矩阵迹的性质与应用.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文
矩阵迹的若干个性质与应用
姓名：某某 指导老师：某某

摘　要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的范数定义Cauchy —Schwarz 不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。

关键词：迹 矩阵 范数 特征值

1 引言
矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。

2 预备知识
定义1 　设,则称为 的迹。
定义2 　设,记与向量范数相容的 的 一范数为:

(2)
(3)
(4)
(5)

引理：矩阵迹的性质:
1
证明：设
则
又
所以得证
2 (为任意常数)
证明：设则

由（1）与（2）知
3
证明：设
则，其中所以有
其中，所以有
得证
4
证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。
5
证明：令（3）中即可得证。
6
证明：令（3）中即可得证。
7 （是的特征值）
证明：由若当定理知
因为相似矩阵迹相等，所以
8
证明：设矩阵的特征值为
则矩阵的特征值为
则由（7）即可得证
9 若,则;特别，
（下面定理有证明）
10 若，，则

有了上面关于矩阵的迹定义及性质的介绍，下面我们通过举例来看其在解题中的应用。
3 解题中的应用
例1 设为同阶实对称矩阵，若正定，则和不相似。
证：假设相似,则由性质9 知,
再由性质1 得
故由性质10 知 不是正定阵,与已知矛盾从而, 和不相似。
例2 设n阶矩阵的对角线上元素全是1，且其特征值为复数，求证
证：设为的全部特征值，且则有

又的主对角线上的元素全是1，知
则
所以
。
例3 已知 阶方阵，若对所有的阶方阵 有 ,则。
证： 设，则有某。作矩阵，使,时，。
则矩阵主对角线上的元素

。与已知矛盾故

例4 设，的特征多项式为
，则。
证　因为

所以　。
例5 设 , , 都是 矩阵,且 , , ,则存在不大于的自然数 ,使得。
证：
先证. (为任意自然数)
(1)
由(1) 和性质1、3 得：
再证 的特证值都等于0。
设 的特征值为则存在可逆矩阵 ,使

所以
从而　　 （2）
不失一般性,设 的互异的非零特征值为,且重数分别为。 则(2)
式变为:
取前 个等式,因为范德蒙行列式，因此。即非零特征值都是0 重,故 的特征全为0 。
　再证。 由于 的每个若当块都形如

因此

令: ，则
例6 满足 的矩阵叫做幂等阵,试证：幂等矩阵的迹与秩相等。
证:设 阶阵为幂阵,且的秩,则的特征值是0 或1 ,且具有
个线性无关的特证向量,因而, 与对角阵相似。
故必有满秩阵 存在，使
上式右端的对角阵的秩等于的秩 ,即该矩阵中的对角元素(特征值)有个为1 ，个为0 。故由性质7 知

例7 设有阶实对称矩阵 ,若，则有。
证：因为 ,所以半正定,故存在阶矩阵
u
其中是第个行向量，使得
于是。
又因为 维列向量有

于是
由Cauchy - Schwarz不等式知，
所以
即
从而
故有
例7 设为一个阶矩阵，的主对角线上所有元素的和称为的迹，记作.证明：如果对任意的阶方阵，都有，则
证：
设，取,则

所以. 即

例8 证明：不可能有阶方阵满足

证：设
，
为任二阶方阵，则主对角线上的元素为

它们的和为

同样，的主对角线上元素的和为

亦即与的主对角线上元素的和相等，从而的主对角线上元素的和为零.但是，单位方阵的主对角线上元素的和为因此

4 下面介绍一些有关矩阵迹的定理
定理1 Cauchy-Schwarz公式：
设都是n阶矩阵，则有
证明：设,
则由向量的内积定义式，其中为与的夹角
即。
推广到矩阵的迹的形式，即为
定理2 schur不等式
设设是n阶矩阵，则有
证明：因为
又因为是反对称矩阵，故有

定理3 设为阶对称矩阵，则有
证明：由Cauchy-Schwarz公式可知

又
即得

定理4 设都是阶实对称矩阵，则有
证明：
都是阶实对称矩阵，又由引理2可得

又由引理3可得

同时有

即可得结论。

定理5 设阶矩阵的所有特征值都是实数，且，若恰有个特征值，则
证明：设的个特征值为。因为，由引理1 知
的特征值为不为零，而其余的特征值
考察以下平方和

其中，显然且
由于

于是，有

定理6 设都是阶实对称矩阵，则有

证明：由于都是阶实对称矩阵，且由Schur不等式和引理3，可得

定理7 设都是阶实对称矩阵，且正定或半正定，则有

证明：由cauchy-schwarz公式，且都是n阶实对称矩阵，使得

设的特征值为的特征值为显然的特征值均大于0
又由定理4知，对存在n阶正交矩阵使得
所以
由此得 ，
故有

即

参考文献　
[1]丁学仁. 工程中的矩阵理论[M].天津：天津大学出版社,1988
[2]党诵诗. 矩阵论及其在测绘中的应用[M].北京：测绘出版社,1980
[3]陈公宁. 矩阵理论与应用[M].北京：高等教育出版社，1990
[4]牛华伟，张厚超.关于矩阵迹的性质与应用[J].宁波职业技术学院学报，2009年4月
[5]宋占奎.矩阵的迹在解题中的应用[J].陕西工学院学报，2001年3月

Matrix trace of several properties and application
Author：Cao min Supervisor:Dai linsong
Abstract : On the basis of the definition of matrix traces ,this paper discusses their characteristics at first and then according to the norm of the F of square matrix and Cauchy - Schwarz
Inequality gives how to prove the zero matrix, unsimilar matrix，number cloth matrix , column matrix idempotent matrix and non - equality matrix. The application examples of the matrixt races in solving problems was given..
Key words : 　traces；matrix；norm；characteristic value
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