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正交矩阵的作用
引言
正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.
首先，我们来了解一下正交矩阵的定义.
一.正交矩阵的定义及性质
(一)正交矩阵的定义
定义1 n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵.
定义2 n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵.
定义3 n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵.
定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交
的单位向量，则称A为正交矩阵.
以上四个定义是等价定义.
(二)正交矩阵的性质
设A为正交矩阵，它有如下的主要性质.
<1>∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵；
<2>A′，A*也是正交矩阵；
当∣A∣=1时，，即；
当∣A∣=-1时,,即.
<3>若也是正交矩阵，则都为正交
矩阵.
证明
<1>显然
所以也是正交矩阵.
<2>，显然为正交矩阵.
由 ，
当 时，，即
当 时，，即
所以为正交矩阵.
<3>由 ， 可知

故为正交矩阵.由<1>,<2>推知均为正交矩阵.
正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果是它的特征值，那么也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.
运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.
二.正交矩阵的作用
（一）正交矩阵在线性代数中的作用
在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.
设向量 ，令， ，则称阶矩阵

为初等旋转矩阵.
初等旋转矩阵，是由向量的第两个元素定义的，与单位矩阵只在第行和第列相应的四个元素上有差别.
设是由向量定义的初等旋转矩阵，则有如下的性质：
〈1〉是正交矩阵；
〈2〉设
则有 ；
〈3〉用左乘任一矩阵A，A只改变A的第行和行元
素（用右乘任一矩阵A，A只改变A的第列和列元素）.
证明 〈1〉，故，是正交矩阵.
〈2〉由的定义知，用左乘向量，只改变的第两个元素，且

所以左乘，使的第个分量非负，第个分量为0，其余分量不变.
〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.
引理1 任何阶实非奇异矩阵，可通过左连乘
初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.
定理1 设是阶正交矩阵
若，则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，
即；
若，则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵，即，其中（i=1,2,…r）是初等旋转矩阵.

证明 由于是阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵使这里是阶上三角阵，而且的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有
（1）
由是正交矩阵和（1）式得
即 （2） 设 =其中，>0(i=1,2,…n-1)
则=
由上式得

所以 　　　　　　　　　　　　　　（３）
于是由（1）（3）式得
<1>当时，；
<2>当时， .
记，是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.
引理2 设其中是
阶正交矩阵，是阶上三角阵，是零矩阵.
利用以上的结论可得：
定理2 设，则可以通过左连乘初
等旋转矩阵，把变为的形式，其中是阶上三角阵，是矩阵.
证明　由引理2知，其中是阶正交矩阵，是阶上三角阵，又根据定理1知：
其中
是初等旋转矩阵.
<1>当时，
<2>当时， 于是有

显然，是阶上三角阵，当时与除最后一行对应元
素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时时，
，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.
设，，……，
是欧氏空间的子空间的一组基，记

是秩为的的矩阵.
若满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵，使　　　　　　　　　　　 （４）
且
　　　　　 （５）
由（４）（５）两式知，对、做同样的旋转变换，在把化为的同时，就将化成了，而的前个列向量属于子空间.
综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基：为一组标准正交基的方法为：
<1>由已知基为列向量构成矩阵；
<２>对矩阵施行初等旋转变换，化为，同时就被化为正交矩阵，这里是阶上三角阵；
<３>取的前个列向量便可得的一组标准正交基.
显然，上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法.
下面，我们通过实例说明此方法的应用.
例 求以向量，，为基的向量空间的一组标准正交基.
解 矩阵

