对一类定积分问题使用留数定理求解的探讨.pdf

数理科学与信息科学研究对一类定积分问题使用留数定理求解的探讨王党朝，陈湘，王剑，黄永超（内江师范学院 物理与电子信息工程学院，四川 内江 641100）摘要：针对量子力学和固体物理学中一类无法求解出原函数的实变定积分问题，先使用幂级数理论求解，再使用复变函数理论中的留数定理求解，两种方法结果一致。结果表明，通过构造积分围道，使用复变函数中留数定理求解的方法可以有效解决该类定积分问题。关键词：傅里叶变换；奇点；留数定理；围道积分中图分类号：O411.1文献标识码：A文章编号：1672-2914（2023）04-0015-03AFurther Discussion of a Category of IntegralProblem Using the Residue TheoremWANG Dangchao,CHEN Xiang,WANG Jian,HUANG Yongchao(School of Physics and Electronic Information Engineering,Neijiang Normal University,Neijiang 641100,Sichuan,China)Abstract：Taking a class of real-variable function definite integral that cannot be solved in the inquantum mechanics and solid state physics as an example,the power series theory is first used,andthen solved by the residue theorem in the theory of complex variable functions,and the results are thesame.The results show that such definite integration problems can be solved by constructing an inte-gral contour and using the residue theorem in the complex function.It is hoped that our research resultswill enrich the field of solving definite integral problems of real-variable function using complex vari-able function theory.Key words：Fourier Transformation;singularity point;the residue theorem;integral contour收稿日期：2023-04-20基金项目：内江师范学院引进人才项目（00018B05）。作者简介：王党朝（1977），男，陕西武功人，内江师范学院物理与电子信息工程学院副教授，博士，研究方向为固体电子学。E-mail：。2023年7月咸阳师范学院学报Jul.2023第38卷 第4期Journal of Xianyang Normal UniversityVol.38 No.41 问题的提出在量子理论建立之初，普朗克在研究黑体辐射问题时，将黑体视作大量谐振子，每个谐振子会发射和吸收电磁波，且发射和吸收电磁波的能量是不连续的（为某一能量值的整数倍）。在此假设之上，他提出了黑体辐射单位面积的发射功率为e(T)=2(kBT)4c2h30 x3ex-1dx1（1）其后，在对三维晶格摩尔热容的研究中，德拜考虑到不同格波对晶格热容的贡献存在差异，尤其在低温时低频格波的振动，它的色散关系是线性的，并且低频格波可以看作连续介质中的弹性波，同时考虑了对某一特定波矢，存在一支纵弹性波和两支独立的横弹性波，因此提出了新的热容模型：当TD时，晶格的平均内能为E=9N3D()40 x3ex-1dx2（2）其中x=/(kBT)，=1/(kBT)。上述两项计算中均出现了积分I=0 x3ex-1dx（3）很明显，被积函数的原函数无法用初等函数表示，因此给求解带来困难。我们知道，复变函数理论是实变函数理论的自然推广，但又拥有比实变函数更丰富的内容，尤其对于一大类在实数域内无法求出原函数的定积分问题，可以通过构造积分围道，使用复变函数的留数理论予以解决，这类问题的关键在于构造积分围道3-5。对于上述形式的定积分问题，目前还没有它的留数定理解法，以下首先给出该问题的幂级数解法，随后着重使用留数定理予以求解，可以看出其结果是一致的。2 幂级数理论求解使用幂级数求解定积分的理论依据是，在收敛域内，把被积分函数展开为幂级数，在一致收敛的条件下，交换求和与积分的次序，把积分问题化为幂级数求和问题，从而达到求解定积分的目的。对于本文中出现的定积分，计算过程如下I=0 x3ex-1dx=0 x3e-x1-e-xdx=0 x3e-xk=0e-kxdx=k=00 x3e-(k+1)xdx=k=06(k+1)4=6k=11k4。（4）此处x0，所以0e-x12eR。对于分子|z4=(R2+y2)24R4，(R2)所以|f(z)8R4e-R，|1f(z)dz8R4e-R02dy=16R4e-R最后得到limR1f(z)dz=0。（3）在2上，z=x+2i，x2。有2f(z)dz=R(x+2i)4ex-1dx=Rx4+8x3i-242x2-323xi+164ex-1dx。（4）在上，z-2i=ei，232。因为limz2i(z-2i)f(z)=limz2iz4e-z=164。16咸阳师范学院学报第38卷R+2i2312iyRxO图1 积分围道由引理8，得到lim0f(z)dz=-85i。（5）在3上，z=iy，2-y0，得到3f(z)dz=2-0(iy)4eiy-1d(iy)=i2-0y4eiy-1dy=i2-0y4eiy22isiny2dy=i2-0y4(cosy2-isiny2)2isiny2dy=122-0y4coty2dy-i2-0y4dy。经上面分析，当R，0时，式（6）变成0 x4ex-1dx-0 x4+8x3i-242x2-323xi+164ex-1dx-1202y4coty2dy+i1202y4dy-85i=0整理，得到0-8x3i+242x2+323xi-164ex-1dx-1202y4coty2dy+i202y4dy-85i=0左端取虚部，得到-80 x3ex-1dx+3230 xex-1dx+1202y4dy-85=0，-8I+3230 xex-1dx+123255-85=0，I=420 xex-1dx-354（7）式（7）中出现了0 xex-1dx，可以令f(z)=z2ez-1，再次利用如图1所示的积分围道，使用留数定理，得到和式（6）相同形式的积分，分别对右端的各项积分进行分段计算，采用同样的分析方法，当R，0时，得到0 x2ex-1dx-0 x2+4xi-42ex-1dx+1202y2coty2dy-i202y2dy+23i=0（8）对（8）式左端取虚部，即-40 xex-1dx+233=0，可求出0 xex-1dx=26（9）由（4）式和（2）式，最终得到I=0 x3ex-1dx=415，与使用幂级数理论得到的结论相同。4结论文章对在量子力学和固体物理学教材中出现的一类定积分问题，分别使用幂级数方法和复变函数理论中的留数定理进行了计算和探讨，得到了相同的结论。希望本研究能够丰富使用留数定理求解实变函数定积分问题这一领域。参考文献：1RAINER D.Advanced quantum mechanics materials andphotosM.New York：Springer-Verlag，2012：9.2SIMON S H.The Oxford solid state basicsM.Oxford：Ox-ford University Press，2013：12.3史济怀，刘太顺.复变函数M.合肥：中国科学技术大学出版社，2021：205.4JOSEPH B，DONALD J N.Complex analysisM.John Wiley&Sons，2008：130.5KRANTZ S G.Complex variables：a physical approach withapplications and MATLABM.CRC Press，2007：121.6梁昆淼.数学物理方法M.北京：高等教育出版社，2021.7DUNHAM J.Fourier series and orthogonal polynomialsM.The MathematicalAssociation ofAmerica，2004：30.8STAFF E B，SNIDER A D.复分析基础及工程应用M.北京：机械工业出版社，2007：228.第4期王党朝，等：对一类定积分问题使用留数定理求解的探讨17