非零均值噪声下ARMA-GARCH模型的拟极大似然估计.pdf

第36卷第2期2023年6月Vol.36 No.2Jun.2023闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University（Natural Science）非零均值噪声下ARMA-GARCH模型的拟极大似然估计王鑫蕊1,吕阳阳1,2,3,4,施建华1,2,3,4（1.闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州 363000；2.福建省粒计算及其应用重点实验室,福建 漳州 363000；3.福建省数据科学与统计重点实验室,福建 漳州 363000；4.数字福建气象大数据研究所,福建 漳州 363000）摘要：ARMA-GARCH模型在金融领域已得到广泛应用，可以用来研究金融资产价格的变化情况.对金融资产收益率建模时，通常假设噪声服从高斯分布.然而，实际研究表明，金融资产收益率可能具有正向或负向阶段性跳跃特征.对于此类金融数据，基于高斯分布的ARMA-GARCH模型在预测效果上显得不足.因此，研究了非零均值噪声扰动下的ARMA-GARCH模型，证明了拟极大似然估计量（QMLE）的强相合性和渐近正态性.进一步，通过数值模拟和实证分析说明了该模型的有效性.关键词：ARMA-GARCH；相合性；渐近正态性；拟极大似然估计；高斯-泊松分布中图分类号：O211 文献标志码：A 文章编号：2095-7122（2023）02-0060-11Quasi-Maxium likelihood estimators for ARMA-GARCH models based on noise with non-zero meanWANG Xinrui1,L Yangyang1,2,3,4,SHI Jianhua1,2,3,4(1.College of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China;2.Fujian Key Laboratory of Granular Computing and Applications,Zhangzhou,Fujian 363000,China;3.Fujian Key Laboratory of Data Science and Statistics,Zhangzhou,Fujian 363000,China;4.Fujian Institute of Meteorological Big Data,Zhangzhou,Fujian 363000,China)Abstract:ARMA-GARCH model has been widely used in the financial field,it is used to study the changes in the price of financial assets.When analyzing the rate of return on financial assets,Gaussian noise is often assumed.However,practical applications show that the rate of return on financial assets with positive or negative step jump characteristics.For this type of financial data,the prediction effect of ARMA-GARCH model based on Gaussian noise may not be good.Therefore,the ARMA-GARCH models based on noise with non-zero mean was researched,the consistency and the asymptotic normality of the QMLE are obtained.Additionally,the effectiveness of the model is checked through numerical simulation and empirical analysis.Key words:ARMA-GARCH;consistency;asymptotic normality;quasi-maximum likelihood estimation;Gaussian-Poisson noiseEngle1与Bollerslev2相继提出了条件异方差（ARCH）模型和广义条件异方差（GARCH）模型.此后，自回归滑动平均-广义条件异方差（ARMA-GARCH）模型在金融时间序列中已有广泛的应用.在金融领域，资产价格波动受到投资者们的密切关注，而金融资产收益率的分布函数对测量金融风险至关重要.学者们最初认为金融资产收益率服从高斯分布，然而，有些研究表明股票收益率分布呈现明显的尖峰、厚收稿日期：2022-07-24基金项目：福建省教育厅中青年项目(JAT200325)；福建省自然科学基金项目(2020J01794，2021J01982，2021J01981，2023J01910)作者简介：王鑫蕊（1997），女，河南驻马店人，硕士生.王鑫蕊，等：非零均值噪声下ARMA-GARCH模型的拟极大似然估计第2期尾、有偏等非高斯特征，且可能存在阶段性的跳跃特征.1967年，Press3认为证券收益由布朗运动和泊松过程组成，前者反映价格的连续变化，后者体现离散的跳跃过程.