折纸与数学PPT文档.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,折纸与数学,上海师范大学,数理学院 陆新生,xslushnu,1,2,一、背景,折纸数理研究的进展,折纸科学研究国际会议,数学教育中的折纸,日本,英美等国,中国,教科书中的折纸,3,二、折纸数理学的成立,英语中有两种说法，一种为,folding-paper，另一种为origami,第一本专著是桑达拉写于1896的折纸中的几何练习,1924年拉波出版了折纸的操作,贝洛柯于1935和1936年分别发表了优秀论文用折纸解几何问题和用折纸解3次和4次方程,4,二、折纸数理学的成立（续）,70年代，日本学者将目光重新投向折纸中的数理,特别是伏见康治夫妇的著作折纸几何学,之后在日本形成了一个研究折纸数理的高潮，结成了多个研究团体，也出版了许多的专著,芳贺和夫、阿部恒、堀井洋子、布施知子、笠原邦彦、前川淳等学者作出了较大的贡献。,5,二、折纸数理学的成立（续）,进入,90年代，在世界上许多国家掀起一股热潮,起因可能与1989年在意大利的费拉拉召开的第一届折纸科学国际会议有关。,1994年在第二届折纸科学国际会议上，日本学者芳贺和夫提议，在origami的词未加上后缀ics，用来表示正在形成的用折纸来探究数理的一门新学问,6,三、折纸研究,数学,工学,破坏工学、汽车新材料、气囊,生活,易打开的地图、新型饮料瓶,建筑学,轻巧、结实大楼的设计,生物学,蛋白质折纸,医学,微型手术刀、支架、人造血管,航空、航天,太阳能集光板、射电望,远镜、降落伞的折叠、航天飞船船帆,艺术,1,艺术,2,7,折纸的应用例,8,9,10,11,馆知宏（,2006,）,12,13,人造血管,:,牛津大学,ashi,的发明,14,15,栗林的发明,16,17,四、折纸与分数,分数的概念,同分母分数的加、减法,分数的性质,异分母分数的加减法,分数的乘除法,18,五、折纸与图形的性质,几个概念,垂直、平行、对称,图形的面积,三角形、平行四边形、梯形,图形的性质,三角形的中线、高、角平分线,19,六、折纸几何学公理,1),给定两点,P1,、,P2,，总能折一条线过这两点（连点折）,2),给定两点,P1,、,P2,，总能将点,P1,折到点,P2,（合点折）,3),给定两直线,L1,、,L2,，总能将直线,L1,折到直线,L2,上（合线折）,20,4),给定一点,P1,及一直线,L1,，总能过点,P1,折一直线垂直于直线,L1,5),给定两点,P1,、,P2,及一直线,L1,，总能过点,P2,折一直线使得直线,L1,过点,P1,（圆规折,),6),给定两点,P1,、,P2,及两直线,L1,、,L2,，总能折一直线使得直线,L1,过点,P1,且直线,L2,过点,P2,（三维折,),21,七、基本折法及其性质,(1),基本折法,连点折，圆规折，三维折，,线自折，合点折，合线折,(2),各种折法的性质,连点折,折痕为过两点的直线,合点折,折痕垂直平分连接两点的线段,合线折,折痕平分两线所成的角,线自折,折痕垂直于该线,22,八、折纸的种类,正方形折纸,特殊比例的长方形折纸,圆形折纸,三角形折纸,正多边形折纸,23,九、折纸问题的展开例,（一）芳贺折纸三定理,1.,芳贺第一定理,折法,发现,理由,24,设,BA,BC,1,，,BF,a,，,则,BE,1/2,，,EF,FC=1,a,，,由勾股定理得,解之得,a,3/8,，,EF,CF,5/8,利用,AHE,、,BEF,与,IHG,的,相似关系可以求得,AH=2/3,，,EH=5/6,，,HI=1/6,，,GI=1/8,，,HG=5/24,25,2.,芳贺第一定理的一般化,(1),一般化,1(,中点,任意点,),26,1/2,3/8,2/3,5/6,1/8,1/3,1/3,2/3,4/9,5/18,1/2,4/5,5/6,13/15,2/9,1/18,1/2,1/5,1/4,3/4,15/32,7/32,2/5,6/7,17/20,4/7,9/32,1/32,3/5,1/7,1/5,2/5,3/5,4/5,12/25,21/50,8/25,9/50,1/3,4/7,3/4,8/9,13/15,29/35,17/20,41/45,8/25,9/50,2/25,1/50,2/3,3/7,1/4,1/9,1/6,5/6,35/72,11/72,2/7,10/11,37/42,61/66,25/72,1/72,5/7,1/11,27,(2),一般化,2(,正方形,长方形,),复印纸的特征,长边,短边,=1,两大系列：,A,系列与,B,系列,A,系列最大尺寸为,A,0,，其面积为,1,平方米；,B,系列最大尺寸为,B,0,，其面积为,1.5,平方米,28,容易推得,A4,两边的长分别为 与 米（,1189mm,与,841mm,）,.,容易推得,B4,两边的长分别为 与 