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光栅衍射非垂直入射时的误差讨论
作 者1：
（1.北京邮电大学，北京市海淀区 邮编100876）
照片尺寸为20mm*30mm；最好不用红色背景
摘 要：分析和讨论了平行光在非垂直入射的条件下，与垂直入射时可观察到的主极大位置与级次变化和对波长测量结果的相对误差。推导出了主极大位置与可观察主极大级次与斜入射角度的计算公式。给出了斜入射角度与垂直入射计算结果的相对误差之间的关系。对平行光非垂直入射对测量结果的影响进行了定量讨论。
关键词：衍射光栅；斜入射；垂直入射法；光栅方程
中图分类号：（作者本人填写） 文献标识码：A
Diffraction grating non-perpendicular incidence of errors discussed
NAME Ma Lianghua1
(1. Beijing university of posts and telecommunications，Beijing,China,100876)
Abstract：Analysis and discussion of the relative error of the parallel light under the conditions of non-vertical incidence, and is vertically incident can be observed that the main peak position and the step change and the wavelength of the measurement results. Derive the principal maximum position and observe the the main maximum level times the oblique angle of incidence is calculated. Gives the relationship between the relative error of the calculation result of the oblique incident angle with the vertical incident. The parallel light non-normal incidence on the measurement results of the quantitative discussion.
Keywords: Diffraction grating; Oblique incidence; Vertical incidence; The grating equation

衍射光栅测波长要求光线垂直入射，用分光计自准法保证平行光垂直入射。而从光源入射到光栅的平行光不可能严格垂直入射，用垂直入射法简化的方程不可避免的存在误差，通过光栅方程对斜入射进行讨论修正后，对可能造成的误差与主极大的变化进行了讨论。
1 实验目的
（1） 观察光的衍射现象，加深对光栅衍射原理的理解；
（2） 进一步熟悉分光计的调节和使用。
（3） 学会测量平面投射光栅的光栅常数。
（4） 会用平面投射光栅测定光波波长。
（5） 学习测量光栅的角色散。
2 实验仪器名称
2.1 分光计
调节望远镜能接受平行光即望远镜聚焦于无穷远，平行光管能发出平行光，且望远镜与平行光管的光轴共轴，与分光计的中心轴垂直。
2.2 光栅
调节光栅平面与平行光管光轴垂直、光栅刻痕与分光计中心转轴平行。
2.3 汞灯
（1）汞灯波长如下表
表1 汞灯光源谱线波长
颜色
蓝紫
绿
黄1
黄2
波长（nm）
435.83
546.07
576.96
579.07
（2）注意事项
汞灯在使用过程中不要频繁启闭，否则会降低其寿命；汞灯的光线很强，不要长时间直视。
3 实验原理和步骤
3.1 衍射光栅和光栅方程
平面透射光栅是由大量等宽、等距、排列紧密的平行狭缝构成，能将入射的复色光按波长的大小以不同的角度衍射而达到分光的目的。设狭缝为a，相邻两缝间不透光部分的宽度为b，d=a+b，称为光栅常数
图3 光栅光谱线衍射角的测量
图1 光栅的衍射
如图1所示，一束平行单色光与光栅法线构成θ角入射到光栅平面上时，透过每一个狭缝的光线发生衍射现象，通过许多狭缝衍射后的平行光，用会聚透镜会聚，则产生干涉现象。如果在透镜焦平面上的会聚点P处的光振动是加强的，就会产生明条纹。明条纹实际上是光源狭缝的衍射像，是一条锐细的亮线。其光程差CA+AD等于波长的整数倍kλ即
dsinφk±sinθ=kλ （1）
上式称为光栅方程，式中加号表示衍射光和入射光在光栅法线同一侧，减号表示异侧。
如果光线垂直入射，θ=0，则光栅方程简化为
dsinφk=kλ（2）

