反例等在实变函数教学中的应用.pdf

第44卷第2期2023年6月淮北师范大学学报（自然科学版）Journal of Huaibei Normal University(Natural Sciences)Vol.44 No.2Jun.2023反例等在实变函数教学中的应用苏先锋，李晓萌（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）摘要：实变函数是数学类专业最重要的专业课程之一。为提高该课程教学效果，充分发挥其育人功能，针对实变函数教学中普遍存在学生对基础知识理解不透彻、课程内涵建设不深入、学习途径单一等问题开展教学应用探索。首先，对实变函数中的反例进行分类，帮助学生更加深刻地理解基础知识。其次，增强实变函数课程的内涵建设，发挥其在提升学生数学素养和综合素养中的积极作用。最后，探索移动学习在实变函数教学中的应用，使其成为课程学习的新途径之一。教学实践表明，反例、内涵建设和移动学习在实变函数教学中发挥重要作用，取得良好的教育教学效果。关键词：实变函数；反例；Lebesgue积分；移动学习中图分类号：O 174文献标识码：C文章编号：2095-0691（2023）02-0083-050引言实变函数是数学类专业开设的必修课，理论精密、内容抽象，被认为是最难的专业课程之一，其基本内容包含集合论、测度论、积分论等。实变函数是数学分析学习的深入，亦是进一步学习泛函分析、偏微分方程、概率论、分形几何等数学分支的理论基础，在分析数学中起到承上启下的作用。实变函数可以提升学生抽象思维能力、逻辑推理能力、创新能力、分析解决问题能力等，重要性不言而喻。很多数学教育工作者对实变函数教学进行研究，分析实变函数课程学习的困难和现状，并针对性提出相应教学改革策略，围绕如何提升教学效果等方面开展研究1-7。作者长期从事实变函数教学工作，探讨如何依托兴趣点构建提升课程教学效果的问题2。本文将结合实变函数课程教学实践，从反例教学、内涵建设、移动学习3个方面开展探究，旨在提升课堂教学效果和增强学生综合素养，达成教育目标。1运用反例，加深对知识的理解反例是定义、定理、推论中的条件不可或缺的佐证，它用来否定似是而非的问题，避免直觉上的错误，在数学教学中有着重要作用。目前，部分学者探讨反例在实变函数教学中的应用8-11。反例不仅使相关内容更加严谨，而且可以帮助学生深刻理解概念、定理，清晰地认识它们之间的联系与区别。鉴于反例教学方法在理解知识点的内涵和外延上有着不可替代的优势，所以对实变函数中的反例进行归类研究将有助于辨识概念之间的异同点，准确把握定理的适用范围，避免认识不清，产生混淆。1.1概念方面的反例将研究对象的一般的、本质的特征准确地描述出来称之为数学概念。它须避免产生歧义，确保对象是明确的。由于可以从不同的视角出发理解事物本身，所以描述同一研究对象时便产生等价定义。当教材采用不同的定义方式时，知识体系会表现出较大的差别，教材也会表现出截然不同的风格，但仔细分析会发现概念所描述对象的本质相同。如文献 12 和 13 中关于集合列的上下极限采用不同的描述方式；再如，将函数下方图形为可测集合的函数定义为可测函数14-15。这个定义与多数教材定义也有所不同。正确掌握概念是学习研究的前提。反例使学习者对概念、定理等知识点的理解更加清晰，教师在备课时收稿日期：2022-09-21基金项目：安徽省教育厅教学研究项目（2020jyxm1697）；安徽省高校自然科学基金项目（KJ2020A1198）作者简介：苏先锋（1979），男，安徽舒城人，博士，副教授，研究方向为复分析及微分方程。淮北师范大学学报（自然科学版）2023年应认真设计反例，使晦涩难懂的内容变得浅显易学，学生易于接受，达到较好的教学效果。简单函数在Lebesgue积分中有着重要的作用，任一非负可测函数可以用简单函数列逼近，Lebesgue积分理论便可以从非负简单函数的积分入手定义一般可测函数积分。对非负可测函数的Lebesgue积分定义12如下：Ef(x)dx=supE(x)dx:(x)为E上的非负简单函数，0(x)f(x)。下面给出几个例子。1.1.1可数点集与零测集例1Cantor三分集是不可数集合，但其为零测集。1.1.2几类函数之间的关系例2常值函数和可测函数定义存在区别，常值函数的定义域为可测集时才是简单函数。可测集上的连续函数是可测函数，但反之不真，可测函数未必连续，如Dirichlet函数可测但点点不连续。1.1.3函数与模函数例3设E0上是集合E=0,1中的不可测子集，作如下函数f(x)=1 xE0-1xEE0，f(x)在E上是不可测，显然|f(x)=1在E上可测。1.2概念与概念之间关系的反例学习数学需要深刻理解概念，这样才能正确运用性质准确解决问题。实变函数中有部分概念相似，容易产生混淆。通过反例对它们加以类比区别，帮助学生加深对概念的理解，从而准确掌握概念的内涵。