2014年中考数学试题分类汇编解析-阅读理解、图表信息题.doc

阅读理解、图表信息
一、选择题
1. （2014•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )

A．(—2012,2) B．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)
考点：坐标与图形变化－对称；坐标与图形变化－平移．
专题：规律型．
分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律．
解答：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M的坐标变为(2,2)
∴根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），
第2014次变换后的点M的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2）
故答案为A．
点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n为偶数时为（2－n，2）是解此题的关键．
2.（2014山东济南，第14题，3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列，将其中的每个数换成该数在中出现的次数，可得到一个新序列．例如序列：（4，2，3，4，2），通过变换可得到新序列：（2，2，1，2，2）．若可以为任意序列，则下面的序列可以作为的是
A．（1，2，1，2，2） 　　 B．（2，2，2，3，3）
C．（1，1，2，2，3） 　　　 D．（1，2，1，1，2）
【解析】由于序列含5个数，于是新序列中不能有3个2，所以A，B中所给序列不能作为； 又如果中有3，则中应有3个3，所以C中所给序列也不能作为，故选D．

二、填空题
1．（2014•四川宜宾，第16题，3分）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．
据此判断下列等式成立的是 ②③④ （写出所有正确的序号）
①cos（﹣60°）=﹣；
②sin75°=；
③sin2x=2sinx•cosx；
④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．

考点：
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．
专题：
新定义．
分析：
根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．
解答：
解：①cos（﹣60°）=cos60°=，命题错误；
②sin75°=sin（30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=×+×=+=，命题正确；
③sin2x=sinx•cosx+cosx•sinx═2sinx•cosx，故命题正确；
④sin（x﹣y）=sinx•cos（﹣y）+cosx•sin（﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确．
故答案是：②③④．
点评：
本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解题目中的定义是关键．
三、解答题
1. （2014•四川巴中，第22题5分）定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．
考点：新定义．
分析：首先根据运算的定义化简3△x，则可以得到关于x的不等式组，即可求解．
解答：3△x=3x﹣3﹣x+1=2x﹣2，根据题意得：，解得：＜x＜．
点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．
2.（2014•湖南张家界，第23题，8分）阅读材料：解分式不等式＜0
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：
①或②
解①得：无解，解②得：﹣2＜x＜1
所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1
请仿照上述方法解下列分式不等式：
（1）≤0
（2）＞0．

考点：
一元一次不等式组的应用．
专题：
新定义．
分析：
先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式．
解答：
解：（1）根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：
①或②
解①得：无解，
解②得：﹣2.5＜x≤4
所以原不等式的解集是：﹣2.5＜x≤4；

（2）根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：
①或②
解①得：x＞3，
解②得：x＜﹣2．
所以原不等式的解集是：x＞3或x＜﹣2．
点评：
本题考查了一元一次不等式组的应用．本题通过材料分析，先求出不等式组中每个不等式的解集，再求其公共部分即可．

3. （2014•江西抚州，第24题，10分）
【试题背景】已知：∥∥∥，平行线与、与、与之间的距离分别为1、2、3，且1 =3 = 1，2 = 2 . 我们把四个顶点分别在、、、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.
【探究1】 ⑴ 如图1，正方形为“格线四边形”，于点,的反向延长线交直线于点. 求正方形的边长.
【探究2】 ⑵ 矩形为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形的宽为. (直接写出结果即可)
【探究3】 ⑶ 如图2，菱形为“格线四边形”且∠=60°，△是等边三角形，于点， ∠=90°，直线分别交直线、于点、. 求证：.
【拓 展】 ⑷ 如图3，∥，等边三角形的顶点、分别落在直线、上，于点，且=4 ，∠=90°，直线分别交直线、于点、，点、分别是线段、上的动点，且始终保持=，于点.
猜想：在什么范围内，∥？并说明此时∥的理由.

