第9讲-导数压轴小题10种题型(2)(解析版).docx

第9讲 导数与函数压轴小题10类（2）
【题型一】 导数中的“距离”1：利用同底指数和对数关于y=x对称关系（原函数与反函数）
【典例分析】
设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，与直线相交于，关于的对称点在上，根据切线与平行得到，得到答案.
【详解】
如图所示：与直线相交于，关于的对称点在上.则
设，则，故在上单调递减，在上单调递增，，
故恒成立，即恒成立.的导函数，的导函数，
当两条切线与平行时，都有，到直线的距离为.故，当，时等号成立.故选：.

【变式演练】

1.已知,为自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
函数和函数互为反函数，图像关于对称.令，切线方程为，和直线之间的距离为，故的最小值为，此时，故选B.
点睛：本题主要考查函数导数与最值问题，考查互为反函数的两个函数间的最值问题.首先观察要求最小值的式子，第一个部分可以看作两个互为反函数的函数和函数，这两个函数图像关于对称，可以利用导数求得对应图像上两点的距离的最小值.
2.若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①②③
C. ①②④ D. ②③④
【答案】C
【分析】
先利用导数求得两条切线方程，令,可知，故存在零点，①正确；，通过求导讨论单调性可知有最小值，进而可以判断最小值范围，②正确，③错误；通过判断与大小可判断出④正确.
【详解】
由直线与两曲线分别交于两点可知：
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，可知切线：.
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率.
令，则，令，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故①正确.
，令，由同理可知有，使，令，在处取最小值，即当时，取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在上是减函数，，故③错误.
，，故④正确.
故选：C.
3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将的最小值，转化为到圆心的最小距离再减去半径来求得的最小值.设出函数上任意一点的坐标，求得圆心的坐标，利用两点间的距离公式求得的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去求得的最小值.
【详解】
依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.

【题型二】 导数中的“距离”2：构造型距离
【典例分析】
已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知得点在直线上，点在曲线上，的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，由此能求出的最小值.
【详解】
实数满足，，
点在直线上，点在曲线上，
的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，
考查曲线平行于直线的切线，，令，
解得，切点为，
该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为.故选：D

【变式演练】
1.若实数满足，则的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将题目所给方程，转化为点是曲线上的点，是直线上的点，而题目所求表示为的最小值，利用平移求切线的方法，结合点到直线的距离公式，求得的最小值.
解：∵，∴点是曲线上的点，是直线上的点，
∴要使最小，当且仅当过曲线上的点且与平行时．
∵，由得，；由得．
∴当时，取得极小值．由，可得 （负值舍去）
∴点到直线的距离为，故选：A．
2.设.，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】
由题可得：设，所以为上任意一点到上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为,令，，显然在递减，递增所以，故最小值为
3.已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
点 看作曲线 上点P；点 看作直线 上点Q；则为 ,由 ，所以，选A.

【题型三】 导数中的“距离”3：其他距离
【典例分析】
已知函数，，若成立，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．
详解：设，则，，，
∴，令，
则，，∴是上的增函数，
又，∴当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，
，∴的最小值是．

【变式演练】
1.设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】B
【分析】
设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.
【详解】
设t为在上的零点，则，所以，即点在直线，
又表示点到原点距离的平方，则，
即，
令，可得，
因为，所以，得在上为单调递增函数，
所以当t=0是，，
所以的最小值为.故选：B.
2.已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的所有可能取值构成的集合为__________.
【答案】
【分析】
，看成点到点的距离的平方，转化为一个点在函数上，一个点在直线上，根据导数的几何意义及切线的应用可以求出，再利用取等号的条件求出
【详解】
解：，则看成点到点的距离的平方，其中点在函数上，点在直线上，
由，得，令，则，，设，
所以函数在点处的切线与直线平行，
所以点到直线的距离，即点到点的距离的最小值，
点到直线的距离为，
所以，
过点且垂直直线的直线方程为，由，得，
当且仅当，即时，，
所以，
所以实数的所有可能取值构成的集合为，故答案为：
3.已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】
画出函数及其关于对称的曲线的简图，根据图像，分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小，利用相切求得切点坐标，即得解．
【详解】,函数在单调递增，单调递减.。它的图像及关于直线对称的图像如图所示：
分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小.
令，又P在y轴右侧，；
根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得。因此PQ中点坐标为：故答案为：

