功能梯度材料梁自由振动的线性与非线性振动.pdf

beams.Mechanics in Engineering,2023,45(3):520-525ChenQi,Ma Liansheng,Guo Zhangxin.Linear and nonlinear vibration of free vibration of functionalgradient material力第45 卷第3 期2023年实6月践学功能梯度材料梁自由振动的线性与非线性振动1陈琦*马连生十郭章新*,2)（太原理工大学机械与运载工程学院应用力学研究所，太原0 30 0 2 4)（兰州理工大学工程力学系，兰州7 30 0 50)摘要基于数值模拟和理论分析两种方法，研究了功能梯度材料（functionalgradientmaterials，FG M)梁自由振动下的线性与非线性振动问题。通过解析法求解了FGM梁在经典理论下以及一阶剪切理论下的力学行为，得到了FGM梁在简支和固端约束下的固有频率。理论分析了不同边界条件、不同梁理论下、梯度指数、长细比等因素对于FGM梁固有频率的影响；不论经典梁理论还是一阶剪切理论，随着梯度指数的增加，FGM梁的固有频率都随之减小。通过ABAQUS仿真模拟，得到FGM梁数值模拟下的非线性固有频率。将理论解与数值解进行对比，完善力学模型。在多种理论下，利用解析法和数值模拟的方法，给出FGM梁结构振动响应的线性与非线性解。关键词工功能梯度材料梁，经典理论，一阶剪切理论，振动，解析解，数值解中图分类号：0 32 1文献标识码：Adoi:10.6052/1000-0879-22-397LINEARANDNONLINEARVIBRATIONOFFREEVIBRATIONOFFUNCTIONALGRADIENTMATERIALBEAMSi)CHENQi*tMA LianshengtGUO Zhangxin*,2)(Institute of Applied Mechanics,College of Mechanical and Vehicle Engineering,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024,China)t(Department of Engineering Mechanics,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China)Abstract Based on both numerical simulation and theoretical analysis,the linear and nonlinear vibrationproblems for free vibration of beams with functional gradient materials(FGM)are investigated.The mechanicalbehaviors of FGM beams under classical theory and first-order shear theory are solved analytically,the inherentfrequencies of FGM beams under simple support and solid end restraint are obtained.The theory analysesdifferent conditions that influence the inherent frequence of the FGM beams,including different boundaryconditions,different beam theories,gradient index,slenderness ratio and so on.Regardless of classical beamtheory or first-order shear theory,with the increase of gradient index,the inherent frequency of FGM beamsdecreases accordingly.The nonlinear inherent frequency of FGM beam under numerical simulation is obtainedby ABAQUS simulation.The theoretical solutions are compared with the numerical solutions to verify eachother and improve the mechanical model.The aim is to give linear and nonlinear solutions of the structuralvibration response of beams with FGM under multiple theories,using analytical methods and numericalsimulations.Keywordsfunctional gradient material beams,classical theory,first-order shear theory,vibration,analyticalsolution,numerical solution2022-07-05收到第1 稿，2 0 2 2-0 8-2 7 收到修改稿。1）国家自然科学基金（1 1 6 0 2 1 6 0）和山西省自然科学基金（2 0 2 1 0 30 2 1 2 2 41 1 1）资助项目。2)郭章新，副教授，主要研究方向为复合材料及其结构的力学性能分析。E-mail：g u o z h a n g x i n t y u t.e d u.c n己引田格式：陈琦连生郭音新工能525521琦等：功能梯度材料梁自由振动的线性与非线性振动陈第3 期功能梯度材料(functional gradient materials,FGM）是由两种或两种以上的材料结合而成。