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第25课时 对数的运算
【学习目标】
1.正确理解和掌握对数的运算性质；
2.理解推导运算性质的依据和过程，并会用语言叙述，培养学生数学语言转换能力，学会寻求合理、简洁的运算途径，提高运算能力.
【课前导学】
复习回顾
1．对数的定义 log a N＝b 其中 a∈（0，1）∪（1，＋∞）与N∈（0，＋∞）.
2．指数式与对数式的互化：
ab＝N log a N＝b.
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数；
⑵log a 1＝0，log a a＝1；
⑶对数恒等式；
(4) log a ab＝b.
【课堂活动】
一、建构数学：
1.运算性质：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)
【思路分析】 现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.
证明：(1)设logaM＝p，logaN＝q
由对数的定义得：M＝ap，N＝aq ∴MN＝ap·aq＝ap+q
再由对数定义得logaMN＝p＋q，即证得logaMN＝logaM＋logaN
(2)设logaM＝p，logaN＝q 由对数的定义可以得：
M＝ap，N＝aq， ∴ ＝＝ap－q，
再由对数的定义得： loga＝p－q，
即证得loga＝logaM－logaN.
(3)设logaM＝p 由对数定义得M＝ap，
∴Mn＝（ap）n＝anp 再由对数定义得
logaMn＝np. 即证得logaMn＝nlogaM.
【解后反思】上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式.
其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用.
(要求：性质(2)、(3)学生尝试证明，老师指导)
说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；
（2）注意有时必须逆向运算：如 ；
（3）注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义.
是不成立的，
是不成立的；
（4）当心记忆错误：
，试举反例，
，试举反例.
（5）对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.
2. 对数换底公式.（尝试证明）
说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）：
① ；
② ；
③ .
换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则，所以利用换底公式可以解决一些对数的底不同的对数运算.
［师］接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值：
二、应用数学：
例1求下列各式的值：
（1）； （2）；（3）；
（4） .
解：（1）
；
（2）；
（3）；
（4）
.
点评: 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键.
例2 用log a x，log a y，log a z表示下列各式：
（1）log a ； （2）log a .
解：（1）log a ＝log a（xy）－ log az＝log a x＋log ay－log az.
（2）log a ＝log a （x2·）－log a
＝log a x2＋log a －log a ＝2 log a x ＋log ay －log az.
例3 计算：
（1）lg14－2lg＋lg7－lg18 ；（2）；（3） .
【说明】此例题可讲练结合.
解：(1)解法一：lg14－2lg＋lg7－lg18
＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
解法二：
lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg14－lg（）2＋lg7－lg18
＝lg＝lg1＝0.
【解后反思】此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.
（2）＝＝＝.
（3）＝
＝＝.
【解后反思】此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.
例4 已知.求.
[思路分析一]
先将指数式化成对数式，然后将所求式化为以18为底的对数式，利用已知代入即可.
[思路分析二]
将所有已知、未知的式子都化为常用对数来计算.
[思路分析三]
将已知的对数式化成指数式，然后将所求式也化成指数式，逐步寻求转化关系.
[解法一]
，
.
[解法二]
，
.
[解法三]
，
令，
即，
.
【解后反思】本题的解题方法是将指数式化成对数式，再把所求对数的底通过换底公式换成和它们相同的底的对数，以便利用已知条件及对数的性质来求值，也可将对数式改写成指数式，以便利用已知条件及指数运算法则来求解.
三、理解数学：
1.求下列各式的值：
（１）log 2６－log 2３ （２）lg５＋lg２
（３）log 5３＋log 5 （４）log 3５－log 315
解：（１）log 2６－log 2３＝log 2＝log 2２＝１
（2）lg５＋lg２＝lg（５×２）＝lg１０＝１
（3）log 5３＋log 5＝log 5 (３×)＝log 5１＝０
（4）log 3５－log 315＝log 3 ＝log 3 ＝－log 3３＝－１
2. 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1) lg （x y z） （２）lg （３）lg （４）lg
解：(1) lg（xyz）＝lg x＋lg y＋lgｚ；
(2) lg ＝lg x y2－lg z＝lg x＋lg y2－lg z
＝lg x＋２lg y－lgｚ；
(3) lg＝lg x y3－lg ＝lg x＋lg y3－ lgｚ
＝lg x＋３lg y－ lgｚ；
(4) lg＝lg－lg y2 z＝lg x－（lg y2＋lg z）
＝lg x－2lg y－lg z .
3 .已知，求之间的关系.
分析：由于在幂的指数上，所以可考虑用对数式表示出。
解：∵ ，∴两边取以10为底的对数得：，
∴，∵，
∴ .
点评:本题要求关于的代数式的值，必须对已知等式两边取对数，恰当的选取对数的底数是十分重要的，同时是关键.
【课后提升】
1.若，下列等式中：①；②；③；④.不正确的是 ①③ .
2.计算 1 .
3.若，则的值为 .
4.已知，那么的大小顺序为 .
5.若，则，若，则.
6..
7 .计算：
(1) log a２＋log a （a＞０，a≠１） （２）log 318－log 3２
(3) lg －lg25 (4)２log 510＋log 50.25
（5）２log 525＋３log 264 (6) log 2（log 216）
解：(1) log a２＋log a ＝log a（２×）＝log a１＝０；
（2）log 318－log 3２＝log 3＝log 3９＝２；
（3）lg －lg25＝lg（÷２５）＝lg ＝lg10－2＝－２；
（4）２log 510＋log 50.25＝log 5＋log 50.25
＝log 5 (100×0.25)＝log 525＝２；
（5）２log 525＋３log 264＝２log 5＋３log 226
＝２×２＋３×６＝22；
（6）log 2（log 216）＝log 2（log 2）＝log 2４＝log 2＝２.
8．设，求的值.
分析：本题只需求出的值，从条件式出发，设法变形为的方程.
解：当时，原式可化为：，即，
，∴或（舍），∴ .
思维点拔：本题在求时，不是分别求出的值，而是把看成一个字母，这种方法称为“整体”思想.
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