【题型四】 极值点偏移
【典例分析】
已知函数，若且，关于下列命题：正确的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】,所以函数f(x)在单调递增，在单调递减．f(0)=1
f(1)=0，当x<0时，f(x)>0，所以．即x轴是函数的渐近线，画出草图如下．
．由图可知（1）（4）错，（2）（3）对．选B.

【变式演练】
1..已知方程有两个不同的实数根，（），则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设，将问题转化为与在上有两个交点且横坐标分别为，（），利用导数研究的单调区间，进而可得且有，令则，构造中间函数并利用导数研究单调性，进而判断的符号，即可确定A、B的正误；构造，利用导数研究单调性，判断C、D的正误.
【详解】
由题意，，即与在上有两个交点且横坐标分别为，（），
∵，而，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴的极小值也是最小值为，而，，，
∴要使题设成立，则且有.
令，则，
∴，
若且，
∴
∵，，
∴，即在上单调递减，
∴，
∴且当时单调递增，故在右侧存在，使，即，若，
∴，且恒成立，即，故A、B正确；
令且，则，即，
∴，，递减；，，递增；
∴，故单调递增，
∴，即，易知C正确，D错误；
故选：D
2.已知，若，且，则与2的关系为
A． B． C． D．大小不确定
【答案】A
【分析】
先求导求出的极大值点为1，再比较和的大小得出，再根据当时，，单调递减可得．
【详解】
由题，,令则有，所以当时，
当时，，所以,在时取得极大值和最大值.
又当趋近于正无穷时,正向趋近于0,且,所以,如果存在
使得,不失一般性令 ,则,，
对于任意的,分别取两点、，
现在比较和的大小. ，
令分子部分为,.
求导有,
当时, ;当时,又，故单调递增且大于0.所以,在 上是单调增函数,且,故,即，因为，，在上单调递减且,所以在点的右侧必能找到一点,使得,且，故，令,则有，故选A．
3.设且，若，则下列结论中一定正确的个数是
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】
，即

，令 时， 时，
， ， ，故 ④对；令 时， ， ， ，即 ，故①对；又 ，故③对；构造
， 递减，
时， ， ， ，故 故②对，所以正确的个数为 ，故选D.

【题型五】 嵌套函数求参
【典例分析】
已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的值域可以确定，然后换元令，进而根据讨论得出，代入可得，解出m，转化为用导数求值域的问题.
【详解】
由题意，曲线上存在点，使得，所以．记，若，则，所以，不满足，同理也不满足，所以，所以，所以，所以
记，则，记，因为，所以在上单调递减，因为，所以时，，因为，所以，所以的最大值为故选：D.

【变式演练】
1.设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】
利用函数的单调性可以证明.令函数，化为.令，利用导数研究其单调性即可得出.
解：，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
即函数的取值范围为，，若上存在点，使得成立，则，.又在定义域上单调递增.
所以假设，则（c），不满足.
同理假设，也不满足.
综上可得：.，.
函数，的定义域为，等价为，在，上有解
即平方得，则，
设，则，由得，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，即（1），
当时，（e），则.
则.故选：.
2.已知函数，，记函数g(x)和h(x)的零点个数分别是M ，N，则（ ）
A．若M=1，则N≤2 B．若M=2，则N≥2
C．若M=3，则N=4 D．若N=3，则M=2
【答案】A
【分析】对函数求导，分析其单调性和最值，在同一坐标系中作出与的图像，根据题意函数零点的个数与的范围有关，为简单起见只讨论的情况，逐一选项判断即可得选项.
【详解】
，
令单调递增，单调递减，
当时，取得最小值，，
当，
在同一坐标系中作出与的图像，如下图所示：