1.2.1Lebesgue积分与Riemann积分例4R上Dirichlet函数D(x)=1xQ0 xRQ是Riemann不可积的，但它是简单函数，因此Dirichlet函数Lebesgue可积，积分如下RD(x)dx=1m(Q)+0m(RQ)=0。例513设f(x)=sinx/x，则其在0,+)的Riemann反常积分为0+sinxxdx=2。但有0+|sinxx|dx=，因此f(x)L(0,+)。例4和例5表明，Lebesgue积分是Riemann积分的推广，Lebesgue积分不是Riemann反常积分的推广。1.2.2依测度收敛和处处收敛例612依测度收敛而不是处处收敛的函数。设E=(0,1，将其二等分，四等分，八等分，一直如此下去，定义简单函数fj(n)(x)=j-12n,j2n(x),j=1,2,2n。按先n后j排序，得到如下函数列f1(1)(x),f2(1)(x),f1(n)(x),f2(n)(x),f2n(n)(x),，fj(n)(x)在这个序列为第N=2n-2+j个函数，对0,E|fj(n)-0|为空集，或是j-12n,j2n，所以m(Efj(n)-0|)12n，当N趋于无穷时，n.因此，limNm(Efj(n)-0|)=0，此函数列依测度收敛于0，但其处处不收敛。例712几乎处处收敛而不依测度收敛的函数列。设E=()0,，作函数列fn(x)=1x(0,n 0 x()n,n=1,2,易见此函数列在E上处处收敛于1，不依测度收敛于1。事实上，对(0,1)，E|fn-1=(n,+)，且m(n,+)=+，不满足依测度收敛的定义，说明fn(x)在E上不依测度收敛于1。例6与例7说明函数列依测度收敛和几乎处处收敛之间的本质区别，依测度收敛是一致收敛的推广。84第2期苏先锋等：反例等在实变函数教学中的应用1.3定理中充分条件或必要条件的反例实变函数课程中有很多判定定理和性质定理，充分条件和必要条件是这些定理的重要组成部分。不理清它们的逻辑关系，学生便不能透彻理解定理的含义。这种情况下，如果能使用反例说明这些条件是不可或缺、不可替代的，那么可以帮助学生深刻认识定理的实质，避免在定理应用过程中出现错误。交并运算中，任意多个开集之并仍是开集，有限个开集之交仍为开集，任意多个闭集之交仍为闭集，有限个闭集之并是闭集。任意多个开集之交可以是闭集，任意多个闭集之并可以是开集。例 8设Gn=()-1n,1+1n,n=1,2,Gn为开集，则n=1Gn=0,1为闭集。设Fn=1n,1-1n,n=1,2,Fn为闭集，则n=1Fn=()0,1为开集。叶果罗夫定理的条件中“任意小的测度集合”不能弱化为零测度集合。例915设函数列fn(x)如下fn(x)=0 x=0(n+2)xx0,1n+21x1n+2,1n+11-n(n+1)(x-1n+1)x1n+1,1n0 x1n,1。fn(x)为0,1上的连续函数，且limnfn(x)=0。那么当E00,1，mE0=0时，fn(x)在0,1E0上非一致收敛。事实上，存在0=12，对任意正整数N，令n=N+1N，)1(n+3),1(n+2)E0非空。因此，存在点x0)1(n+3),1(n+2)E0，根据fn(x)定义有|fn(x0)-f(x0)=|fn(x0)=10,所以fn(x)在0,1E0上非一致收敛。法图定理中结论不能仅取等号。例1013设定义在E=0,1上的函数列fn(x)=0 x=0n0 x1n,n=1,2,01nx1,limnfn(x)=0，因此有Elimnfn(x)dx=01=limnEfn(x)dx。本文反例是在Lebesgue测度和积分条件下给出的，对于一般测度论上的反例可参见文献 10-11。2增强内涵建设，提升学生综合素养教师的教学实践不单是知识传授，内涵建设更为重要，即培养学生在理解、分析、判断、创新等方面的综合能力。实变函数在提升学生自然科学素养、科研能力等方面发挥着重要作用。在实变函数的教学过程中对学生加强探究能力培养，引导学生对数学有新的思考和认识，从而提升教学效果，提高学生综合素养。2.1培养学生良好的综合素养数学课程的核心是培养学生扎实的专业素养、自主的学习能力和良好的心理素质，增强学生战胜困难和挫折的信心和勇气。敢于不断挑战自我，超越自我。教师可以利用好实变函数中相关内容开展相应的教学拓展，开阔学生的视野。案例1数学的发展并不是一帆风顺的，历史溯源对实变函数的学习非常重要。实变函数发展历史作为数学文化的重要组成部分，蕴含丰富的内涵，对学习者有着潜移默化的影响。以集合论的产生和发85淮北师范大学学报（自然科学版）2023年展为例，集合论的开创性工作是由Cantor完成。随后，集合概念渗透到各个数学分支，成为数学的基础，Cantor被称为集合论之父。但罗素悖论的出现使人们意识到集合论存在巨大缺陷，从而对数学基础结构的科学性产生怀疑，引发第三次数学危机，危机又促进数学的发展。