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第2届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
（1968年于匈牙利的布达佩斯）

【题１】 在倾角为300的斜面上，质量为m2＝4 kg的木块经细绳与质量为m1＝8 kg 、半径为r ＝5 cm的实心圆柱体相连。求放开物体后的加速度。木块与斜面之间的动摩擦系数μ＝0.2，忽略轴承的摩擦和滚动摩擦。
解：如果绳子是拉紧，则圆柱体与木块一同加速运动，
设加速度为a，绳子中的张力为F，圆柱体与斜面之间
的摩擦力为S，则圆柱体的角加速度为a／r。
对木块有：m2a＝m2gsinα－μm2gcosα＋F
对圆柱体有：m1a＝m1gsinα－S－F
S r＝Ia／r
1,3,5
其中I是圆柱体的转动惯量，S r是摩擦力矩。
解以上方程组可得
　　　　　　　　　　（1）
　　　　　　　　　（2）
　　　　　　　　　（3）
均匀圆柱体的转动惯量为
代入数据可得a＝0.3317g＝3.25m/s2
S＝13.01 N
　　　　F＝0.196 N
　　讨论：系统开始运动的条件是a＞0。把a＞0代入（1）式，得出倾角的极限α1为：
0.0667
α1＝3049/
单从圆柱体来看，α1＝０；
单从木块来看，α1＝tg-1μ＝11019/
　　如果绳子没有拉紧，则两物体分开运动，将F＝0代入（3）式，得出极限角为：
　　0.6
α2＝30058/
　　圆柱体开始打滑的条件是S值（由（2）式取同样的动摩擦系数算出）达到μ m1gcosα，由此得出的α3值与已得出的α2值相同。
圆柱体与木块两者的中心加速度相同，都为g（sinα－μ gcosα）圆柱体底部的摩擦力为μ m1gcosα，边缘各点的切向加速度为
　　a＝μ（）gcosα，
【题2】 一个杯里装有体积为300 cm3、温度为00C的甲苯，另一个杯里装有体积为110 cm3、温度为1000C的甲苯，两体积之和为410 cm3。求两杯甲苯混合以后的最终体积。甲苯的体膨胀系数为β＝0.001（0C）－１，忽略混合过程中的热量损失。
解：若液体温度为t1时的体积为V1，则在00C时的体积为

同理，若液体温度为t2时的体积为V2，则在00C时的体积为

如果液体在00C时的密度为d，则质量分别为
　　　　　　　m1＝V10d 　　m2＝V20d
混合后，液体的温度为

在该温度下的体积分别为V10（１＋βt）和V20（１＋βt）。所以混合后的体积之和为
V10（１＋βt）＋V20（１＋βt）＝V10＋V20＋β（V10＋V20）t
　　　　＝ V10＋V20＋β
＝ V10＋V20＋β（）
＝V10＋βV10t1＋V20＋βV20t2＝V10（１＋βt1）＋V20（１＋βt2）
＝V1＋V2
　　体积之和不变，在本题仍为410 cm3。当把多杯甲苯不断地加入进行混合，对任何数量的甲苯这个结果都成立。
【题3】光线在垂直玻璃半圆柱体轴的平面内，以450角射
在半圆柱体的平面上（如右图），玻璃的折射率为。试
问光线在何处离开圆柱体表面？
解：用角度Ψ描述光线在玻璃半圆柱体内
的位置如解图2.3所示。按照折射定律：

得：sinb＝0.5，b＝300
所有折射光线与垂直线的夹角均为 300，有必要研究一下，当Ψ角从00增至1800的过程中发生了什么现象。
　　不难看出，Ψ角不可能小于600。
光线从玻璃射向空气全反射的临界角 由解图3.2

求出：bt＝450，
则：Ψt＝1800―600―450＝750　　
如果Ψ角大于750，光线将离开圆柱体。随着Ψ角的增加，光线将再次发生全反射，此时Ψt＝900＋300＋450＝1650
故当：750＜Ψ＜1650时光线离开圆柱体。出射光线的圆弧所对应的圆心角为1650―750＝900。
【实验题】参加者每人领取三个封闭的盒子，每个盒上有两个插孔。不许打开盒子，试确定盒中元件的种类，并测定其特性。可供使用的是，内阻和精度已知交流和直流仪器，以及交流电源（频率50 HZ）和直流电源。
解：在任何一对插孔中都测不到电压，因此，盒子都不含有电源
　　先用交流，再用直流测电阻，有一盒给出相同的结果。结论是：该盒包含一个简单电阻，其阻值由测量确定。
　　另一盒有极大的直流电阻，但对交流来说是导体。结论是：该盒包含一个电容，其电容值由算得。
1,3,5
　　第三个盒子对交流和直流都是导体，而交流电阻较大。结论是：该盒包含一个电阻和电感，两者串联。电阻和电感值可从测量中算得。

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