通过大量的理论和实验研究发现，FGM极大地解决了复合材料构件的裂纹和分层问题，能够提高结构强度和使用寿命1-4。Ke等5 和Simsek6研究了FGM 梁的非线性振动，探讨了材料梯度指数以及端部支撑对于FGM梁非线性动力学行为的影响。Katili等7 分析了不同边界条件对FGM梁振动的影响。Asgharifard 等8 和Hosscinihashemi 等9 建立了非经典梁模型，研究和讨论了材料属性和固有频率的关系。李世荣等1 0 得到了FGM梁与均质梁之间的转换关系。马连生等1 1 讨论了不同梁理论之间简支梁特征值的解析关系。Chen等1 2 和Xie等1 3 讨论了边界条件、材料梯度指数等诸多因素对于FGM梁热弹性振动特性的影响。Safa等1 4 探讨了温度分布以及细长比等因素对于FGM梁固有频率的影响。蒲育等1 5 利用Navier法得到了弹性地基FGM简支梁自由振动的精确解。林鹏程等1 6 采用微分求积法，得到了不同因素对FGM梁自振频率的影响。江希等1 7 利用数值方法，求解了基于高阶梁理论FGM梁的自由振动。1基本方程求解以长为l，宽为b，高为h，截面面积为A建立矩形截面梁，将梁的轴线、宽度和厚度方向分别定义为轴，之轴和y，建立三维坐标系，如图1 所示。y之h1图1 奖梁坐标系示意图Fig.1Diagram of beam coordinate system将位移方程、几何方程和物理方程代入Hamilton原理，经过变分运算，得到运动方程aNIot211ot20(1a)aMa2uQI1120(1b)t2t28QwNaIo：0(1c)ot2式中Io=p(2)dAAI1=p(2)(z-zo)dA(2)AI2=p(z)(z-z0)dAA若不计时间（静态变形）dNa0d.cdMaQ0(3)dcdQddwNdadcdc式中，N为截面轴力，M为弯矩，Q为剪力，u为梁中面上某点的轴向位移，为横截面转角，w为梁中面上某点的横向位移，p(2)为密度随厚度方向的变化。2理论求解FGM横向线性自由振动2.1经典理论下梁的横向线性自由振动略去方程（1）中的轴向惯性项以及耦合惯性项，令方程星（1）中温度项为0，得到运动方程82Ma=0(4)2ot2令谐振动状态为w(a,t)=w()eit，对方程（4)进行无量纲化，可得d4Ww2W=0(5)d4求解方程呈（5），可得W(s)=CieVa$+Cze-Vas+C cos(Vws)+C4 sin(VwE)(6)(1)两端夹紧梁考虑两端固支的边界条件dW=0,1W=0ds将边界条件代入方程（6）可以得到特征方程，计算出固有频率的隐式方程力522实践学2023年第45卷1-cos Vwcosh Vw=0(7)IoS解得V=4.730，由无量纲w=14，得到Da/Pow。将Vg=4.730 代入，可以得到固有W=频率w随着梯度指数n的增大而不断减小，最终趋于一个定值，如图2。25fixed at both endssimply supported at both ends20151050012345678 910gradient index n图2 约经典理论FGM梁梯度指数对固有频率的影响Fig.2 Influence of classical theory FGM beam gradient indexon intrinsic frequency在经典理论下以及两端固定的约束下，当FGM的梯度指数n=0时，固有频率w=22.3729为最大值，随着FGM的梯度指数n的增大，固有频率w显著减小，可见FGM对调节固支梁的振动有显著的效果。(2）丙两端简支梁考虑在两端简支的边界条件d2W$=0,1W二0d2将边界条件代入方程（6）可以得到特征方程，解得固有频率，w=n元。取一阶模态时，即当n=1 时,，-9.8 6 9 6，由无量纲w0D.得到W=VPw。将 w=9.869 6 代入，可以得到固有频率w随着梯度指数n的增大而不断减小，最终趋于一个定值，如图2。在经典理论下以及两端简支的约束下，当FGM的梯度指数n=0时，固有频率w=9.8696为最大值，随着FGM的梯度指数n的增大，固有频率w显著减小，可见FGM对调节梁的振动有显著的效果。2.2一阶剪切理论下梁的横向线性自由振动略去方程呈（1）中的轴向惯性项及耦合惯性项，并令方程（1)中温度项为0,可得运动方程=0(8a)8Ma0(8b)8Q100(8c)ot2式中QA+M=DaN=AEk:2(1+0)AaAz=ksdA=1JA2(1+u)A=E(z)dA=bhEcAoA1+nErAo=n+1Da=(-20)E(2)dA=Dmf(n)Abh3EDM=12(n+1)(n+2)(n+3)20n(Er-1)20212+12Aoh(n+1)(n+2)h其中，ks为剪切系数，为泊松比，E和E。分别为两种材料的杨氏模量，n为材料梯度指数。令谐振动状态为W(r,t)=w(a)eint,o(r,t)=(a)eint则得到运动特征方程，并对其进行无量纲化得到d4Wd2W+Fow2W=0(9)d54ds2式中1o22Fo=Az(1)两端夹紧梁考虑两端固定的边界，其无量纲化，得到dWd3WdWW=0,FoFi+F10(10)dsde3d式中523陈琦等：功能梯度材料梁自由振动的线性与非线性振动第3 期Fi=7Dx,Fo=1o,12A212Aaz从式（1 0）得到问题的特征方程，解得2(for1+Fir1)(for2-Fir23)(1-cosh r1 cos r2)+(for1+Fir13)-(for2-Fir23)sinh r1 sin 2=0(11)其中fo=FoFi+1。1o52214，得到W=VD由无量纲w2=Ds20将关键点无量纲的固有频率代入，可以得到固有频率随着梯度指数的增大而不断减小，直至趋于一个定值，如图3所示。24k=4k=522k=.i0under classical theory2018161412108012345678910gradient index n图3一阶剪切理论下夹紧梁梯度指数对固有频率的影响Fig.3 Influence of the gradient index on the intrinsicfrequency of a clamped beam under first-order shear theory基于一阶剪切理论以及在两端固定的边界条件下，图3为分别在FGM梁长细比k=4，k=5，k=1 0 和经典理论下固有频率受梯度指数的影响程度。