竞赛数学数论专题.doc

数论
数论素有“数学皇后”的美称。由于其形式简单，意义明确，所用知识不多而又富于技巧性，千姿百态，灵活多样。有人曾说：“用以发现数学天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。”因此在理念的国内外数学竞赛中，几乎都离不开数论问题，使之成为竞赛数学的一大重要内容。
1. 基本内容
竞赛数学中的数论问题主要有：
（1） 整除性问题；
（2） 数性的判断（如奇偶性、互质性、质数、合数、完全平方数等）；
（3） 余数问题；
（4） 整数的分解与分拆；
（5） 不定方程问题；
（6） 与高斯函数有关的问题。
有关的基本知识：
关于奇数和偶数有如下性质：
奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数.
两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）.
若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个.
奇数奇数=奇数；奇数偶数=偶数；偶数偶数=偶数.
若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为偶数，则这些数中至少有一个偶数.
若是整数，则与有相同的奇偶性；若、是整数，则与奇偶性相同。
关于整数的整除性：
设是整数，则；若，则；若，则对任意整数，有.
若在等式中，除某一项外，其余各项都能被整除，则这一项也能被整除.
若，且，则.若，且，则.
设是素数，若，则或.
关于同余：
若，则.
分别被除，余数相同.
同余具有反身性:、对称性:若，则、传递性：若，则.

2. 方法评析
数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。因此数论问题的方法多样，技巧性高，富于创造性和灵活性。在竞赛数学中，解决数论问题的常用方法有因式分解法、估值法、调整法、构造法、反证法、奇偶分析法等等。
2.1 因式（数）分解
例1 证明无穷数列10001，100010001，……中没有素数。
证明：设，则

当为偶数，设，

所以为合数。
当为奇数，设，

所以为合数。
评析：对分奇偶，分情况讨论，问题变得清晰易证。同时注意，
若为奇数时，可分解因式。

例2 证明对任意整数，不是素数。
证明：当为偶数时，为偶数，所以为合数；
当为奇数，设，则

所以为合数。
评析：对适时地进行奇偶性讨论，不失为一种证明思路。同时
应注意，可作因式分解。

例3 设正整数满足。证明：不是素数。
证明：由于，则设，其中，则

故
所以为合数。
评析：此题中采用方法可扩展如下：
若，不妨设,则
，且
由于 ，所以，即
所以，故。同理可证，所以
同理可得

例4 证明：若正整数满足，则和都是完全平方数。
证明： 因，即
故只需证和互质。
设,即证
则
由于，所以，又，则。所以，故得证。
故和互质，所以和都是完全平方数。
评析：有时，适当的因式分解可以使问题简化，以证得结论。

例5 一个正整数，加上100为一个完全平方数，若加上168则为另一个完全平方数，求这个数。
解：设这个数为，则
其中
（注：限定正的可减少讨论）。
故，
从而与则等于把拆开的因数1、2、4、17、34、68.这样就有六种情形。
又由于，且与同奇偶性，故

所以。
则。
评析：此题利用平方差公式，再考虑因数分解，便于讨论以确定某
些式子的值，最终求得解。

例6 求方程的全部整数解。
解：对原方程进行变形、因式分解

左边四个括号内奇偶性相同，而为偶数，故括号内每个都为偶数，则应出现，矛盾。
所以原方程无整数解。
评析：将所有字母项放在一起，进行因式分解，再与另一侧数字项对比讨论，推出矛盾。

例7 证明：两连续正整数之积不能是完全平方数，也不能是完全立方数。
证明：若有两连续正整数之积为完全平方数，设（），则，则与均为完全平方数。
故存在正整数使得，从而

这与矛盾。
所以两连续正整数不能是完全平方数。
若有两连续正整数之积为完全立方数，设（），则，则与均为完全立方数。
故存在正整数使得，从而

这与矛盾。
所以两连续正整数不能是完全平方数。
评析：此题运用因式分解和反证法，分析论证推出矛盾。

2.2 估值法
例8 证明方程没有的整数解。
证明：对原方程进行变形、因式分解

设，若，设为的素因数，则

又，故，从而，所以，这与为素因素矛盾。

与均为完全立方数。
设，则由得，

又，则
当时，则

这与矛盾。
故没有非零整数解。
当时，则

这与矛盾。
故没有非零整数解。
评析：因式分解与互素性质相结合，分情况讨论，推出矛盾，题目得证。

例9 在两个相邻的完全平方数与之间任取若干个不同的整数，证明它们中两两乘积互不相同。
证明：只需证明若则
若，则设（见例3），则，即

，矛盾
故在两个相邻的完全平方数与之间任取若干个不同的整数，它们中两两乘积互不相同。
评析：与例三的思想方法大同小异，因为它们都利用的结论。

例10 求不定方程的全部正整数解。
解：当时，无解；
当时，，有；
当是，为偶数，必为奇数。
当时，，
当时，
当时，，
故，则
而
所以，则，
故，与矛盾，则无解。
综上，不定方程的正整数解为（2，1）、（3，1）、（5，2）。
评析：通过分析估计归纳，对分类讨论，一一得出结果。

2.3 调整法——下一次课