当时，作出函数的图像如下图所示：
记，则的零点转化为和，
对于A选项：若时，即有1个零点，即有1个交点，所以或，
（1）当时，有1个根，且，所以的根的情况是：在时，有2个根，在时，有1个根；
（2）当时，有1个根，，所以没有根，
所以若时，h(x)的零点个数或；所以，故A选项成立；
对于B选项：若时，即有2个零点，即有2个交点，所以或，
（1）当时，有2个根，且，所以的根的情况是：在时，有2个根，当时，有2个根，在或时，有1个根，当时，没有根；
（2）当时，有2个根，且或，所以没有根，
所以若时，h(x)的零点个数或或；所以，故B选项不正确；
由图示可知和不可能有3个零点，所以，若或这种情况不存在；
所以当时，若时，或；若时，或或；若或的情况不存在；
和的情况与的情况类似，
故选：A.

3.已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知，当时，，；当时，，.由，得
.根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围.
【详解】
当时，，；
当时，，，
综上，对.
有两个零点，即方程有两个根，
即方程有两个根，不妨设.易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.令.
.令，
，令.时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
函数的值域为，即的取值范围是.故选：.
【题型六】 多参型1：复杂讨论型
【典例分析】
已知、，且，对任意均有，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】推导出与符号相同，构造函数，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项.
【详解】，故与的符号相同，
当时，；当时，.所以，与的符号相同.
，
令，所以，当时，恒成立，令，可得，，.
，分以下四种情况讨论：
对于A选项，当，时，则，当时，，不合乎题意，A选项错误；
对于B选项，当，时，则，
若，若、、均为正数，
①若，则，当时，，不合乎题意；
②若，则，当时，，不合乎题意.
③若、、都不相等，记，则当时，，不合乎题意.
由上可知，，当时，若使得恒成立，则，如下图所示，

所以，当，时，且，时，当时，恒成立；
对于C选项，当，时，则，
①若时，则当时，，不合乎题意；
②当时，构造函数，其中，，
函数在上单调递增，则，.
当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误；
对于D选项，当，时，则，此时、、为正数.
①当、、都不相等时，记，当时，，不合乎题意；
②若，则，当时，，不合乎题意；
③当时，，当时，， 不合乎题意.
所以，D选项错误.
故选：B.

【变式演练】
1.设a，b是正实数，函数，.若存在，使成立，则的取值范围为_________.
【答案】
【分析】由区间的表示可知,令，存在，使成立等价于，求导后判断导数的正负号，即可讨论出函数在区间上的单调性，即可求出的取值范围.
【详解】∵存在，使成立，∴，得；
令；∴；
∵，，，令，即时，递增；时，递减；
①若，即在上单调递减；
∴，对恒成立；
②若，即，在上先递减后递增；
∴，∴，，即，
综上的取值范围为.故答案为：.
2.对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据不等式恒成立，构造，有，利用二阶导数研究单调性，再讨论、时的单调性，进而确定在上的最小值及对应m、n的关系式，将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求的最小值即可.
【详解】令，则，即，∴单调递增，
∴当时，，即在上递减，而当时，，故不满足；
当时，若得，即，
∴时，，即递减；当时，，即递增；若令，即，
则：①当，即，恒成立；
∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，
∴时，，有，，则；
当，即，，得，
∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，
∴时，，有，，则；
∴综上：，即的最小值为.故答案为：.
3.已知函数，若且，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据绝对值的几何意义，有，且，故，化简得，，令，，故函数在上单调递增，所以.
【题型七】 多参型2：凸凹翻转型
【典例分析】
已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【分析】等价于，令，，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数.对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果.
解：由题干条件可知：等价于，
令，，则 ， ，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.
令，，则，当时，此题无解，所以，
则，当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.
若成立，只需，即，即，
两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，
令，本题即求的最大的正整数.
恒成立，则在上单调递减，
，，，
所以的最大正整数为9.。故选：C.

