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课后作业(四)
一、选择题
1．(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
2．(2012·山东高考)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
3．下列命题中的真命题是( )
A．x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝
B．x∈(0，＋∞)，ex＞x＋1
C．x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0
D．x∈(0，π)，sin x＞cos x
4．(2013·深圳调研)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．x0∈R，f(x0)≤f(x1) B．x0∈R，f(x0)≥f(x1)
C．x∈R，f(x)≤f(x1) D．x∈R，f(x)≥f(x1)
5．(2013·广州模拟)已知命题p：m∈R，m＋1≤0，命题q：x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B．m≤－2或－1＜m＜2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
二、填空题
6．(2013·河源质检)命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．
7．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p：若α∥β，mα，nβ，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q.
真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.若x0∈R使f(x0)＜b·g(x0)，则实数b的取值范围是________．
9．已知命题p：“x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
10．(2013·清远质检)已知a＞0，命题p：x＞0，x＋≥2恒成立；命题q：k∈R，直线kx－y＋2＝0与椭圆x2＋＝1有公共点．是否存在正数a，使得p∧q为真命题，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由．
11．(2013·广东五校联考)设p：f(x)＝在区间(1，＋∞)上是减函数；q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意实数a∈[－1，1]恒成立．若綈p∧q为真，试求实数m的取值范围．
解析及答案
一、
【解析】 特称命题的否定是全称命题，
原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”
【答案】 B
2．
【解析】 p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
【答案】 C
3．
【解析】 x∈R，sin x＋cos x≤，x∈(－∞，0)，2x＞3x，sin ＝cos ，所以A、C、D都是假命题．令f(x)＝ex－x－1f′(x)＝ex－1＞0对于x∈(0，＋∞)恒成立，故f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，f(x)＞f(0)＝0ex＞x＋1，B是真命题．
【答案】 B
4．
【解析】 由f(x)＝ax2＋bx＋c，知f′(x)＝2ax＋b.
依题意f′(x1)＝0，
又a＞0，所以f(x)在x＝x1处取得极小值．
因此，对x∈R，f(x)≥f(x1)，C为假命题．
【答案】 C
5．
【解析】 依题意，p、q一真一假．
若p真q假，则解得m≤－2，
若p假q真，则解得－1<m<2，
综上，m≤－2或－1<m<2.
【答案】 B
二、填空题
6．【解析】 全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k＞0，方程x2＋x－k＝0无实根”．
【答案】 存在k＞0，方程x2＋x－k＝0无实根
7．
【解析】 ∵命题p是假命题，命题q是真命题．
∴綈p是真命题，綈q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，綈p∧q是真命题．
【答案】 ①④
三、解答题
8．【解】 ∵x0∈R，f(x0)＜b·g(x0)，
∴x0∈R，x－bx0＋b＜0，
∴Δ＝(－b)2－4b＞0，解得b＜0或b＞4.
因此实数b的取值范围是b＜0或b＞4.
【答案】 b＜0或b＞4
9．【解】 由“p且q”是真命题，
则p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，a≤x2恒成立，
由x∈[1，2]，知x2≥1，∴a≤1.
若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，
综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
10．【解】 对x＞0，∵x＋≥2，(a＞0)，
所以要使x＋≥2恒成立，应有2≥2，∴a≥1.
k∈R，直线kx－y＋2＝0恒过定点(0，2)，
要使直线kx－y＋2＝0与椭圆x2＋＝1有公共点，
应有＋02≤1，解得a≥2.
若p∧q为真命题，则p与q都为真命题，
因此，所以a≥2.
综上，存在a≥2，使得p∧q为真命题．
11．【解】 ∵f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数，
∴m≤1，即当p为真命题，m≤1.
q：|x1－x2|＝＝≤3，
∴m2＋5m－3≥3，∴m2＋5m－6≥0，
∴m≥1或m≤－6.
若綈p∧q为真，则p假q真，
∴m＞1.
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