第四章 三角形2.doc

4.5．相似三角形
【课前热身】
1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．
2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．
3．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．

4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

【考点链接】
一、相似三角形的定义
三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
二、相似三角形的判定方法
1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．
2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．

3. 两个角对应相等的两个三角形__________．
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．
5. 三边对应成比例的两个三角形___________．
三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．
2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．
3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．
【典例精析】

例1 在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当DF等于多少时，这两个三角形相似．

例2 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

例3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？

【课后演练】
1.如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．
2. 在中, 为直角, 于点,,
写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_____.

（第1题） （第2题） （第3题）
3.如图，在△ABC中,若DE∥BC,＝,DE＝4cm,则BC的长为 ( )
A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm
4. 如图，已知是矩形的边上一点，于，
试证明．

4.6．锐角三角函数
【课前热身】
1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC的长是（ ）
A． B．3 C． D．
2．RtABC中，∠C=，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值（ ）
B(0,－4)
A(3,0)
0
x
y
A． B． C． D．1
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），
点B（0，－4），则 等于_______．
4．=____________．

【考点链接】
α
a
b
c
1．sinα，cosα，tanα定义
sinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______ ．
2．特殊角三角函数值

30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

【典例精析】

例1 在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．

例2 计算:．

例3 等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，求底角∠B的四个三角函数值．

【课后演练】
1．在△ABC中，∠C ＝ 90°，tanA ＝，则sinB ＝( )
A．　　 B． C． D．
2．若，则下列结论正确的为（ ）
A． 0°< ∠A < 30° B．30°< ∠A < 45°
C． 45°< ∠A < 60° D．60°< ∠A < 90°
3. 在中，，，，则 ．
4.计算的值是 .
5. 已知 ．

6．△ABC中，若（sinA－）2＋|－cosB|＝0，求∠C的大小．

﹡7.图中有两个正方形，A，C两点在大正方形的对角线上，△HAC是等边三角形，若AB=2，求EF的长．
_
E
_
A
_
F
_
D
_
C
_
B
_
O
_
H
_
G

﹡8. 矩形ABCD中AB＝10，BC＝8， E为AD边上一点，沿BE将△BDE对折，点D正好落在AB边上，求 tan∠AFE．
F

A
B
C
D
E

4.6．解直角三角形及其应用

【课前热身】
1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）
　　　　　 （第1题）
2. 某坡面的坡度为1：，则坡角是_______度．
3．王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 ( )
A．150m 　 　 B．m 　 C．100 m 　 D．m

【考点链接】

1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的类型：
已知____________；已知___________________．
3．如图（1）解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．
（2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．
5．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．
6．如图（4）坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．

O
A

B

C

（图2） （图3） （图4）

【典例精析】
例1　Rt的斜边AB＝5, ，求中的其他量.

例2　海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．

例3为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示）
求：（1）渠面宽EF；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．

【课后演练】
1．在中，，AB＝5，AC＝4，则 sinA的值是_________.
2．升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______.（取，结果精确到0.1m）
3．已知：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号)

﹡4．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）