“同构”新天地,“找点”大舞台-2022年新高考Ⅰ卷第22题的解析.pdf

讲题比赛特等奖获奖论文之七:“同构”新天地,“找点”大舞台 年新高考卷第 题的解析江苏省沭阳高级中学纪秀艳山东省滨州实验中学王洁刘晓蕾贾生森真题呈现(年新高考卷第 题)已知函数f(x)exa x和g(x)a x l nx有相同的最小值()求a;()证 明:存 在 直 线yb,其 与 两 条 曲 线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列第()问分析因为两个函数有相同的最小值,所以要考虑各自的单调性,因而需要对两个函数分别求导,f(x)exa,g(x)ax由于导数中含有参数,需 要讨论当a时,f(x),则f(x)在R上单调递增,此时f(x)无 最 小 值;因 为g(x),则g(x)在,()上单调递减,此时g(x)无最小值当a时,令f(x),则xl na当x,l na(),f(x);当x l na,(),f(x)于是f(x)在(,l na)上 单 调 递 减,在(l na,)上 单 调 递 增,所 以f(x)m i nf(l na)aal na令g(x),则xa当x,a,g(x);当xa,g(x)于 是g(x)在,a上单调递减,g(x)在a,上单调递增,所以g(x)m i nga l na由f(x)m i ng(x)m i n,得 l naaal na此处超越式方程的解法,有两种途径:构造函数和放缩而构造函数又有两种方法,放缩又有四种方法,见思维导图图命题考试试题研究 年 月上半月思路一:求最值,直接建立关于a的方程解法:构造函数(一)由 l naaal na,得a()l naa令h(a)a()l naa,则h(a)l naaa l na,于是h(a)在,()上为增函数又h(),所以a解法:构造函数(二)由 l naaal na,得l naaa令h(a)l naaa,则h(a)aa a(),于是h(a)在,()上为增函数又h(),所以a解法:切线放缩两边夹由 l naaal na,得l naaa由a,a l na,以a代a得到a l na于是l naa则a,al naa,所以aaaa,即aaaaa,当且仅当a时不等式组成立故a说明:a,不等式a l na取等号时的几何意义是直线yx与曲线y l nx相切解法:糖水不等式放缩法由 l naaal na,得l naa a a,则a l na l na由a l na,得a a,即aa再结合糖水不等式ab,m,babmam可 知 当a时,有aaaa,从而aa,解得a思路二:设最值,化归为公切线问题解法:公切线法设函数f(x)exa x和g(x)a x l nx有相同的最小值为t,则exa xt,a x l nxt,即x,(),l nxta xext设ya x分别与曲线yext,y l nxt切于点为(x,y),(x,y),则ya x,yext,ya x,y l nxt又由f(x)g(x),得aexx,即xl na,xa又a xa xexl nx,所以a(l naa)a l na,则(a)l naa以下同前面解决思路三:先猜后证解法:必要性探路放缩法设函数f(x)exa x和g(x)a x l nx有相同 的 最 小 值 为t由 解 法可 知,只 需 证 明x,(),l nxta xext即可又由常见的切线不等式,可知l nxtxt,xtext因此只需 证xta xxt,即 证ta()xt,只需证a()xt因为对x,(),都有a()xt,所以a第()问分析解决零点问题,需采用数形结合思想,根据第()题所得f(x),g(x)的单调性作出图象(如图),图中三 个 交 点 从 左 到 右 分 别 记 为A(x,y),B(x,y),C(x,y)图因为存在直线yb与曲线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点,又由()可知两函数最小值皆为,所以b第()题要确定yf(x)和yg(x)有交点,以及直线yb与两条曲线yf(x)和yg(x)分别有交点,再证明这三个交点的横坐标成等差数列第()题的思维导图如图所示:年 月上半月 试题研究命题考试图方法一:构造函数,利用零点存在定理,确定隐零点先确定函数yf(x)与yg(x)的交点B(x,y)令h(x)f(x)g(x)ex l nxx,x,则h(x)exxx()xxx于是h(x)在,()上为增函数,且h()e 再找函数值为负的变量,有两种常见方式:方式一:由h(e)ee l nee,得h()he,所 以 函 数yh(x)存 在 唯 一 零 点xe,即曲线f(x)与g(x)的交点为B x,y()方式 二:h()el n l nee由e ,得e,则h()于是h()h(),所 以 函 数yh(x)存 在 唯 一 零 点x,即曲线f(x)与g(x)的交点为B x,y(),且exxx l nxb,即ex l nxx找点注释:方式一:x(,)时,令h(x)ex l nxxl n(xeexx),则xexex又g(x)xex在,l n()上 单 调 递 增,在l n,()上 单 调 递 减,则g(x)x ex,l n(故exexe,e l nxe解不等式取点,此乃一般取点方式事实上取em(m)皆可!