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第9讲 随机抽样、用样本估计总体

随堂演练巩固
1.下列抽样方式属于简单随机抽样的有( )
(1)将1 000个个体编号,把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀,从中逐个抽取50个个体作为样本;
(2)箱子里共有100个零件,从中选出10个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子;
(3)福利彩票用摇奖机摇奖.
A.(1)(3)
B.(2)
C.(3)
D.(1)(2)
【答案】 A
【解析】 (1)是,(2)中是有放回地抽样,(3)是简单随机抽样.
2.有20个同学,编号为1 —20,现在从中抽取4人的作文卷进行调查,用系统抽样方法确定所抽的编号为( )
A.5,10,15,20
B.2,6,10,14
C.2,4,6,8
D.5,8,11,14
【答案】 A
【解析】 将20分成4个组,每组5个号,间隔等距离为5.
3.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为( )
A. B.
C. D.2
【答案】 D
【解析】 ∵样本的平均值为1,∴.
∴a=-1.
故方差

选D.
4.某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1,用分层抽样方
法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件做使用寿命的测试,由所
得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,
1 032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.
【答案】 1 013
【解析】 利用分层抽样可知从3个分厂抽出的100件电子产品中,每个厂中的产品个数比也为1∶2∶1,故分别有25,50,25件.再由三个厂各自的平均值可得100件产品的平均寿命为 013(h).
5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有 根棉花纤维的长度小于20 mm.

【答案】 30
【解析】 因为频率分布直方图的矩形的高为故矩形的高组距即为频率.从图中可知长
度小于20 mm的频率为(0.01+0.01+0..3,又总体为100根,故纤维长度小于20 mm的根
数为.3=30根.

课后作业夯基
基础巩固
1.从2 008名学生中选取50名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽
样从2 008人中剔除8人,剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取,则这2 008名学生中每人入选的概率( )

A.不全相等
B.均不相等
C.都相等,且为
D.都相等,且为
【答案】 C
【解析】 随机抽样过程中,保证每个个体被抽取的可能性是相等的,所以每人入选的概率都相等,且为.
2.某工厂生产产品,用传送带将产品放入下一工序,质检人员每隔七分钟在传送带上某一固定位
置取一件检测,则这种抽样方法是( )
A.简单抽样
B.分层抽样
C.系统抽样
D.以上都不对
【答案】 C
【解析】 符合系统抽样的特点,其抽样距为七分钟.
3.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分
层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年
级的学生中应抽取的人数为… ( )
A.6 B.8
C.10 D.12
【答案】 B
【解析】 分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本,设从高二年级抽取的学生数为n,则得n=8.
4.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的
频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )

A.90 B.75
C.60 D.45
【答案】 A
【解析】 样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.2=0.3,频数为36.
样本总数为.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0..75,
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为.75=90.
5.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分
别是( )

A.91.5和91.5
B.91.5和92
C.91和91.5
D.92和92
【答案】 A
【解析】 按照从小到大的顺序排列为87,89,90,91,92,93,94,96.
∵有8个数据,∴中位数是中间两个数的平均数:91.5,
平均数为.5,故选A.
6.一组数据的平均数是4.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A.55.2,3.6
B.55.2,56.4
C.64.8,63.6
D.64.8,3.6
【答案】 D
【解析】 每一个数据都加上60时,平均数也应加上60,而方差不变.
7.为了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采取系统抽样,则分段的间隔k为 .
【答案】 40
【解析】 在系统抽样中,确定分段间隔k,对编号进行分段,
为总体的容量,n为样本的容量),
∴.
8.高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知
学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为 .
【答案】 20
【解析】 根据题意,56人应分为4组,每组14人,第一组为6号,第二组为6+14=20号,第三组为20+14=34号,第四组为34+14=48号,故还有一个同学的学号为20.
9.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量,产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95],由此得到频率分布直方图如图,则由此估计该厂工人一天生产该产品数量在[55,70)的人数约占该厂工人总数的百分率是 .

【答案】 52.5%
【解析】 结合频率分布直方图可以看出:生产数量在[55,65)的人数频率为0..4,生产数量在[65,75)的人数频率为0.10=0.25,而生产数量在[65,70)的人数频率约为0..125,那么生产数量在[55,70)的人数频率约为0.4+0.125=0.525,即52.5%.
10.(2011江苏高考,6)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差 .
【答案】
【解析】 ∵
∴
.
11.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在6场比赛中的得分,用茎叶图表示如图,则该组数据的方差为.

【答案】 5
【解析】 该运动员6场的总得分为14+17+18+18+20+21=108,平均得分为分),方差为
故填5.
12.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如
下表:

(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息?
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差,并判断选谁参加比赛更合适.
【解】 (1)画茎叶图,如图所示,中间数为数据的十位数.

从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是33.5,甲的中位数是33.因此乙总体得分情况比甲好.
(2)根据公式得;3.963.35;甲的中位数是33,乙的中位数是33.5.综合比较选乙参加比赛较为合适.
13.某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试,数学成绩如下表所示:

(1)为了了解同学们前阶段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中数学成绩为95分,求他被抽中的概率;
(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数;
(3)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考试的数学平均分.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

【解】 (1)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为故甲同学被抽到的概率.
(2)由题意得x=1 000-(60+90+300+160)=390.
故估计该中学达到优秀线的人数.
(3)频率分布直方图如图所示.

该学校本次考试的数学平均分
.
估计该学校本次考试的数学平均分为90分.
拓展延伸
14.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值;
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解】 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆,
由题意得
所以n=2 000,
则z=2 000-(100+300)-150-450-600=400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,
由题意得a=2.
因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.
用表示2辆舒适型轿车,用表示3辆标准型轿车,用E表示事件”在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,
则基本事件空间包含的基本事件有:
共10个.
事件E包含的基本事件有:
共7个,故即所求概率为.
(3)样本平均数.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.
设D表示事件”从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,
则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,所以P(D)=即所求概率为.