由图3可以明显看出，长细比越小，其对振动的调控也越明显，当长细比增大到一定程度，逐渐接近于经典理论下的固有频率，同时，不论长细比如何取值，梯度指数在一定范围内影响着固有频率的大小，其改变的大小是不容忽略的。图4分别讨论了FGM梁的梯度指数n=0.1，n=0，n=1，n=1 0 和n=100的五种情况下,长细比对固有频率的影响。由图4可以看出，随着长细比的增大，不同梯度指数的梁，其固有频率都随之增大，且稳定在一个定值附近。而且，在相同的长细比下，在一定的范围内，FGM的梯度指数越大其固有频率越小。(2)两端简支梁考虑两端简支边界，当=0，1 时，无量纲25n0.1n020-n=10n=100151050020406080100120140160180200slenderness ratio k图44一阶剪切理论下固支梁自由振动长细比对固有频率的影响Fig.4 Influence of the free vibration slenderness ratio of asolidly supported beam on the inherent frequency underfirst-ordersheartheory形式d?w+FoW=0(12)dae2解得，sinr2=0，即H12Fo2+4w2FoT2=n元2或Fon2元2将关键点代入，可以得到固有频率随着梯度指数的变化而变化，如图5所示。10k=41039-k=i09under88classicaltheory7765600.20.4 0.60.81.054012345678910gradient index n图5一阶剪切理论下梯度指数对固有频率的影响Fig.5Influence of gradient index on intrinsic frequencyunder first-order shear theory同时，可得到有量纲的固有频率与不同梯度指数下FGM梁的长细比之间的关系，如图6所示。基于一阶剪切理论以及在两端简支的边界条力524实践学2023年第45卷件下，图5为分别在FGM梁长细比k=4，k=5，k=1 0 和经典理论下固有频率受梯度指数的影响程度。同时，不论长细比如何取值，梯度指数在一定范围内影响着固有频率的大小，其改变的大小是不容忽略的。图6 讨论了FGM梁的梯度指数n=0.1，n=0，n=1，n=1 0 和n=100的五种情况下，长细比对固有频率的影响。由图6 可以看出，随长细比的增大，不同梯度指数的梁，其固有频率都随之增大，且稳定在一个定值附近。相同的长细比时，在一定范围内FGM的梯度指数越大其固有频率越小。1090.108n=1=107n1006543210.0102030405060708090 100slenderness ratio k图6一阶剪切理论下简支梁自由振动长细比对固有频率的影响Fig.6 Influence of the the free vibration slenderness ratio of asimply supported beam on the inherent frequency underfirst-order shear theory3ABAQUS数值模拟利用理论求得解析解，通过ABAQUS建立力学模型，令FGM的梯度指数n=10。将原本连续的材料参数离散化，得到1 0 层的材料参数，将FGM梁模型转化为层合梁的模型，使用ABAQUS软件求得梁的振动频率。将数值模拟结果与解析解进行对比，如表1所示。图7 和图8 分别为两端简支和两端夹紧的应变云图。当比值越接近2 元，理论解与数值解的误差越小。由表1 中的数据可以看出，当考虑剪切变形时，理论值与模拟值的比值要更加接近2 元，故在此模型中，考虑剪切变形的结果还是相对更加准确一些。表1 王理论值和模拟值的比较Table l Comparison of theoretical and simulatedvaluesFixed at bothSimple support atendsboth endsclassical theory wi36.86516.226first order shear35.306716.1173theory w2simulated values f5.562.3816ratio w1/f6.63046.8131ratio w2/f6.35016.7674图7两端固定应变云图Fig.7Strain cloud of the beam fixed at both ends图8两端简支应变云图Fig.8Strain cloud of the beam simple-supported atboth ends4结论在FGM梁的自由振动中，当长细比超出一定的范围时，剪切变形的影响变得极小，可以忽略。经典理论下，FGM梁受两端固定边界条件时的固有频率高于受两端简支边界条件时的固有频率；同样的在一阶剪切理论下，FGM梁受两端固定边界条件时的固有频率高于受两端简支边界条件时的固有频率。在FGM梁的自由振动中，不论经典梁理论还是一阶剪切梁理论，其固有频率都随着梯度指数的增大而减小。在一阶剪切理论下，当梯度指数相同时，FGM梁的长细比越（责任编辑：王永会）525陈琦等：功能梯度材料梁自由振动的线性与非线性振动第3 期小，其固有频率也越小。在ABAQUS有限元软件的模拟中，当确定了FGM梁的梯度指数和长细比时，一阶剪切理论下所求出来的理论值更加合理，也就是在长细比相同的情况下，存在剪切变形的影响。参考文献1 Nino M,Hirai T,Watanabe R.The functionally gradientmaterials.Journal of the Japan Society 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