【变式演练】
1.已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可
【详解】
设，，则
，
令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，
令，则单调递减，单调递增
由题意，，，，,故x+y=2。故选A
2.已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点定义，令，可得，构造函数，求导并令，解得，且根据导数的符号判断单调性，进而可得在处取得最大值。所以可得，进而根据极限值情况可得m的取值范围。
【详解】令，可化为，令，，令，得，
当时，；当时，，
所以，
先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到，而函数是时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大，所以，即所以选B

【题型八】 多参型3:比值代换等代换
【典例分析】
已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据题意可得，求出的取值范围，进而可得的取值范围，结合选项，即可求解.
解：，
令，又，，且，令，则，
再令，在上单调递增。又，
在上，；在上，，则在上，；在上，，

且当时，；当时，，或
或所以结合选项，可知答案选B.故选：B

【变式演练】
1.对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由得，设，则，设，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，故当时，存在两个不同的实数，使成立，即对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立．
故选A
2.若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
【答案】
【分析】根据题意，先求出函数的零点，，然后换元，转化为求的最大值，求导取得其单调性，转化为求t的最大值，再令，再根据单调性求最大值，最后求得结果.
【详解】因为正实数满足，则函数的零点
令 所以零点的最大值就相当于求的最大值令， 所以函数是单调递减的，
当t取最小值时，f(t)取最大值又因为，a+b=1所以
令 ，
令 ，解得，此时递增。 ，解得，此时递减，
所以此时
故答案为
3.若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
【答案】
【详解】
， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .
【题型九】 多参型4：韦达定理型
【典例分析】
已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.
【详解】由题意得，令，得，
由题意知在上有两个根，，∴，得．
由根与系数的关系得，由求根公式得，∵，∴，∵，∴．则，
令，则．设，则，
易知在上单调递增，∴，∴当时，函数为减函数，
∴，且，
∴，故选：D.

【变式演练】
1.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，，，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.
【详解】由题可得：（），因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.
若不等式有解，所以
因为
.设，
，故在上单调递增，故，
所以，所以的取值范围是.故选：C.
2.已知函数（其中，），当时恒成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】将拆分为、分别研究单调性，令可得，讨论该方程、情况下参数a、b、c的关系或范围，进而利用导数求目标式的范围.
【详解】令，则，∴时，时，
∴在上递减，在上递增，故，
若，则在上递减，在上递增，令，即，，
1、即时，在上的两个零点为，同时它们恰好为的零点，
∴，即，又，则，此时，，令，则，∴递减且时，则，故.
2、，即时，在上，此时只需即即可.
此时，，令，则，即在递减，∴，而，故.综上，
【题型十】 多参型5：“二次”最值型
【典例分析】
已知函数，若时，恒有，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对函数求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示，再令并构造，利用导数求得最大值即可.
【详解】
因为函数，则，
由题可知，对，恒有成立，
令，则，
当时，函数在R上单调递增，且时，，不符合题意；
当时，，
当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减；
所以，
故，
令，则，且，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，故，
综上所述，的最大值为.故选：C

【变式演练】
1.已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】转化条件得，求出的最小值后即可得，可得，最后求出的最大值即可得解.
【详解】由题意得恒成立，
令，则，
若，，单调递增，当时，不合题意；
若，当时，，单调递减，当时，
，单调递增，所以最小值为.
，
，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，即的最大值为.。故选：B.
2.已知函数，若，则ab的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出的图像，结合图像，根据，求得的取值范围.令，将用表示，由此求得的表达式，进而利用导数求得的最小值.
【详解】画出图像如下图所示，令，解得.所以.
令，由图可知.，所以.所以.
构造函数（稍微放大的范围）..
令，，
所以在上递减.而.
由于，所以，，，
所以. ，故存在，使.
所以在上递增，在上递减.
所以对于来说，最小值只能在区间端点取得. 当时，；
当时，.
所以的最小值为.故选：B
3.已知函数．若不等式对恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
通过将不等式变形，即需要证明在上恒成立，再通过对求导，找出求出的最大值，再证明大于等于零在上恒成立即可
【详解】
解法1：令，则，
当时，单调递增，无最大值，不合题意；
当时，令，则，时，，单调递增，
，，单调递减，
∴，即，，，，由的导数为，
当时，，且，；当时，，可得时，取得最小值，上的最小值为，故选B．
解法2，作出的图象，易知是凸函数，曲线与轴交于点，即，要满足题意，则时，用零点比大小模型，，则，故选B．
【课后练习】
1.对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；
③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；
则其中是“偏对称函数”的函数个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
因为条件②，所以与同号，不符合②，不是“偏对称函数”；对于；，满足①②，构造函数，，在 上递增，当，且时，都有，，满足条件 ③，是“偏对称函数”；对于， ，满足条件①②，画出函数的图象以及在原点处的切线， 关于 轴对称直线，如图，由图可知满足条件③，所以知是“偏对称函数”；

