)压缩模量Ki/Pa水密度pi/(kgm3)黏滞系数ni/(Pas)压缩模量K,/GPa土颗粒密度p/(kgm3)压缩模量K,/MPa动剪切模量u,/MPa孔隙率no饱和度S.土骨架液体约束饱和度Swo有效应力系数阻尼土体固有渗透系数K拟合系数1，2，3表3单相弹性体计算参数参数隧道衬砌弹性模量E/Pa50109泊松比0.3密度p/(kg:m3)250020.数值1001.291510621 000110-336265043.526.10.270.90.05S,0.02110-4510-4,0.5,2路基1601060.32.05030100.322001443.3隔振效果及参数影响(1）不同隔离桩桩径d和桩阻尼的隔振效果在距离隧道L=1.5m处设置单排隔离桩，桩长24m,桩径d依次取0、0.8、1.0、1.2 m。在不同桩径下，模型上表面沿方向动位移幅值U，见图4。由图4可知,设置隔离桩可以有效减小地基表面的振动响应,并且桩径越大,隔离桩的隔振效果越好。增大隔离桩桩径对桩后侧（隧道侧）土体的隔振效果要优于桩前侧（路基侧）。此外发现隔离桩的存在会使得隧道右侧（无隔离桩侧）的土体响应增强。路基中心线0-5-10-15,-20-15-10-50510152025x/m图4不同径下地基上表面的振动响应在距离隧道L=1.5m处设置桩径d=1m，桩长24m的单排隔离桩。隔离桩阻尼依次取0.0 15、0.030、0.0 45，同时设置附加工况d=0m（无隔离桩）。在不同隔离桩阻尼下，模型上表面沿方向动位移幅值U，见图5。由图5可知,随着桩阻尼的增大，地基表面振动响应变化较小。可见该移动荷载作用下，改变阻尼对隔离桩的隔振效果影响较小。路基中心线桩隧道中心线0(rNy.Uu,O)/5-10-15-20-15-10-50510152025x/m图5不同桩阻尼下地基上表面的振动响应（2)不同间距L（桩与隧道之间的距离）的隔振效果取隔离桩桩径d=1m,桩长2 4m,桩与隧道间距L依次取1.5、3.0、4.5m，附加工况d=0m（无隔离桩）。在不同桩与隧道间距下，模型上表面沿方向动位移幅值U，见图6。由图6 可知，增大桩与隧道间距L可以降低地基上表面的振动响应。且L越大，桩前侧（路基侧）的振动响应越小，桩后侧（隧道侧）的振动响应变化较为复杂，不同桩与隧道间距均能减小桩后侧的土体振动响应，但与L=3.0m相比,L=4.5m时桩后侧振动响应反而更大。说明增大的L能够减小桩前铁道学报侧的振动响应，但是对于桩后侧（隧道侧）的振动响应,较大的L并不能取得更好的隔振效果。改变L,隧道右侧（无隔离桩侧）的土体响应增强现象发生变化，L越大,增强区的增强效应越明显，增强区范围越大。路基中心线0-5-10-15桩隧道中心线-20-15-10-50510152025x/m图6 不同桩与隧道间距下地基上表面的振动响应d-0 md-0.8md-1.0m一d=1.2m一d-0m一=0.015B=0.0300.045第45卷隧道中心线d-0m-L=1.5 mL=3.0mL=4.5 m(3)不同隔离桩排数与排桩之间的距离S的隔振效果在距离隧道L=1.5m处设置桩径d=1m，桩长24 m的隔离桩。隔离桩取单排（S=0 m)和双排,在双排桩情况下，两排桩之间的距离S依次取3、5m，附加工况d=0m（无隔离桩）。在不同隔离桩排数与排桩之间的距离S下，模型上表面沿y方向动位移幅值U,见图7。由图7 可知，双排桩的隔振效果要优于单排桩,且S越大，双排桩的整体隔振效果越好，桩间土体振动响应会略有增加，但仍小于单排桩情况下该区域的振动响应。路基中心线3m隧道中心线0(-N.Ul-OL)/-5-10-15-20-15-10-50510152025x/m图7 不同隔离桩排数下地基上表面的振动响应4结论（1)基于非饱和土实用波动方程，推导ub-Pi-Pg格式的非饱和地基2.5维有限元表达式，结合拉伸函数构建PML边界单元，提出非饱和地基-结构动力响应的2.5维有限元-完美匹配层法。将该方法的计算结果与既有解析法的计算结果相对比，验证该算法的可靠性。（2)通过参数退化，本文算法中的三相介质（非饱和地基土）可退化为两相介质（饱和地基土）或单相介S-5md-0 mS-0mS-3m一S=5 m第8 期质（单相弹性地基土）。因此，本文算法也可用于非饱和土、饱和土、单相弹性地基土共存时层状地基地铁隧道系统的动力响应分析。(3)算例分析表明，隔离桩具有良好的减振效果，并且桩径越大、距离隧道越远，隔离桩的减振效果越好,双排桩的减振效果要优于单排桩。但受本文算法纵向几何尺寸不变性假设的限制，隔离桩只能视作咬合桩,无法考虑桩间距，即本文算法无法考虑地基土体和结构沿线路纵向的变化特性。参考文献：1易强，王平，赵才友，等.有碓轨道结构弹性波传播特性研究J.铁道学报，2 0 19,41(6)：137-145.YI Qiang,WANG Ping,ZHAO Caiyou,et al.Study on ElasticWave Propagation Properties of Ballast Track Structure J.Journal of the China Railway Society,2019,41(6):137-145.【2 雷晓燕，王全金，圣小珍.城市轨道交通环境振动与振动噪声研究J铁道学报，2 0 0 3，2 5（5）：10 9-113.LEI Xiaoyan,WANG Quanjin,SHENG Xiaozhen.Study onEnvironmental Vibration and Vibration Noises Induced by theUrban Rail Transit System J.Journal of the China RailwaySociety,2003,25(5):109-113.3METRIKINEAV,VROUWENVELDERACWM.SurfaceGround Vibration Due to a Moving Train in a Tunnel:Two-di-mensional Model J.Journal of Sound and Vibration,2000,234(1):43-66.4 HUAF,LI YJ,DENG YB,et al.Vibration of Layered Sat-urated Ground with a Tunnel Subjected to an UndergroundMoving LoadJ.C o m p u t e r s a n d G e o t e c h n ic s,2 0 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