基于高斯分布扰动下建立的ARMA-GARCH模型无法刻画资产价格的跳跃特征，为了优化模型拟合效果，考虑构建基于高斯-泊松分布噪声的ARMA-GARCH模型.注意到该噪声具有明显的非零均值特性，故提出非零均值噪声扰动下的ARMA-GARCH模型.在统计建模过程中，常用的参数估计方法有拟极大似然估计和最小二乘估计.与最小二乘估计相比，拟极大似然估计方法收敛速度更快、更有效，因其良好的估计性能而被广泛使用.近年来，众多学者提出了多种ARMA-GARCH模型的拟极大似然估计（QMLE）方法，并讨论了估计量的性质.在四阶矩存在条件下，Weiss4较早建立了ARMA-ARCH模型QMLE的渐近理论；Ling等5，Francq等6证明ARMA-GARCH模型QMLE在局部和整体上的相合性以及渐近正态性.2003年，Ling 等7在二阶矩存在条件下证明了向量ARMA-GARCH模型QMLE的相合性，在六阶矩存在条件下证明了它的渐近正态性.2007年，Ling8-9提出了自加权 QMLE，证明了其相合性和渐近正态性，之后又于 2011 年提出了自加权拟极大指数似然估计（QMELE），并将两个估计量的渐近有效性做出比较.此外，基于Berkes等10的研究，Lu11提出可以使用不同的核函数构造ARMA-GARCH模型的QMLE，使得四阶矩条件可被适当削弱.尽管很多文章针对ARMA-GARCH模型噪声的不同矩条件进行研究，但是通常假设噪声满足零均值条件.针对非零均值噪声模型，采用拟极大似然估计方法估计模型未知参数，证明了该模型QMLE的强相合性和渐近正态性.通过蒙特卡洛仿真模拟和分析实际金融数据，衡量了高斯-泊松分布噪声下ARMA-GARCH模型的估计性能.1 模型假设和主要结果为了描述 ARMA-GARCH 模型，先列出一些符号.设参数=(c1P)T，=(1Q)T，=(01p)T，=(1q)T，=(c1P1Q)T，且=(01p1q)T，=(TT)T.该模型具有形式为t()=(Yt-c)-i=1Pi(Yt-i-c)-j=1Qjt-j()，（1）t()=t()t，（2）2t()=0+i=1pi2t-i()+j=1qj2t-j()，（3）其中:ttZ是一簇独立同分布的随机变量，且其四阶矩存在E|t|4，具有期望和标准差.假设该模型参数的真值是未知的，记为0=(T0T0)T，当 0时，简记t=t(0)，2t=2t(0)，t=t/t=t(0)/t(0).注：在负Lyapunov指数矩条件下，由Bougerol等12可知方程(3)存在唯一严平稳解.需要做如下假设：假设假设1 0，且参数空间是紧的.假设假设 2 为简便，可定义符号:A(z)=1-i=1Pizi，相似地，定义符号A(z)，A(z).定义下列符号:B(z)=1+j=1Qjzj，A(z)=i=1pizi，B(z)=1-j=1qjzj.对任意的，A(z)和B(z)没有共同根，A(z)B(z)的根都在单位圆外，并且P0或Q0.假设假设3 对任意，都有j=1qj1，A(z)和B(z)没有共同根，A(1)0且 p+q0.给定模型的初值Y0，Y1-P，0，1-max(pQ)，0，1-q.对任意的tN+，设t()，t()满足下列形式的方程，即612023年闽南师范大学学报（自然科学版）t()=t=(Yt-c)-i=1Pi(Yt-i-c)-j=1Qjt-j()，（4）t()=t=0+i=1pi2t-i()+j=1qj2t-j().（5）通过式(45)，设t()满足t()=t()t().（6）因此，可设参数的高斯拟极大似然估计量（Gaussian QMLE）为下列变分的任意可测解.即n=argmaxLn()，（7）其中：lt()=-(t()-)2/(22)-lgt()-lg(22)/2，（8）Ln()=1nt=1nlt().定理定理 1（强相合性强相合性）在假设 13 下，设n;nN为满足式(7)的 QMLE 序列，则当n时，有n0，a.s.假设假设4 真值00，其中0指的是的内部.假设假设5 对于任意的abR，都有P(tab)0，01，01是任意固定常数，记0Kii1i1+Kii2ii2Kmin(i1i2)，其 中011，021，i10，i20.定 义 符 号：A-1(z)=i=0a(i)zi，B-1(z)=i=0a(i)zi，B-1(z)=i=0a(i)zi，相似地，定义符号：B-1(z)，B-1(z)，C(z)=B-1(z)A(z)=i=0a(i)zi，C(z)=B-1(z)A(z)=i=0a(i)zi.设L为回退算子，则式(1)和式(3)可以被重写为t()=B-1(L)A(L)(Yt-c)=i=0a(i)(Yt-i-c)，（9）2t()=B-1(1)0+B-1(L)A(L)2t()=0i=0a(i)+i=0a(i)2t-i().（10）引理引理 1 根据 Ling 8，通过假设 2，可以得到sup|a(i)|=O(i)，sup|a(i)|=O(i)，sup|a(i)|=O(i)，sup|a(i)/j|=O(i)，其中:j=12Q.通过假设3，可以得到sup|a(i)|=O(i)，sup|a(i)|=O(i)，再通过假设1，有sup(B)0，使得suptZEsup|t()|2s，suptZEsup|t()|2s，suptZEsup|t()|2s，suptZEsup|t()|2s0，使得E|t|2s，E|t|2s0且ai=O(i)，则存在常数K0，使得E|0aiXi|sKE|X1|s.