函数为偶函数，，不符合③，函数不是，“偏对称函数”，故选C.
2.若实数满足，则的最小值为__________．

【答案】
【解析】
实数满足，可得，分别令
，转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，，设与直线平行且与曲线相切的切点为，则，解得，可得切点，切点到直线的距离. 的最小值为，故答案为.
3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．

【答案】
【详解】
圆心，先求的最小值，设，所以以点为切点的切线方程为，当垂直切线时，，此时点，函数图象上任意点到点的距离大于点到切线的距离即，所以的最小值是，故答案为.
4..已知函数，若存在，使得，则的取值范围是
A． B．
C． D．

【答案】A
【分析】
先由函数的单调性结合等式，得出，由此得出关于的方程在区间上有实解，利用参变量分离法得出在有实根，转化为直线与函数在区间有交点，利用数形结合思想求解即可.
【详解】
易知函数在区间上单调递增，则存在，使得不等式成立，所以，，得.
①假设，则，不合乎题意；
②假设，则，不合乎题意；
③假设，则，合乎题意.
由上可知，关于的方程在区间上有实解，
由，得，所以，，构造函数.
则直线与函数在区间有交点.
，令，则，令，得.
当时，；当时，.
所以，函数在处取得最小值，
即，，
所以，对任意的，，则函数在区间上单调递增.
，，
所以，当时，直线与函数在区间有交点.
因此，实数的取值范围是，故选A.
5.设，（其中为自然对数的底数),若函数有个零点，则的取值范围
A． B． C． D．

【答案】D
【详解】
分析：问题转化为直线与函数有四个交点，利用导数研究函数的性质，作出图象（草图），观察分析.
详解：当时，，，由知在有一个零点，在上有一个零点，－1也是它的零点，且满足；
当时， ，，由知在上有一个零点，且，
都是极大值点，－1是极小值点，注意到，，，∴当时，直线与函数有四个交点，

6.直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．

【答案】D
【分析】根据题意可设，，即可表示出，构造函数并求得，令求得极值点并判断函数的单调性，即可求得的最小值.
【详解】直线分别与曲线和曲线交于，两点，
设，，且，，，．
，，，令解得，（舍），
当时，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增．
所以，综上可知的最小值为．故选：D.
7.已知函数，若函数与的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别记为，，则的取值范围是( )
A． B． C． D．

【答案】B
【详解】作出函数，的图象如图，不妨设，当经过点时，，
联立得，所以；因为与的图象关于直线对称，而与垂直，所以，且.
令，且，则易知为增函数，所以，
因为，所以.故选：B.

8.已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为
A． B． C． D．

【答案】B
【解析】
由，∴，令，（），则，（，），显然，在单调递减，∴（）
令，（），，∵，∴，则，∴令在单调递减，∴，∴实数a的最大值为．选B.
9.已知且对任意的恒成立，则的最小值为_____．

【答案】1
【解析】
设，则由得：，当当时，，当时，，所以当时，有唯一极值，也是最小值，所以由对任意的恒成立，得，可得，因为 ，故成立，
令（），，当时，，当时，，所以当时，，所以，故填．
10.设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．

【答案】D
【分析】
根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可.
【详解】因为不等式在上恒成立，
所以不等式在上恒成立，
令，则 在上恒成立，令，
所以，
若，则 ， 在递增，
当时， ，不等式不成立，
故，当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，所以，
所以，所以，令，则，
所以，当时，当时，，所以当时，取得最小值，所以的最小值是。故选：D

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