对分块矩阵依次左乘，，
＝,=
=
得
=
则，取，，
则就是由得到的的一组标准正交基.
(二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用
全体n阶正交矩阵作成的集合，记为，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie群.
(1)构成拓扑群
在证明构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.
定义5 设是任一集合，是的子集构成的子集族，且满足：
1o 集合与空集属于；
2o 中任意个集的并集属于；
3o 中任意有穷个集的交集属于；
称是上的一个拓扑，集合上定义了拓扑，称是一个拓扑空间.
定义6 设是一个代数体系，若满足：
1o ；
2o ；
3o ；
则称是一个群.
定义7 如果是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的
乘法运算 u： ；
求逆运算 v： ；
是连续映射，就称为拓扑群.
根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体阶正交矩阵作成的集合构成拓扑群.
〈1〉 全体阶正交矩阵作成的集合构成一拓扑空间.
〈2〉 全体阶正交矩阵作成的集合构成一群.
〈3〉 全体阶正交矩阵作成的集合构成一拓扑群.
证明 〈1〉设表示所有具有实元素的阶矩阵作成的集合，以A=表示的一个代表元素.我们可以把等同于n2维欧氏空间，也就是将A=对应于的点.是点集的子集族，则和都属于，中任意个集的并集属于，中有穷个集的交集也属于，可以验证构成一拓扑空间，从而成为一个拓扑空间.是所有具有实元素的阶正交矩阵，所以是的子集合，于是由的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而构成的一个子拓扑空间.
〈2〉1o 由于矩阵的乘法满足结合律，所以
2o
3o
所以正交矩阵作成的集合 对于乘法运算可构成一群.
〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间的拓扑，定义矩阵乘法
m：
设，则乘积m（A，B）的第个元素是.现在具有乘积空间个因子）的拓扑，对于任何满足的，我们有投影映射，将矩阵A映为它的第个元素.合成映射，将A和B的乘积m（A，B）映为它的第个元素.现在是A与B的元素的多项式，因此连续，投影映射是连续的，从而证明映射m是连续的.因为具有的子空间拓扑，是的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射也是连续的.
中的矩阵可逆，定义求逆映射，.由于合成映射，将映为的第个元素，即的第个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，，所以，即，A的行列式及A的代数余子式都是A内元素的多项式，且，所以为连续的，而投影映射为连续的，所以求逆映射为连续的.
至此，又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有阶正交矩阵作成的集合构成一拓扑群，称它为正交群.
（2）是紧致lie群
在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.
定义8 设为拓扑群，的拓扑为维实（或复）解析
流形，且映射 为解析流形到上的解析映射，则称为维lie群.
定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.
证明 （所有具有实元素的阶矩阵作成的集合），A对应维欧氏空间的点，可作为维欧氏空间.A的行列式detA为元素的解析函数，为的闭子集，因此为中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故为维lie群.为的闭子集，按诱导拓扑为子流形，为lie群.
为了证明紧致，根据定理内容，只要证明等同于时，相当于内的有界闭集.设 ，由于有

对于任意的 ，定义映射

则为下列各集合的交集

由于都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此是的闭集.由于，因此是的有界闭集，这就证明了的紧致性.
在拓扑结构上是紧致的lie群，我们称为紧lie群，所以为紧lie群.
（3）是不连通的
定义9 设X是一个拓扑空间，X中存在着两个非空的闭子集A和B，使和成立，则称X是不连通的.
证明 我们再设是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det：是连续映射，而我们知道单点集是的闭集，，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以也为闭集.为的闭集,同理，我们也可以证明S是闭集.因为 ， ,而和S是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明是不连通的.
(三)正交矩阵在化学中的作用
在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为，为新的杂化轨道，为参加杂化的旧轨道，为第个杂化轨道中的第个参加杂化轨道的组合系数.
在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：
〈1〉杂化轨道的归一性
杂化轨道满足.
〈2〉 杂化轨道的正交性
.
〈3〉 单位轨道贡献
每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨
道成分之和必须为一个单位，即=1.
由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程.
（1）杂化轨道.
以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：
，这样在形成分子时，激发态碳原子的一个2原子轨道和3个原子轨道进行杂化形成4个等同的杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道、、、是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量、、、，那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵.
=
A为正交矩阵，分别是、、、在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量、、、在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道、、、进行杂化时形成四个等同的杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道和成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A.

=(取正值)
因为是等性杂化轨道.

=1
=（取正值）

取符合条件的 ，，

即

取 ，

可以写出四个杂化轨道的杂化轨道式为：

（2）杂化轨道
一个和一个原子轨道杂化形成两个杂化轨道.同样，线性变换的系数矩阵是正交矩阵.
根据等性杂化理论 ，

（取正值）

杂化轨道式为：

(四)正交矩阵在物理中的作用
任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.
设曲线线只差一个运动，从曲线到曲线的变换为
（1）
其中

是三阶正交矩阵，是常数.
对（1）两边求 阶导数得
从而有
（2）
因为A是正交矩阵，所以亦有
（3）
另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵

两边取行列式，由得

现在取（ ）=（ ） 来讨论，
而（ ）=（ ）可类似地讨论.因为
（4） （5）
（2）代入（4）的右边得 （6） 因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得

由正交矩阵的性质〈2〉知，且由

将上面三式左右分别平方相加

=+ +
=
写成矢函数，即得

于是我们可以推得：

这里的分别是曲线的曲率与挠率.

参考文献
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