Cantor承受巨大的压力，这也影响其身心健康。集合论最终被人们接受，并成为现代数学的基础。Lebesgue创立测度与积分理论时，同样面对很多质疑。科学研究者需要有良好的心理素质，敢于质疑权威，坚持真理。生活中学生也是需要养成良好的心理素质，拥有敢于面对困难的勇气。案例2实变函数课程中一些定理的推理过程难度大，其构造性证明更是让学生理解起来感到异常困难，很多结论打破人们的直觉认知，如线段与直线对等。实变函数的学习需要学生有良好专业基础和创新能力。在教学中，教师应引导学生弄清楚定理证明的来龙去脉，消除困惑，领悟数学思想方法的精妙。通过课程学习达到提升数学素养，改进思维方式的目的，构建自己对数学学习的再认识，这将对学生以后生活和工作产生积极的影响。2.2赏析实变函数之美实变函数以其分析精细化和结论深刻性让很多数学家为之着迷，教学中教师可以做一些赏析，通过介绍实变函数课程中很多漂亮的结果及构造性证明，带领学生欣赏美的理论、美的公式、美的证明、美的方法，让学生感悟数学内在的理性美，进而形成崇尚科学、追求真理的科学观。案例3Cantor关于集合论的工作颠覆人们的直观认知，它渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支，是20世纪最伟大的数学创造。Cantor三分集的精细结构及其性质让学生感觉非常巧妙，分形几何中的科赫雪花曲线、谢尔宾夫斯基地毯与Cantor三分集有着异曲同工之妙，因此Cantor三分集是分形几何学典型例子之一。案例4Lebesgue积分和Riemann积分蕴含着苏东坡 题西林壁 中“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的诗情画意，同一事物从不同角度去看会有不同的收获，这也是数学最美妙之处。教育引导学生在生活中从不同角度去看事物可能会有意想不到的收获，这亦是生活意义所在。案例5德国数学家Hausdorff提出的相似维度“分数维”的概念，称之为Hausdorff维数，让学习者明白生活中不仅只有整数维度还可能有分数维度。2.3培养学生创新能力学习实变函数不仅能够提升学生数学素养，而且在培养学生科学研究能力方面有着重要意义16。学者们研究并发掘实变函数中的创造性因素，其集合论、测度论、积分论等内容都体现数学创造创新精神。学生通过相关内容学习，对数学研究过程有更加深入的认识，有益于培养学生科学研究能力。案例6集合论中对无穷集合进行分类，提出集合对等等重要概念，证明线段与直线的点是对等的，阐述可数集合的定义。Cantor在数学研究中承认实无穷集的存在，这说明Cantor具有超强的创新能力和打破常规的魄力。案例7测度论中依测度收敛具有重要的意义，使用反例可以说明函数列依测度收敛和处处收敛的本质区别，同时Riesz定理和Lebesgue定理表明依测度收敛和几乎处处收敛之间又存在内在联系。积分论中，Riemann积分的缺陷异常明显，如Dirichlet函数虽是简单函数，但根据Riemann可积的条件，该函数不可积。当站在新的视角上去建立适用性更广的积分理论来扩大可积函数的范围时，Lebesgue创立新的积分理论（Lebesgue积分），使得Dirichlet函数可积。3推广移动学习，有效辅助课堂教学随着网络媒体平台快速发展，学习不再局限于课堂和书本，而是可以通过自媒体平台开展自主学习，学生学习方式发生改变，使移动学习成为主要学习方式之一17。实变函数教学中教师可以引导鼓励学生开展移动学习。实变函数课程内容抽象，理论严谨，学生在学习过程中可能对部分内容理解不深入，此时便可以通过移动学习进行补充。学生不仅可以利用超星等移动学习专业平台，同时可以通过抖音、微信、知乎等网络媒体平台搜索相关资源进行预习、复习等。通过移动学习可以让学生对实变函数内容有更加清晰的认识和理解，形成较为系统的知识体系，从而使实变函数的学习效果更加显著。移动学习对辅助实变函数课86第2期苏先锋等：反例等在实变函数教学中的应用程教学作用明显，但应避免因此导致课程容量过大，降低学生学习效果，因此在实变函数教学中要注意因材施教，量力而为，避免移动学习成为学生学习的负担。4结语实变函数授课过程中，教师都会有新感悟、新思考，需不断总结教学经验，追求更佳的教学效果，达成教学目标，给学生带来积极的影响。本文仅是对实变函数教学的一些思考，教学实践表明，反例让课程中概念、定理更加清晰，课程内涵建设利于提升学生综合素养，移动学习可以拓展课堂教学和空间，在实变函数教学中发挥着重要作用。参考文献：1铁勇.大学生学习实变函数课程的困因和教学改革的探讨 J.曲靖师范学院学报，2011，30（3）：71-73.2苏先锋，秦喜梅，李晓萌.关于实变函数教学中的一些注记 J.淮北师范大学学报（自然科学版），2014，35（1）：78-80.3刘益波，夏顺友，汪少祖.