比如h(e)eee比h(e)ee l nee易于判断,只需通过简单的放缩即可,此乃常用的放缩后解不等式取点法方式二:利用二分法思想找点,通过估值计算,不断尝试得到函数值为负即可再确定直线yb与yf(x)的两个交点A(x,y),B(x,y)令H(x)f(x)b,则H(x)ex,于是H(x)在,()上 单 调 递 减,在,()上 单 调递增由H(b)eb,且H()b,可得H(b)H()所以函数H(x)f(x)b存在唯一零点x,(),即曲线yf(x)与直线yb在,()上有唯一交点A x,y()由H(b)ebbebb,得H(b)H()所以函数H(x)f(x)b存在 唯 一 零 点x,b(),即yf(x)与yb在x,()有唯一交点x,y()又exxb,exxb,且H(x)在x,()上单调递增,则xx所以直线yb与曲线yf(x)交于两点A x,y(),B x,y()此处还可如此找点:Hbe ebe be bebe be b命题考试试题研究 年 月上半月找点注释:上述解法中寻找b的途径:H(x)exxbxbxb,于是可取xb类似地,寻 找b的 途 径:H(x)exxbxxbxb,于是可取xb;寻找be 的途径:H(x)exxbexxbxbe,于是可取xbe 最后确定直线yb与曲线yg(x)的两个交点C(x,y),B(x,y)令G(x)g(x)b,则G(x)x,于 是G(x)在,()上单调递减,在,()上单调递增由G(eb)ebb,且G()b,可得G(eb)G()故G(x)存 在 唯 一 零 点x,(),即曲线yg(x)与yb在,()上有唯一交点C(x,y),且x由G(eb)eb,G()b,得G(eb)G()故G(x)存在唯一零点x,()又xl nxb,x l nxb,且G(x)在x,()上单调递减,则xx所以曲线yg(x)与直线yb交于两点C(x,y),B(x,y)此处还可以利用G(b)bl nb找点由此可知,存在直线yb与两条曲线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点,满足exxx l nxb,即ex l nxx,从左至右的三个交点的横坐标成等差数列找点注释:寻找eb的途径:G(x)x l nxb l nxbxeb,于是可取xeb类似地可寻找b的途径:x,G(x)x l nxbxxbxb,于是可取xb寻找eb的方法:只要大于b,都符合题意,而b,ebebb取点常常取对数形式点代入含指数式的函数易于运算;同样,我们也常常取指数形式点代入含对数式的函数易于运算导数找点有两种方式:猜根;放缩取点当目标式结构复杂猜根不易时,通常采用放缩取点方法二:同构法(对数向指数转化)由()可 得f(x)在(,)上 单 调 递 减,在(,)上单调递增;g(x)在(,)上单调递减,在(,)上单调递增所以存在直线yb与两条曲线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点设三个不同交点的横坐标分别为x,x,x,且xxx,则xxx,且f(x)f(x)g(x)g(x)b,即exxbexxb且x l nxbx l nxb观察f(x)与g(x)的结构,结合指数式与对数式可以相互转化,将()式中的x改写成el nx,x改写成el nx,即el nx l nxbel nx l nxb观察式与式可知背后隐藏着一个函数即f(x)exx又因为它们都等于b,所以f(x)f(l nx),f(x)f(l nx)又因为x,x,l nx,f(x)在(,)上单调递减,所以x l nx由于x,x,l nx,f(x)在(,)上单调递增,所以x l nx,则xex故xx l nxex由f(x)g(x),得exxxl nx,则ex l nxx,所以存在直线yb与两条曲线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列方法三:同构法(指数向对数转化)根据指数式和对数式可以相互转化,刚才我们是对数 向 指 数 转 化,同 样 也 可 以 指 数 向 对 数 转 化由x x x,得exxbexxb且x l nxbx l nxb将式中x改写成l n ex,x改写成l n ex,得ex l n exbex l n exb观察式与式可知背后隐藏着一个函数即g(x)x l nx,所以g(x)g(ex)由x,ex,g(x)在(,)上单调递减,可得xex,则x l nx由x,ex,g(x)在(,)上单调递增,可得xex所以xxl nxex又由f(x)g(x),得exxxl nx,即ex l nxx得证方法四:反函数由题意可得,exxb和x l nxb共有三个不同的根,等价于exxb和l nxxb共有三个不同的根yex和y l nx互为反函数,图象关于直线yx对称;yxb和yxb也互为反函数,图象关于直线yx对称根据对称性,得bR,使yex与yxb交于A,B两点,yl nx与yxb交于C,D两点,且B,C两点横坐标相同时一共有个根图如 图,设Ax(y),Bx(y),Cx(y),D x(y),由反函 数 的 对 称 性,易 知xxyy又直线C D的斜率为,则yyxx所以xxxx,即 从 左 至 右 的 三 个交点的横坐标成等差数列第()题方法一通过构造函数h(x)f(x)g(x),通过函数的单调性寻找函数h(x)在(,)上存在的唯一零点,进而找到x(e,),从而得到证明;方法二和方法三采用指数式与对数式的结构特征进行同构;方法四比较巧妙地通过观察发现yex与y l nx互为反函数,yxb与yxb互为反函数,利用对称性得到xxyy,以及kC D得到证明 Z 年 月上半月 试题研究命题考试