通过式(9)，参数空间的紧性和引理 1，有E|Yt-c0|2s=E|A-10(L)B0(L)t|2s=E|B0(L)i=0a0(i)t-i|2sKE|1|2s，则可以得到Esup|Yt-c|2sKE|Yt-c0|2s+K sup|c-c0|2s0，使得suptZEsup|t()|2s=suptZEsup|i=0a(i)()Yt-i-c|2sKEsup|Y1-c|2s.（11）通过式(1011)和引理1可得suptZEsup|t()|2sK sup|0i=0a(i)|s+suptZKEsup|i=0a(i)2t-i()|s K sup|0|s|i=0a(i)|s+KEsup|1()|2s0，inft()00以概率1成立.根据式(13)和不等式lg(1+|x|)|x|，可以得到sup-1nt=1nlgt()t()sup12nt=1nlg()Kt()k=1-pt-1sup|k()+1+1 supK2nt=1nt(k=1-pt-1sup|k()|+1).通过Cesro定理，为了证明上面的式子几乎必然收敛到0，只需证明t(k=1-pt-1sup|k()|+1)0，a.s.(t).（14）对任意非负随机变量X和Y，当0 t=1-ti=1-pt-1E()|i()+1Kt=1-tt0和inft()00，有I2 sup1nt=1n|t()+t()-222()|t()-t()t()+|2t()-2t()|t()t()()(t()+t()K22201nt=1ntsup|t()+t()-2(20+|t()|)(1+(k=1-pt-1sup|k()+1).（15）接下来，当t时，tsup|t()+t()-2|(20+|t()|)(1+(k=1-pt-1sup|k()+1|)0，a.s.（16）通过引理2，初等不等式和Borel-Cantelli引理可证明上式趋于0.进一步，由式(1516)和Cesro定理可得I20.命题命题2 在假设1-3下，当0时，有Elt(0)Elt().证明证明 通过方程(1)-(3)，可以发现t()，t(0)，t(0)和t()是关于代数流Ft-1:=(kkt-1)可测的.进一步，由ttN+独立同分布可知，t()，t(0)，t(0)，t()与t是独立的.由于t与0同分布，有Elt(0)-lt()|Ft-10.进一步，由Francq等6中的定理3.1(ii)可得，上述等式成立，当且仅当t(0)t()=1，()t()-t(0)t()=0，a.s.最后可得，当0时，Elt(0)-Elt()=EElt(0)-lt()|Ft-10.注意到对于任意的，lt()是具有一阶矩的严平稳序列.通过强遍历性定理（Stout13中的定理3.5.8），可以发现sup|Ln()-Elt()|0，a.s.(n).通过命题1，假设Ln()在n点取到极大值，有Elt(0)-Elt(n)=(Elt(0)-Ln(0)+(Ln(0)-Ln(0)+(Ln(0)-Ln(n)+(Ln(n)-Ln(n)+(Ln(n)-Elt(n)2 sup|Elt()-Ln()|+2 sup|Ln()-Ln()|0a.s.(n).反之，又有Elt(0)-Elt(n)0.64王鑫蕊，等：非零均值噪声下ARMA-GARCH模型的拟极大似然估计第2期因此，|Elt(0)-Elt(n)|0，a.s.(n).由于Elt()是关于的连续函数，可得n0，a.s.(n)，即可证得定理1.定理定理2的证明的证明 使用Francq等 6中(4.47)和(4.48)相似的方法，且E|t|4，可以得到E|lt(0)lt(0)T|，E|2lt(0)T|.此 外，当n时，有|n-1/2i=1n(lt(0)-lt(0)P|依 概 率 收 敛 到 0，对 任 意 的，都 有|n-1/2i=1n()2lt()T-2lt()T|P依概率收敛到0.引理引理 4 通过假设 2-5 和E|t|40，总存在足够大的n，有*B(0).再通过2lt()ij的平稳性，可以得到对任意的，有E|2lt()T|.进一步，通过强遍历性定理，有|n-1t=1n2lt(*)ij-J|n-1t=1n2lt(0)ij-J|+|n-1t=1n2lt(*)ij-n-1t=1n2lt(0)ij|2|1nt=1n2lt(0)ij-J|+supB(0)|1nt=1n2lt()ij-E2lt()ij|+supB(0)|E2lt()ij-E2lt(0)ij|0.这里注意到K():=E2lt()ij是一个关于的连续函数.引理4证毕.通过假设1-3，E|t|40说明标普500指数存在波动聚集性，1的系数均大于0.8，表明波动存在长期记忆，历史价格波动对未来一段时间内的股票价格有长期影响.将参数的估计值带入模型中，可得到描述标普500指数日对数收益率序列波动情况的估计方程.4.3 模型预测由具体的估计方程可对未来股票收盘价进行预测，因ARMA-GARCH更适合短期预测，故对未来5个交易日的股票日收盘价进行预测，预测结果及误差见表5.上述结果表明，与一般的零均值噪声下的ARMA-GARCH模型相比，建立的高斯-泊松分布噪声下的ARMA-GARCH模型对金融时间序列数据的跳行为解释能力更强，预测结果更精确，有利于投资者做出决策，规避金融风险.5 结论以非零均值噪声下的ARMA-GARCH模型为研究对象，先证明了模型QMLE的强相合性和渐近正态性.之后，在数值模拟中，以高斯-泊松分布噪声为例，对模型参数进行了拟极大似然估计，并结合误差评价指标评估了方法的有效性.最后，在模型的应用中，对标普500指数的日对数收益率序列展开研究，探究了不同噪声分布下ARMA-GARCH模型的短期预测效果，为投资者提前预警投资风险提供一种更切合实际的方法.