基于Caputo分数阶导数的切换系统参数辨识.pdf

鲁东大学学报(自然科学版)()():收稿日期:修回日期:基金项目:山东省自然科学基金()通信作者简介:翟金刚()男 教授 硕士研究生导师 博士 研究方向为运筹与优化:.:././.基于 分数阶导数的切换系统参数辨识王 玫翟金刚冯恩民(.鲁东大学 数学与统计科学学院山东 烟台.大连理工大学 数学科学学院辽宁 大连)摘要:本文基于 分数阶导数研究了切换系统参数辨识问题证明了解的有界性并得到性能指标和约束关于参数的梯度 为辨识系统参数和阶数构造了双层优化算法外层使用并行粒子群方法辨识阶数内层使用序列二次规划算法辨识参数 最后通过数值模拟实际发酵实验验证方法的有效性关键词:分数阶导数切换系统参数辨识中图分类号:文献标志码:文章编号:()分数阶系统由于其记忆功能、遗传特性、扩散和粘弹性在很多实际问题中有广泛应用例如粘弹性材料、生物学与生物工程、自然科学和工程科学等 在分数阶最优控制方面近年来取得了大量的理论和应用成果 切换系统是一类特殊的混杂系统由若干子系统及切换规则组成 由于最优的切换规则和连续时间控制是人们关注的焦点因而诸如控制参数化技术、时间尺度变换等方法相继被提出相比整数阶最优控制及切换最优控制分数阶切换系统的最优控制理论和应用成果相对较少 等研究了分数阶混沌系统的多切换同步问题提出鲁棒 型模糊神经网络逼近算法等考虑切换次数有限的分数阶切换随机系统最优控制分析了解的存在唯一性条件 等研究了一种采用分数阶切换技术()的 系统最优控制问题 此外分析了一类由 算子描述的分数阶协作系统解的性质及其标量情况下的最优控制问题讨论了半线性随机系统分数阶最优控制问题本文研究基于 分数阶导数的切换系统参数辨识问题 为构造基于梯度的优化算法讨论了系统的有界性给出性能指标和约束关于系统参数的梯度计算公式以系统参数和阶数为决策变量构造双层优化算法外层采用并行粒子群方法辨识阶数内层基于梯度公式采用序列二次规划()优化系统参数 为验证方法的有效性对微生物发酵生产 丙二醇实际问题进行了数值模拟通过与已有文献进行对比说明本文提出的分数阶方法降低了与实际发酵实验的误差 预备知识设 (在 上的 意义下的左、右分数阶积分分别表示为()()()()()()()()其中()是 函数定义 给定 在 上的 意义下的左、右分数阶导数为 鲁东大学学报(自然科学版)第 卷()()()()()()()()定义 给定 在 上的 意义下的左、右分数阶导数可表示为()()()()()()()()()()()其中 是 的整数部分性质 若 且 ()()时有()()()()()()()()()()()()()()()()()若 时()()()()()()()()()()若 时()()()()()()()()()()性质 令 ()并且:是连续可微函数则有:()()()()()()()()()()()()分数阶切换系统描述考虑如下 分数阶切换系统:()()()()()其中:()()()()为时刻的状态是给定的初值是与时间无关的参数 是给定的向量场 ()是分数阶导数的阶数():为 时刻的切换变量:为模式总数 为终端时刻假设分数阶切换系统()是非奇诺的则根据()的取值 可被分割为有限个子区间)为切换时刻 且满足:为描述方便 记第 个子区间的向量场为 即 ()定义状态向量、参数向量、阶数的容许集分别为 ()其中 分别为状态、参数和阶数的上、下界 令 给出如下假设:假设 给定 满足以下条件:()对任意的()()存在常数()满足 条件:()()()()对任意的()存在常数 ()满足线性增长条件:()()()()关于 的偏导数连续关于时间 是连续可微的 第 期王 玫等:基于 分数阶导数的切换系统参数辨识 由假设 分数阶切换系统()存在以下性质:性质 给定()分数阶切换系统存在唯一解记为()且满足()()()()()()其中 在具体的分量式中取对应的分量值性质 任给()分数阶切换系统的解()关于()一致有界证明不失一般性假设 为标量值且设对任意的()由式()、()可得:()()()()()()()()()()()()()令 ()应用 定理进一步得到()()()()()()()这说明()关于()一致有界 分数阶切换系统参数辨识问题考虑如下分数阶切换系统参数辨识问题:():()()().