实变函数探究式教学的策略与方法 J.贵州师范学院学报，2021，37（3）：72-75.4于伟波，李亚亚.实变函数中测度概念的探究式教学 J.大学数学，2020，36（5）：83-87.5冯颖.实变函数教学中的铺垫教学法 J.大学数学，2016，32（2）：64-67.6曹广福.实变函数课题式教学研究 J.数学教育学报，2021，30（2）：32-36.7吴照奇，朱传喜.数学文化在实变函数与泛函分析教学中的渗透 J.数学教育学报，2019，28（1）：89-91.8王晋勋.实变函数论中的几个问题与反例 J.韶关学院学报（自然科学版），2006，27（12）：16-18.9刘京鑫.反例在实变函数中的运用 J.高等数学研究，2009，12（4）：117-120.10范洪福，范子杰.实变函数反例研究（I）J.大学数学，2018，34（6）：52-55.11范洪福，范子杰.实变函数反例研究（）J.大学数学，2017，33（4）：116-119.12程其襄，张奠宙，胡善文，等.实变函数与泛函分析基础 M.4版.北京：高等教育出版社，2019：5-95.13周民强.实变函数论 M.北京：北京大学出版社，2007：158-168.14魏勇.可测函数的新定义及其优越性 J.高等数学研究，2009，12（1）：31-34.15程丛电.实变函数引论 M.北京：科学出版社，2012：56-75.16金淑良.发掘实变函数论课程中的创造性因素 J.数学教育学报，1997，6（1）：85-88.17苏先锋.微信公众平台在大学数学教学中的应用及其影响 J.数学学习与研究，2020（3）：14-16.Application of Counterexamples and Other Aspects to theTeaching of Real Variable FunctionSU Xianfeng，LI Xiaomeng（School of Mathemetical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei,Anhui，China）Abstract：Real variable function is one of the most important courses in mathematical major.In order to improve the teaching effect of this course and give full play to its educational function，this paper studies theteaching application of the problems commonly existing in the teaching of real variable function，such as students incomplete understanding of basic knowledge，insufficient construction of curriculum connotation andsingle learning path.Firstly，the counterexamples of real functions are classified to help students understandthe basic knowledge more deeply.Secondly，the connotation construction of the course is strengthened toplay its positive role in improving students mathematical literacy and comprehensive literacy.Finally the application of mobile learning in the teaching of real variable function is studied and it becomes one of the newpath of course learning.The teaching practice shows that the counterexamples，connotation construction andmobile learning play an important role in the teaching of real variable function and achieve good teaching effect.Key words：real variable function；counterexample；Lebesgue integral；mobile learning87