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有关角平分线例题解法
沿河第四中学 刘滋
对于角平分线是初中几何中的一个重要内容，其性质主要有：
1.把一个角分成两个相等的角；
2.角平分线上的点到角两边的距离相等，逆命题也成立；
3.在等腰三角形中，顶角的角平分线是底边上的高，也是底边上的中线。
一般涉及到角平分线的问题，解题时常常需要作适当的辅助线，构成等腰三角形，然后运用其有关性质来解决。下面我就相关问题举例分析供参考。

一. 角平分线和平行线的组合
例1. 如图 .已知△ABC中.AD是∠A的角平分线，M是BC的中点，MF∥DA,交AB和CA的延长线于E、F.求证：BE=CF= .

分析：由于MF是角平分线AD的平行线，所以∠EAD=∠CAD,又∠AEF=∠EAD,∠F=∠CAD,可得∠AEF=∠F,所以得到等腰三角形AEF.由于M为中点，故过M作MG∥CA交AB于G点.MG为△ABC的中位线，可得BG=AG=AB,GM=AC.又∠GEM=∠FEA=∠F,而∠F=∠GME,从而∠GEM=∠GME.故△GME是等腰三角形，GM=GE, 于是
BE=BG+GE=AB+GM=AB+AC.CF=AC+AF=AC+AE=AC+(AG-EG)=AC+AB-AC=AB+AC.即证.

二. 角平分线和角平分线的垂线的组合
例2. 如图.已知△ABC中.BD、CE是角平分线，AF⊥CE,AG⊥BD,垂足分别为F、G.
求证：（1）FG∥BC (2) FG = (AB+AC-BC)

分析：（1）因为BG是∠B的平分线，且BG⊥AG,则延长AG交BC于H,得∠BAH=∠BHA,BA=BH和AG=HG.同理延长AF交BC于K.可得AC=KC. AF=KF. 又FG为△AKH的中位线，故FG∥KH.且FG=KH. 即FG∥BC.
(2) 要证AB+AC-BC=KH. 由于AB+AC-BC=BH+CK-BC=BH+(KH+CH)-BC=(BH+CH)+KH-BC=KH. 即证.

三. 以角平分线为对称轴，构造全等三角形
例3. 如图. 在四边形ABCD中，已知BC=DC, 对角线AC平分∠BAD.
求证：∠D+∠B=180°.

分析：本题要证两角和是180°，也就是说把两角拼在一起，它们应该是平角，而图中此两角是对角，且AC是角平分线，故可将△ADC沿AC翻折，点D落在AB上，记为E点，从而可得△ADC≌△AEC,∠D=∠AEC .CD=CE ,又CD=BC ,所以CE=CB ,从而△CEB是等腰三角形，∠CEB=∠B . ∠CEB+∠AEC=180°, 即∠D+∠B=180°

四. 由角平分线上的一点向角的两边或一边作垂线
例4. 如图. 在平行四边形ABCD中，AE和CF交于G点，且AE=CF ,求证：BG平分∠AGC.

分析：本题直接证明∠AGB=∠CGB很难入手，但根据角平分线的性质，可证点B到角两边的距离相等，故作BN⊥AE,BM⊥CF,垂足分别为N、M ,只要证BN=BM 即可.
连接BE、BF.由于BM、BN分别是△BCF、△ABE的高，而AE=CF,即两个三角形等底，现在要证高相等，故只需证面积相等.由于△ABE的面积和△BCF的面积都等于平行四边形的面积的一半，所以 S△ABE =S△BFC. 即 AE·BN=CF·BM BM=BN 即证.