()()()()()()()其中 和()为给定实值函数且连续可微为构造基于梯度的优化算法下面给出性能指标与约束关于 的梯度公式定义 函数()()()()()()其中()为协态向量则性能指标和约束可以转化为()()()()()()()由链式法则可以得到()关于 的偏导数为()()()()()()()()()()()()()()()鲁东大学学报(自然科学版)第 卷令()()引入辅助动态系统:()()()()()()()()由分部积分公式可得()()()()()()()选取协态()满足下列协态方程:()()()()()()将式()()代入式()得到()()()()()()其中 是 在子区间)上的取值 优化算法为辨识参数 的同时辨识阶数 将构造一个双层优化算法其外层采用并行粒子群算法辨识阶数内层采用序列二次规划方法求解参数 算法(外层算法)分配个进程记为进程号设种群规模为计算每个进程上的粒子数为 在根进程上读取 并广播到所有进程 在每个进程上执行以下步骤:()在 中随机生成个粒子记粒子的位置为粒子的速度为 令其中是充分大的常数 设最大迭代次数为为初值 置 ()令 调用算法 得到()其中 为算法 得到的最优参数()若()令 ()收集所有进程上的参数组()和 到根进程 在根进程上执行操作:若 令 广播 到所有进程 在每个进程上执行以下步骤:若 更新粒子的速度和位置:()()():其中:()为惯性权重由()()更新分别为最大和最小惯性因子和是控制常数和是 上均匀分布的随机数 令 转步骤()否则算法停止算法(内层算法)第 期王 玫等:基于 分数阶导数的切换系统参数辨识 给定()置 采用 方法计算分数阶状态方程()及协态方程()按式()和()计算性能指标、约束以及它们关于 的梯度 采用序列二次规划方法求解问题()若满足停机准则得到()及 返回算法 否则更新参数 令 转该步骤 数值模拟考虑用微生物发酵生产 丙二醇实际问题验证算法的有效性 模型如下:()()()()()()()其中:()()()()()()()()为胞外生物量、甘油、丙二醇、乙酸、乙醇、的浓度以及溶液体积 是细胞的比生长速率()分别是甘油的比消耗速率、乙酸和乙醇浓度的比生成速率表示为 初始状态为 (.)为细胞的比衰变率注入甘油和碱的浓度分别为 令 ()是待辨识参数 ()是待辨识阶数 整个发酵过程共有 种切换模式由 和 的不同取值确定模式:甘油与碱都不进行流加模式:.仅流加碱模式:.仅流加甘油模式:.甘油与碱都进行流加切换是由碱和甘油的不同流加策略确定由于发酵液的 值应控制在范围.从而当发酵液 值低于下限时则流加碱高于上限时则停止流加 甘油的流加策略为每间隔 流加 次注入时长详见表 为辨识系统参数和阶数选取 组实验数据作为对照记为 令()为 时刻状态的计算值则性能指标可表示为()()鲁东大学学报(自然科学版)第 卷表 甘油流加策略.时间/(注入时长/.时间/(注入时长/.由于实验数据存在中间时刻节点选取协态()满足()()()()()且梯度为()()()其中 是 在子区间)上的取值 以 为编程语言在并行计算机上(双 每 核)共分配 个进程进行 次数值实验数值解步长取为/内外层最大迭代次数为 最优辨识结果见表、将辨识结果代入本文建立的数学模型中可以更好地描述实际实验过程 本文所提方法与文献的对比结果详见表 可以看到产物 浓度的相对误差降低平均相对误差降低约 各物质的反应曲线如图 所示可以看到模型中各物质浓度计算值与实际数据拟合程度更高 综合以上结果与文献相比本文所辨识参数的误差减小与实际发酵过程较为近似表 阶数辨识结果.阶数辨识结果.表 系统参数辨识结果.参数辨识结果.参数辨识结果.参数辨识结果.表 终端状态的相对误差比较结果.状态变量文献本文状态变量文献本文.平均相对误差.第 期王 玫等:基于 分数阶导数的切换系统参数辨识 图 终端状态计算值与实验值的对比.结论本文主要研究了分数阶切换系统参数辨识问题构造了基于并行粒子群混合序列二次规划的双层优化算法 通过构造分数阶批式流加发酵模型对本文所提方法进行验证数据结果优于已有的整数阶模型结果说明了分数阶方法对批式流加发酵建模的有效性参考文献:.:.():.():.:.:.():.汪纪锋.分数阶系统控制性能分析.北京:电子工业出版社.鲁东大学学报(自然科学版)第 卷 .():.:.():.:.:.():.():.():.():.:.:.():.():.(.):.:(责任编辑 顾建忠)