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对一道中考几何题的变式研究张一樯(浙江省杭州师范大学东城实验学校 3 1 0 0 0 0)【摘要】在初中几何三角形问题的学习中,题目往往侧重考查基本图形,同时条件和问题灵活多变,易成为学生学习的难点.梳理核心知识,把握基本图形,适当变式拓展是培养学生思维能力的关键.本文以2 0 2 1年杭州中考数学第2 1题为例,谈谈如何挖掘试题内涵,进行变式拓展.【关键词】初中数学;三角形;变式练习1 试题呈现2 0 2 1年 杭 州 中 考 数 学 第2 1题:如 图1,在A B C中,A B C的角平分线B D交A C边于点D,A EB C于点E.已知A B C=6 0,C=4 5 .(1)求证:A B=B D;(2)若A E=3,求A B C的面积.本题以三角形为背景,考查角平分线的意义、三角形内角和与外角、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、三角形的面积等知识,难度中等.图1 图22 变式探究仔细观察本题的图形,不难发现本质是由一副三角板背靠背拼接而成.这对特殊三角形是初中几何三角形问题的基本图形.深究此题,可以拓展延伸出很多内容,本题的变式可以有以下几个方面.2.1 条件不变,改变问题变式1 如图2,增加线段A E和B D的交点O,不改变原题的条件,改变问题.(1)求证:A O=B O;(2)若A E=3,求O DO B的值.证明(1)因为A EB C,A B C=6 0,B D平分A B C,可得A B D=B A E=3 0,所以A O=B O.解(2)在R t A E B中,B E=3,A B=23,在R t BO E中,O E=1,B O=2,因为B AD=1 8 0 -A B C-C=7 5,AD B=C+D B C=7 5,所以B AD=AD B,A B=B D=2 3,所以O DO B=2 3-2 2=3-1.在原图的基础上继续深究,不难发现,图中每一个角的度数都是确定的,进而可以发现AO DC B A.因此,第二问也可以进一步加大难度,改编为思维含量更高的题型,如:求AD的长、求四边形O D C E的面积等,充分考查相似三角形的性质和判定等知识技能.变式2 如图2,不改变原题的条件,改变问题.(1)求证:AO D C B A.(2)若A E=3,求AD的长.证明 (1)因为A EB C,A B C=6 0,C=4 5,可得E A C=C=4 5,B A E=9 0 -A B C=3 0,又B D平分A B C,则A B D=12A B C=3 0,所以AO D=A B D+B A E=6 0,则AO D=A B C,所以AO D C B A.解(2)由(1)可得,在R t A E C中,A E=E C=3,则A C=3 2,在R t A E B中,B E=3,A B=2 3,则B C=3+3.由变式1得,A O=B O=2,因为AO D C B A,所以A OC B=ADC A,41 数理天地 初中版例题精讲2 0 2 3年9月上得23+3=AD3 2,所以AD=3 2-6.2.2 改变条件,深挖问题若改变三角板叠放的方式,变背靠背为重叠放,可以产生新的情境.变式3 如图3,在R t A E C中,A E C=9 0,A B E的 角 平 分 线B D交A E边 于 点D.已 知A B E=6 0,C=4 5 .(1)求证:AD=B D;(2)若A E=3,求A B C的面积.图3证明(1)由题可知,A B D=12A B E=3 0,B A E=9 0-A B E=3 0 所以B A E=A B D,所以AD=B D.解(2)若A E=3,则C E=3,B E=3,B C=3-3,所以SA B C=12A EB C=1233-3 =9-3 32.也可以去掉原题中A E这条高,使图形变得更为简单,考查学生作辅助线构造特殊直角三角形的能力.例如:变式4 如图4,在A B C中,已知A B C=6 0,C=4 5 .若A B=3,求A B C的面积.分析 当三角形的问题中出现特殊角时,应把特殊角放到直角三角形当中去寻找边角关系,因此过点A向B C边作垂线段,构造两个直角三角形,解直角三角形,原题就可迎刃而解.原题的图形由于其固定性,因此所有的线段和角度都是确定可求的,我们也可以打开思路,让图形动起来,使问题变得更为灵活开放.去掉图形,改编成如下问题:图4 图5变式5 已知在A B C中,A B=2,A C=6,B C边上的高A E=3,求B A C的度数.解 根据题意构造图形,如图5所示.由A B=2,A C=6,A E=3可知,B A E=3 0,C A E=4 5 .若高A E在A B C内,则B A C=C A E+B A E=7 5 .若高A E在A B C外,则B A C=C A E-B A E=1 5 .在无图的情况下,需要学生自行作图尝试进行分析.由于三角形的高不确定,这个问题有两种情况,需要分类讨论.这样的问题,考验学生对数据的敏感度,作图能力和分类讨论思想.也可以在学生探究出两种情况的基础上,进一步引导他们,图中还有哪些量可以求?如求B C的长,求A B C的面积等,以此拓展学生思维的深度.3 结语从这道简单的中考题里,我们通过改变问题、改变条件等方式,探究出了三角形一系列问题的广阔天地.在八年级时,这道题的图形可以利用三角形内角和来研究角度,在九年级则可以利用勾股定理和相似研究线段长度、周长、面积等.不论哪种问题,到最后都回归到某一个三角形中,尤其是特殊三角形中.因此,把握基本图形,掌握核心知识方法,锁定三角形再展开研究,这是日常教学中我们应让学生意识到的.参考文献:1 鲍建生,黄荣金,易凌峰,顾泠沅.变式教学研究(续)J.数学教学,2 0 0 3(0 2):6-1 0+2 3.2祖惠泊.变式在初中数学教学中的应用研究D.北京:首都师范大学,2 0 0 4.3谢全苗,刘淑珍.变式教学 研究性学习的一种模式J.中学数学教学参考,2 0 0 4(1 0):4-6+9.512 0 2 3年9月上例题精讲 数理天地 初中版