解析：(1) 如图1，

∵BE⊥l , l ∥k ,
∴∠AEB=∠BFC=90°,
又四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC, ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,
∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),
∴AE=BF=1 , ∵BE=d1+d2=3 , ∴AB= ,
∴正方形的边长是 .
(2)如图2,3，

⊿ABE∽⊿BCF,
∴ 或

∵BF=d3=1 ,
∴AE= 或
∴AB= 或
AB=
∴矩形ABCD的宽为或.
(注意：要分2种情况讨论）

(3)如图4，

连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC,
又∠ADC=60°,
∴⊿ADC是等边三角形，
∴AD=AC，
∵AE⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，
∵⊿AEF是等边三角形， ∴ AF=AE,
∴⊿AFD≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.
(4)如图5，

当2＜DH＜4时， BC∥DE .
理由如下：
连接AM,
∵AB⊥k , ∠ACD=90°,
∴∠ABE=∠ACD=90°,
∵⊿ABC是等边三角形，
∴AB=AC ,
已知AE=AD, ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD；
在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，
，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),
∴ BM=CM ；
∴ME=MD,
∴ , ∴ED∥BC.
4. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：
①存在函数，其图象经过（1，0）点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．

考点：
二次函数综合题
分析：
①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；
②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；
③根据二次函数的增减性，即可作出判断；
④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断．
解答：
解：①真，将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，
解得：k=0．
运用方程思想；

②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；

③假，如k=1，﹣=，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；

④真，当k=0时，函数无最大、最小值；
k≠0时，y最==﹣，
∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；
当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．
点评：
本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般．
　5. ( ( 2014年河南) 21.10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。设购进A掀电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元。
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台。若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案。
解：（1）设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，
则有 解得
即每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元. ……4分
（2)①根据题意得y＝100x＋150(100－x)，即y＝－50x＋15000……………………5分
②根据题意得100－x≤2x，解得x≥33，
∵y＝－50x+15000，－50＜0，∴y随x的增大而减小.
∵x为正整数，∴当x=34最小时，y取最大值，此时100－x=66.
即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大………7分
（3）根据题意得y＝（100+m）x＋150(100－x)，即y＝（m－50）x＋15000.
33≤x≤70.
①当0＜m＜50时，m－50＜0，y随x的增大而减小．
∴当x =34时，y取得最大值．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润；…………8分
②当m=50时，m－50=0，y＝15000．
即商店购进A型电脑数最满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润；…9分
③当50＜m＜100时，m－50＞0，y随x的增大而增大．
∴x=70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．……………10分
6．（2014•四川凉山州，第22题，8分）实验与探究：
三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]
=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）
整理这个方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n1=24，n2=25
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

考点：
一元二次方程的应用；规律型：图形的变化类
分析：
（1）由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们的和，前n行共有个点，则=600，然后解方程得到n的值；
（2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×个进而得出即可；根据规律可得n（n+1）=600，求n的值即可．
解答：
解：（1）由题意可得：=600，
整理得n2+n﹣1200=0，
（n+25）（n﹣24）=0，
此方程无正整数解，
所以，三角点阵中前n行的点数的和不可能是600；

（2）由题意可得：
2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×=n（n+1）；
依题意，得n（n+1）=600，
整理得n2+n﹣600=0，
（n+25）（n﹣24）=0，
∴n1=﹣25，n2=24，
∵n为正整数，
∴n=24．
故n的值是24．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
7．（2014•四川宜宾，第21题，8分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x、y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．
（1）求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L．
（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值．

考点：
规律型：图形的变化类；三元一次方程组的应用
分析：
（1）理解题意，观察图形，即可求得结论；
（2）根据格点多边形的面积S=N+aL+b，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b即可求得S．
解答：
解：（1）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；
（Ⅱ）根据格点三角形ABC及格点四边形DEFG中的S、N、L的值可得，
，
解得a，
∴S=N+L﹣1，
将N=82，L=38代入可得S=82+×38﹣1=100．
点评：
此题考查格点图形的面积变化与多边形内部格点数和边界格点数的关系，从简单情况分析，找出规律解决问题．
8．（2014•甘肃兰州,第27题10分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

考点：
四边形综合题．
分析：
（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；
（2）①首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；
②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
解答：
解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；

证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；

②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
点评：
此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．

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