导热微分方程的推导_by Jacob.doc

导热微分方程的推导
Jacob

〇．傅立叶定律

其中，，，分别为x，y，z坐标轴上的单位矢量。为导热率（单位）。
其含义表示，单位时间内，通过某单位截面上的热流（单位），与该处的温度梯度成正比，但方向相反。

一．导热微分方程的推导依据
1．依据
根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，即导热微分方程；

，物体在单位时间内获得的热量；
，物体在单位时间内内能的增加；
，物体对外界所做的功。
对于固体来说，温度改变导致体积变化对环境所做的功可忽略不计，上式变为：

2．一般性假设
(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；
(2) 热导率、比热容和密度均为已知；
(3) 物体内具有内热源，强度（单位），表示单位体积、单位时间内放出的热量
二．直角坐标系下导热微分方程的推导

考察时间内微元体中：
[导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
1. 导入与导出微元体的净热量
（1）时间内、沿x 轴方向、经垂直于x轴 的热量导入表面导入的热量：
(单位)
同理，时间内、沿x 轴方向、经垂直于x轴 的热量导出表面导出的热量：
(单位)
，分别为热量导入面和导出面上的热流密度，单位。
请注意，事实上这里有： ，所以导入与导出的热量差为：
(单位)
同理：
（2）时间内、沿y 轴方向、经垂直于y轴 的两表面导入导出的热量差：
(单位)
（3）时间内、沿z 轴方向、经垂直于z轴 的两表面导入导出的热量差：
(单位)
2． 微元体自身的发热量
时间内，微元体自身的发热量：

3．微元体热力学能的增量（即微元体温度升高耗费的能量）
时间内，微元体温度升高耗费的能量：

根据前面所述的能量守恒，有：

即
整理得：

又因为傅立叶定律，即，所以：
， ， ，带入上式，得直角坐标系下的导热微分方程：

三．柱坐标系下导热微分方程的推导

注意，直接写出柱坐标系下的傅立叶定律：

解释如下：
沿着方向的温度梯度：，容易理解；
沿着方向的温度梯度：，我们把它写成，注意分母是沿着方向的微小增量，或许就容易理解了；
沿着方向的温度梯度：，这个很好理解，不多解释。
依据能量守恒，最后可得出柱坐标系中的导热微分方程：

四．球坐标系下导热微分方程的推导

注意，直接写出球坐标系下的傅立叶定律：

解释如下：
沿着方向的温度梯度：，容易理解；
沿着方向的温度梯度：，写成的形式，可能就容易理解了，注意分母正是沿着方向的微小增量。（千万不要以为，沿着方向的温度梯度是）；
沿着方向的温度梯度：，写成的形式，就容易理解了。注意分母是什么？对着上面的图看一看，就理解了。
再根据能量守恒，就可以得出球坐标系下的导热微分方程：

参考文献
[1] 传热学，韩风双，百度文库资料；
[2] 热应力，严宗达，王洪礼，高等教育出版社。