米（,1456mm,与,1030mm,），详细见下表,.,29,A0,A1,A2,A3,A4,A5,A6,8411189,594841,420594,297420,210297,148210,105148,B0,B1,B2,B3,B4,B5,B6,10301456,7281030,515728,364515,257364,182257,128182,A,型、,B,型复印纸规格（单位,mm,）,30,复印时的扩大与缩小,扩大,缩小,A5A3,B6B4,200,A3B4,A4B5,87,A4A3,B5B4,141,B4A4,B5A5,82,A4B4,A5B5,122,A3A4,B4B5,71,31,复印纸中的几个关系,32,复印纸的秘密,33,34,复印纸的芳贺第一,定理折法（横放,),折法,（略）,猜想,确认,35,(3),一般化,3(,一边中点,正方形内任一点,),EF,所在直线的方程为,折痕线,FG,的方程为,注,如果求出,RtEFH,各边的长，那么我们还能得到求毕达哥拉斯数的一般公式,36,4.,芳贺第一定理的应用,应用芳贺第一,定理我们可以折出任意的真分数，并能折得任意精度的角,(1),折分数,方法,1,利用前述的芳贺定理一般化,(1),中得到的,y2,的公式可知当,x,1/n,时,y,2/(n+1),，对折后可得,1/(n+1),，即由,1/n,可折得,1/(n+1),，这样我们由,1/2,开始可连续折可折得任一单位分数,.,方法,2,利用前述的分数表可快速折得任一真分数,37,4.,芳贺第一定理的应用,第一定理我们可以折出任意的真分数，并能折得任意精度的角,(1),折分数,该怎样折任一分数,?,方法,1,利用前述的芳贺定理一般化,(1),中得到的,y2,的公式可知当,x,1/n,时,y,2/(n+1),，对折后可得,1/(n+1),，即由,1/n,可折得,1/(n+1),，这样我们由,1/2,开始可连续折可折得任一单位分数,.,方法,2,利用前述的分数表可快速折得任一真分数,38,利用上面的结果，我们可以折出任意精度的角,原理,如右图所示，若要折的角,的正切值与某分数接近，则我们先想法折出该分数，把表示该分数的点,E,与点,B,连接得角,，则,即为所要折的角,例,由于,tg32.00538,5/8,，所以只要折出表示,5/8,的点,E,，再折一条连接点,B,、,E,的折痕线即可得很精确的,32,角,(2),折任意角,39,利用顺藤摸瓜的方式可折出其他一些角,32 16 8 4 2 1,5829 7437 8241 8643 8844 89,61 53 49 47,这样我们可以折出,48,种角度的角通过其它的一,些辅助角，可以得到,1,89,的所有角,40,44 22 11,4623 6834 17 79,67 56 73,56 28 14 7,6231 76 38 19 83,59 52 26 13 71,64 77,41,40,角的近似折法,因为,所以，只要我们能折出,485/578,就能得到相当,精确的,40,角,实际上，只需进行三次芳贺第一定理折法，,便可得到,485/578.,具体方法是,先取前述的第一定理一般化,1,中，先取,x,为,1/4,得,y2,2/5,，由此依次折出,3/5,、,3/10,便得,7/10,再取,x,为,7/10,得,y2,14/17.,最后取,x,为,14/17,得,y1,93/578,并由此得,485/578,42,5.,芳贺第二定理 芳贺第三定理,折法,对点,F,、,G,的位置作出猜想,给出理由,折法,对点点,H,的位置作出猜想,给出理由,43,6.,芳贺第二、第三定理的一般化,44,（二）三角形折纸,1.,米仓定理,问题的起源,米仓的发现,45,46,47,米仓定理的证明,米仓定理的一般化,1,田尻定理,证明,48,米仓定理的一般化,2,上村定理,证明,49,证明思路,EOA,与,OAB,同为等腰三角形且底角相等，而,ACB,等于,AOB,的一半，故,ACB=AEF,50,上村定理变式,1,51,上村定理变式,2,52,田尻定理的一般化,渡边定理,内心与外心相对定理,53,正三角形折纸,如右上图所示，将正三角形一顶点,A,折至对边,BC,上的任一点,D(B,、,C,除外,),，你有何发现，能说出理由吗,?,这个结论对一般三角形是否成立,?,54,角平分线分对边成比例线段的证明,55,猜想,:,理由,:,(,三,),折图形面积的,1/n,折法,:,56,折一面积为原面积,n,分之一的正方形,57,波兰科学院院士施泰因豪斯,(H.D.Steihaus,1887-1972),数学万花镜,参见沈康身著,数学的魅力,1,58,59,（四）,正方形折纸线边合折问题,子母线问题,60,发现了,什么规律,?,为什么,?,61,线边折交点性质说明图,62,（五）,X,型折线问题,你对图形中的数量关系有什么猜想吗,?,63,说明图中数量关系的图,64,（六）圆形折纸问题,65,（七）二次曲线,用圆形折纸折椭圆,用圆形折纸折双曲线,抛物线的折法,66,（八）用折纸来探究：,1.,梯形面积公式的推导,67,三角形面积公式 的推导,68,（九）用折纸来探究（续）：,2.,三角形的中线、高线、角平分线,69,（十）几个课题,1.,正三角形的折法,折法,1,70,折法,2,71,折法,3,72,2.,拉丁十字架,能折成什么样的立体？,73,74,能折成什么样的立体？,拉丁十字架的展开,75,76,77,3.,一刀剪,（,1,）剪正方形,78,（,2,）剪五角星,79,（,3,）剪三角形,80,（,4,）剪乌龟,81,4.,三浦折法,82,用三浦折法折地图,83,宇宙飞船船帆,84,5.,折直角三角板,（,1,）,30,度、,60,度直角三角板的折法,（,2,）,45,度直角三角板的折法,（,3,）用直角三角板来探索,85,6.,折七巧板,（,1,）七巧板的折法,（,2,）用七巧板来探索,（,3,）七巧板折纸作品,86,7.,四点合折问题,87,四点合折,88,四点合折,89,四点合折,90,四点合折,91,92,变式,长方形,三角形,高考题,93,