图2 光栅衍射光谱示意图-
上式中，k为衍射光谱级数，k=0,±1,±2,……；φk为第k级谱线的衍射角。
如果入射光不是单色光，由式（1）可以看出，光的波长不同，其衍射角φk也各不相同，于是复色光将被分解。而在中央k=0，φk=0处，各色光仍重叠在一起，组成中央明条纹。在中央明条纹两侧对称的分布着k=1，2，……级光谱，各级光谱线都按波长大小的顺序依次排列成一组彩色谱线，这样复色光就被分解为单色光，如图2所示。
由光栅方程（1）可知，用分光计测出某已知波长λ谱线的第k级衍射角φk，便可计算出光栅常数d；如果光栅常数d为已知，则可测出光波的波长λ，如图3所示。
3.2 衍射光栅的角色散
角色散是光栅、棱镜等风光元件的重要参数，它表示单位波长间隔内两单色谱线之间的角间距，即角色散
D=dφkdλ
由光栅方程对λ微分，可得光栅的角色散
D=kdcosφk
由上式可知，光栅常量d愈小，角色散愈大。此外光谱的级次愈高，角色散也愈大。而且光栅衍射时，如果衍射角不大，则cosφk近似于不变，光谱的角色散几乎与波长无关，即光谱随波长的分布比较均匀，这和棱镜的不均匀色散有明显的不同。
4 实验内容
（1） 调节分光计使两个光学平面的反射十字像均成像在P点；
（2） 调节平行光管，使其发射出平行光；
（3） 调节载物台使光栅刻痕与主轴平行。
（4） 测量蓝紫光，绿光，黄光的衍射角。
5 实验数据及处理
5.1原始数据表格
表2 原始数据

颜色
级次
正级次
负级次

θL1
θR1
θL2
θR2
1
蓝紫
1
353°15′
173°20′
8°25′
188°30′
2
绿
1
351°25′
171°30′
10°20′
190°24′
3
黄1
1
350°50′
170°55′
10°55′
190°57′
4
黄2
1
350°48′
170°53′
10°57′
190°59′
5
蓝紫
2
345°35′
165°40′
16°5′
196°7′
6
绿
2
341°37′
161°42′
20°5′
200°7′
7
黄1
2
340°30′
160°35′
21°12′
201°15′
8
黄2
2
340°26′
160°30′
21°17′
201°20′
5.2衍射角及不确定度u(φk)计算
φk=14（θL2-θL1+θR2-θR1）

颜色
级次
衍射角
1
蓝紫
1
7°35′00″
2
绿
1
9°27′15″
3
黄1
1
10°01′45″
4
黄2
1
10°03′45″
5
蓝紫
2
15°14′15″
6
绿
2
19°13′15″
7
黄1
2
20°20′30″
8
黄2
2
20°25′15″

