相似三角形的证明.docx

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析
一、相似、全等的关系
全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．
二、相似三角形
(1)三角形相似的条件：
① ；② ；③ .
三、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：
1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；
2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；
3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；
a)已知一对等角
找另一角 两角对应相等，两三角形相似
找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
b)己知两边对应成比例
找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似
找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似
c)己知一个直角
找另一角 两角对应相等，两三角形相似
找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4
d)有等腰关系
找顶角对应相等 判定定理1
找底角对应相等 判定定理1
找底和腰对应成比例 判定定理3
e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.
求证:

例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的
平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？
说明理由。
分析方法：
1）先将积式______________
2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）

例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。
分析方法：
1）先将积式______________
2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）

六、过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．
1、 等量过渡法（等线段代换法）
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．
分析：

2、 等比过渡法（等比代换法）
当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．
求证：．

3、等积过渡法（等积代换法）
思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．
求证：CD2＝DF·DG．

同类练习：

1．如图，△ABC中，点CD在边AB上，且△PCD是等边三角形，∠APB=120°
求证：
（1）△PCA∽△BPD;
（2）CD2=AC·BD;
（3）AP·PB=PC·AB.

2．如图， 平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点， ∠D=∠ECA.
求证：AD·EC=AC·EB .

4． 如图，AD为△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。
求证：FD2=FC·FB。

5．如图，F为平行四边形ABCD边DC延长线上一点，连接AF，交BC于点G，交BD于点E．
试说明：AE2=EG•EF．

6．如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM∥BE交DE于M.
求证：FM=CF.

7．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，E为AD上任意一点，过C作CF∥AB交BE的延长线于F，交AC于G，连接CE
求证：（1）BE=CE.
（2）BE2=EG·FE.

9．如图，ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD。AD= BD，过E作EF∥AB交AD于F.
试说明：（1）AF=BE;(2)AF2=AE·EC.

七、证比例式和等积式的方法：
对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．

图5
A
E
F
B
D
G
C
H
例1　如图5在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF⊥AB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG / FA＝FB / FH (2)FD是FG与FH的比例中项．

例2　如图6，□ABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE：EC＝3：1，
S△FBE＝18，求：(1)BF：FD (2)S△FDA
C
A
D
B
E
F
图6

例3　如图7在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N．求：AN：AB的值；
B
E
A
C
D
M
N

A
B
C
E
D
G
F
例4　如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G．求证：AG 2＝AF×FC

例5　如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
A
E
B
D
M
C
F

例6　如图10过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E．过点D作DM∥FC交AB于点M．(1)若S△AEF：S四边形MDEF＝2：3，求AE：ED；
(2)求证：AE×FB＝2AF×ED
图10
C
E
D
A
F
M
B

例7 己知如图11在正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，△ADP与△QCP相似？
P
A
D
B
Q
C
图11

例8　己知如图12在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝900，AB＝7，AD＝2，BC＝3．试在边AB上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似．
图12
A
D
B
C
P1
P2
P3

例11．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。
　求证：BP2=PE·PF。

　　例12．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。
求证： 。

九、相似三角形中的辅助线
一、作平行线
例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：

例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。

例3、如图，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.

例4、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．

例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE

例6：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。

二、作延长线
例7. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF

例8．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．

三、作中线
例10： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．
求证： BC2＝2CD·AC．
综合题型
1.已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．

2.如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是1厘米/秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
（1）若厘米，秒，则______厘米；
（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求(用表示)

D
Q
C
P
N
B
M
A
D
Q
C
P
N
B
M
A

3．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

4.如图（10）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1.
⑴请你探究：，是否都成立？
⑵请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断.

5.如图12，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，AB:BC=4:3，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB.
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；

6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．
　（1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

7.如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；

8. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1) 求证：
(2) 求这个矩形EFGH的周长.

9. 1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：．
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

10．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求证：AB2＝AE•AC．

11．（2010江苏南京）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足
的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。
已知：如图， 。
试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.

12．(2010江苏苏州) (本题满分8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．
(1)在△ABC中，AB= ▲ ；
(2)当x= ▲ 时，矩形PMCN的周长是14；
(3)是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．

13．（2010安徽省中中考）如图，已知△ABC∽△，相似比为（），且△ABC的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、。
⑴若，求证：；
⑵若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、进都是正整数，并加以说明；
⑶若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由。

14．(2009武汉)如图1，在Rt△ABC中，，于点，点是边上一点，连接交于， OE⊥BO 交边于点．
（1）求证：；
（2）当为边中点，时，如图2，求的值；
（3）当为边中点，时，请直接写出的值．
B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F

15．(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图8所示）．
（1）当AD=2，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；
（2）在图8中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
A
D
P
C
B
Q
图8
D
A
P
C
B
（Q）
）
图9
图10
C
A
D
P
B
Q

A
B
M
F
G
D
E
C
第22题图
16．（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，
且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．

17.（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是 当时，的值是 ；
（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；
②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．
（Q）
C
B
A
O
x
P

（图3）
y

Q
C
B
A
O
x
P

（图2）
y
C
B
A
O
y
x
（备用图）
（第10题）

18.(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。
（1）当时，折痕EF的长为；
当点E与点A重合时，折痕EF的长为；
（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；
温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

19．（2009年中山）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；；
（3）当点运动到什么位置时，求的值．

．
20．（2009年崇左）如图，中，分别是边的中点，B
C
D
G
E
A
（第21题）
相交于．求证：．

．
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