参考文献：1 ENGLE R F.Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of U.K.inflationJ.Econometrica,1982,50(4):987-1007.2 BOLLERSLEV T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticityJ.Econometrics,1986,31(3):307-327.3 PRESS S J.A compound events model for security pricesJ.The Journal of Business,1967,40(3):317-335.4 WEISS A A.Asymptotic theory for ARCH models:Estimation and testingJ.Econometric Theory,1986,2(1):107-131.表4 不同噪声分布下模型的参数估计结果Tab.4 Parameter estimation results of the model under different noise distributions噪声分布tN(01)+P(0.4)tN(01)标准t分布00.027 10.027 70.017 310.155 60.165 30.160 310.829 30.820 30.843 11-0.021 60.653 00.791 31-0.061 8-0.712 4-0.846 5表5 预测结果及预测误差Tab.5 The results and the errors of the prediction天数/d12345实际值3 700.653 726.863 748.143 803.793 824.68tN(01)+P(0.4)预测值3 723.143 711.623 761.023 786.563 821.22误差率/%-0.610.41-0.340.450.09tN(01)预测值3 757.043 701.763 728.133 749.553 805.85误差率/%-1.520.670.531.430.49标准t分布预测值3 758.063 702.873 729.323 750.793 806.63误差率/%-1.550.640.501.390.47692023年闽南师范大学学报（自然科学版）5 LING S,LI W K.On fractionally integrated autoregressive moving-average time series models with conditional heteroscedasticityJ.Journal of the American Statistical Association,1997,92(439):1184-1194.6 FRANCQ C,ZAKOIAN J M.Maximum likelihood estimation of pure GARCH and ARMA-GARCH processesJ.Bernoulli,2004,10(4):605-637.7 LING S,MCALEER M.Asymptotic theory for a vector ARMA-GARCH modelJ.Econometric Theory,2003,19(2):280-310.8 LING S.Self-weighted and local quasi-maximum likelihood estimators for ARMA-GARCH/IGARCH modelsJ.Journal of Econometrics,2007,140(2):849-873.9 ZHU K,LING S.Global self-weighted and local quasi-maximum exponential likelihood estimators for ARMA-GARCH/IGARCH modelsJ.Journal of Econometrics,2011,140(4):849-873.10 BERKES I,HORVATH L.The efficiency of the estimators of the parameters in GARCH processesJ.The Annals of Statistics,2004,32(2):633-655.11 LU P.Asymptotic properties of ARMA-(I)GARCH modelsD.London:The University of Western Ontario,2006.12 BOUGEROL P,PICARD N.Stationarity of garch processes and of some nonnegative time seriesJ.Journal of Econometrics,1992,52(1-2):115-127.13 STOUT W F.Almost sure convergence D.s.l.:Academic Press,1974.14 BILLINGSLEY P.The Lindeberg-Levy theorem for martingalesJ.Proceedings of the American Mathematical Society,1961,12(5):788-792.责任编辑:钟国翔70