uφk=14uθL22+uθL12+uθR22+u(θR22)
uφk=12∆θ=1'
5.3光栅常数d的计算，及不确定度的推导
5.3.1光栅常数d的计算
d=λsinφk=3.324um
5.3.2光栅常数d不确定度的推导
d=kλsinφk
lnd=lnkλ-lnsinφk
∂lnd∂φk=-cosφksinφk=-1tanφk
∆dd=∂lnd∂φk2∆φk2=∂lnd∂φk∆φk=∆φktanφk
5.3.3 λ的不确定度的推导
λ=dsinφk/k
lnλ=lnd+ln⁡(sinφk-lnk)
∂lnλ∂φk=cosφksinφk=1tanφk
∂lnλ∂d=1d
∆λλ=∆dd2+(1tanφk)2∆φk2
5.4由求出的衍射角及光栅常数分别计算二级蓝紫光、黄光的波长，并与公认值比较，给出百分误差。
5.4.1二级蓝紫光波长及误差
dsinφk=kλ
λ=dsinφkk=436.86
u=436.86-435.83435.83=0.24%
5.4.2二级黄光波长及误差
dsinφk=kλ
λ1=dsinφkk=577.81
u1=577.81-576.96576.96=0.15%
λ2=dsinφkk=579.97
u2=579.97-579.07579.07=0.16%
5.5由两条黄光衍射角计算光栅一级、二级衍射的角色散，并进行比较分析。
D=kdcosφk
D1=1/(3324*cos10.29)=3.05×10-4nm/rad
D2=2/(3324*cos20.34)=6.42×10-4nm/rad
由光栅角色散公式D=kdcosφk光栅常量d愈小，角色散愈大。此外光谱的级次愈高，角色散也愈大。而且光栅衍射时，如果衍射角不大，则cosφk近似于不变，光谱的角色散几乎与波长无关，即光谱随波长的分布比较均匀，这和棱镜的不均匀色散有明显的不同。而黄光的衍射角也基本符合上述规律，即受衍射角影响较小，受光谱级次的影响较大，而与光栅常量d成反比。
6 思考题
6.1如果光栅刻痕与分光计主轴不平行，会产生什么现象，如何调节。
如果不平行，会导致衍射光谱谱线不等高，且倾斜方向和光栅刻痕方向垂直，调节载物台调平螺钉可以使光栅刻痕与分光计主轴平行。
6.2如果平行光不是垂直入射光栅，对测量结果有什么影响？
详见7研究专题。
6.3 比较光栅分光与三棱镜分光的主要区别。
光栅分光利用的是不同光的衍射角不同，而三棱镜是不同频率的光在同介质中折射率不同。光栅分光有级次之分，同级次按波长大小排列，而三棱镜只能每种波长仅有一条谱线。
6.4 测量时如何微调望远镜位置。
调整望远镜微调螺钉。
6.5 测量时如何区分同一级次的谱线？并判断不同级次谱线是否重叠？
同一级次谱线按照波长顺序依次出现，而当谱线出现次序改变时，说明不同级次谱线重叠。
7 研究专题——斜入射对结果影响。
由光栅方程dsinφk±sinθ=kλ可以看出，当斜入射时，与垂直入射相比dsinφk=kλ光程改变了±dsinθ。衍射光和入射光在光栅法线同一侧时为正，异侧时为负。
7.1主极大位置及级次变化

图4 斜入射时光路
中央主极大的位置应满足两条狭缝的光程差等于0。由光栅方程dsinφk±sinθ=kλ得出当k=0时，φk=θ。所以主极大衍射光线与光栅法线夹角也为θ，中央主极大衍射光线与入射光线在同一条线上如图四，在透镜上方x=f×tanθ处。
当光垂直时，中央主极大在透镜焦点，而可观察到的主极大级次kmax=d/λ，能看到的主极大条数为2kmax+1。而当存在斜入射θ时，同侧最大主级次变为kmax+=d1+sinθλ，当θ=90时，可观察最大主级次为垂直入射时的二倍。而另一侧主极大数目减少，为kmax-=d1-sinθλ。可以明显观察到两侧增加量与减少量相同，在屏幕上可观察到的主极大条数仍然为2kmax+1，与垂直入射时相同，主极大条数没有变化。
7.2斜入射对波长测量结果影响。

图5 斜入射时光栅衍射图
如图5所示，当与法线成θ角斜入射时，以第一级主极大做分析。有
sinϕ1-sinθ=λd
sinϕ2+sinθ=λd
上两式相加得sinϕ1+sinϕ2=2λd
斜入射波长为λ=dsinϕ1+ϕ22cosϕ1-ϕ22
而垂直入射波长λ‘=dsinϕ1+ϕ22
斜入射造成的相对误差为
∆λλ=1-cosϕ1-ϕ22×100%
当相对误差达到2%时，ϕ1-ϕ2=22.96°
θ=ϕ1-ϕ22
所以当误差达到2%时，斜入射角度为11°28′，即当斜入射角大于11°28′时，误差才不能忽略。可以看出当斜入射的入射角在不大的时候，由斜入射引起的误差可以忽略。
8 结论
本文从平行光垂直射入光栅开始，对光栅的垂直入射与斜入射进行了定性定量讨论。在斜入射的情况下可观察的主极大条数不变，而级次可成为原来的2倍，在斜入射的倾斜角小于11°28′的情况下，均满足相对误差小于2%的要求。即在可以正常的目测校准与手工调整下，均可满足测量精度要求。相信本文对于平行光光栅衍射的测量与计算有一定意义。
参考文献
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