关于两道级数题目的推广与思考.pdf

第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.020高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023关于两道级数题目的推广与思考柴华岳，冯晓莉，张平安，朱佑彬（西安电子科技大学数学与统计学院，西安7 10 0 7 1）摘要本文将两个级数题目进行推广，得到比这两个题目更一般的结论；此外，文章还说明了根本就不存在“最小”的发散级数，因此对于正项级数而言，没有最“精密”，只有更“精密”的敛散性判别法。关键词正项级数；判别法中图分类号0 17 3.1Generalization and Reflection on Two SeriesCHAI Huayue,FENG Xiaoli,ZHANG Pingan,and ZHU Youbin(School of Mathematics and Statistics,Xidian University,Xian 710071,China)Abstract In this paper,we generalize two series problems and obtain more general conclusions.We showalso that there is no minimal divergent series,and therefore there is no most precise but more precise con-vergence and divergence criteria.Keywords series of positive terms,criterion for convergence and divergence文献标识码A文章编号10 0 8-1399(2 0 2 3)0 3-0 0 56-0 2刚刚学完正项级数，同学们和部分老师就深深体会到正项级数的比较判别法之强悍，同时他们也迷失于正项级数的诸多判别法之中.比如，用几何级数充当“比较级数”得到的比值判别法和根值判别法，尽管这两个判别法使用起来非常方便快捷，但是当极限为1时这两个判别法集体失效.于是就有数学家用p级数充当“比较级数”得到Rabbe判别法，用，充当“比较级数 得到Ca别法1随着“比较级数”的不断升级，得到的判别法也变得越来越“精密”，但是不管采用哪个“比较级数”，总还会有失效的情形出现.那么问题来了：是否存在一个“万能”的级数，随便拿一个正项级数跟它作比较都能判定该正项级数的敛散性而不会产生失效的情形呢？换句话说，能不能找到一个“最小”的发散级数，使得任何通项比它“小”的正项级数都收敛，比它“大”的正项级数收稿日期：2 0 2 1-11-2 8基金项目：高等学校大学数教学研究与发展中心（CMC202202预0 8).作者简介：柴华岳（197 9一），男，河南禹州人，讲师，从事高等数学教学研究工作，.Email:chaihy .都发散。如果存在这样的级数，那么人们就能一劳永逸地解决正项级数的敛散性问题了.非常凑巧的是，在帮助某位考研同学解决两个考研真题的过程中，我们不但将问题进行推广，得到更一般的结论，而且我们得到的结论还能说明：根本就不存在所谓的“最小”的发散级数。这两个题目是：题目1设a0,S,=ai+a2+十an，级+80数 4.=+0 0,试证2+80发散.n=1n=1题目2 设an0,S,=a1+a2+an，级数2 a.=+8.,试证3n=1n=1题目1曾作为武汉大学研究生入学的测试题目，而题目2 曾作为东北师范大学研究生人学的测试题目简单观察可以发现，这两个题目的条件都是正项+级数2 4.发散,但是它们的结论，级数却是一修改日期：2 0 2 3-0 3-2 0n=1个发做，一个收做。正项级数2+8a的敛散性与常n=1S收敛.+第2 6 卷第3期数的取值之间到底有怎样的联系呢？通过仔细对比、深入剖析，我们不但解决了这两个题目,还得到包含这两个题目为特例的一般结论.命题1设a0,S,=a+a+.+an+800,级数Za,发散,则：n=1(1)当0 1时，级数收敛.S=1注取=1可得题目1；取=2可得题目2.由于4.发散，则S，单调递增且+证明n=1limS,=+o.（1）注意到对任意的正整数P，都有aN+1+aN+2+SN+1SN+2SN+1-S+Sh+2-SN+1SN+PSt-Ss=1-3SN+PSN且lim=0，因此当P足够大时，必有SN+PP00aN+1+aN+2SN+1SN+2根据柯西收敛准则可知级数2 岁+n-1当0 N时,S1.于是可得0 0,再根据正项级数的比较判别进一步地法可知%发散.n-1（2）当1时，由limS，=十8 o可知，存在正整数 N,当nN时,S.1 1.对菌数 F(0)=在S,-1,S,上使用拉格朗日中值定理，则存在E(S,-1,S,),使得11S1注意到1 S,-1=an，总存在一个通项远小于a,的发散级数bs，n=1也就是说不存在“最小”的发散的正项级数，因而根本就不存在所谓“万能”的“比较级数”最后，我们还需要指出：尽管没有最“精密”的敛散性判别法，但是我们还是可以借助级数收敛的性质、充要条件、柯西收敛原理等结论去判断一个级数的敛散性，根本没必要无休无止地去构建一个又一个所谓的更“精密”的判别法.参考文献1同济大学数学系.高等数学（下册）M.7版北京：高等教育出版社，2 0 14.2裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.2版北京：高等教育出版社，2 0 0 6.3刘三阳，李广民.数学分析十讲M.北京：科学出版社，2 0 11.4谢惠民等.数学分析习题课讲义（下册）M.北京：高等教育出版社，2 0 0 4.nnbn是发散的,且lim一一0.ooannn=1