高三数学立体几何中的证明(文)人教实验版(A)知识精讲.doc

高三数学立体几何中的证明（文）人教实验版（A）

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
立体几何中的证明

二. 重点、难点：
1. 平面几何中的一些结论
（1）中点，中位线
（2）平行四边形
（3）等腰三角形，中点
（4）勾股定理
（5）菱形，矩形
2. 立体几何中的定义，判定定理，性质定理
3. 立体几何中的精典的结论（见例1）

【典型例题】
[例1] 以下结论中正确的作“√”，不正确的画“×”
（1）
① ②
③ ④
⑤ ⑥
（2）
① ②
③ ④
⑤ ⑥
（3）
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
答案：
（1）①⑥√；②③④⑤×
（2）②⑥√；①③④⑤×
（3）①②④⑤⑦⑧√；③⑥×

[例2] 异面直线，，，AD，DB，BE，EC，CF中点依次为M、N、P、Q、R，求证：M、N、P、Q、R五点共面。
证明：如图 ∴ MN、PQ确定平面
同理NP//QR，确定平面 ∴ 有三个公共点，N、P、Q
N、P、Q不共线确定唯一一个平面 ∴ 重合
∴ M、N、P、Q、R共面
推广：连接异面直线所有线段中点共面

[例3] 如图正方形ABCD，ABEF，M∈AC，N∈BF，且AM=FN，求证：MN//面BCE。

证明：（1）过M作MP/AB交BC于P，过N作NQ//AB交BE于Q，连PQ
MPQN
面BCE

（2）过M作MH//BC交AB于H，过N作，交AB于
∴ 重合
∵

[例4] 四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为菱形，，求证：
（1）面ACC1A1⊥面ABCD；
（2）ACC1A1⊥面BDD1B1；
（3）矩形BDD1B1。
证明：（1）过B作BH⊥AA1于H，过D作于
H，H′重合
∴ AA1⊥面BDH ∴ AA1⊥面BDH

（2）面ACC1A1面BDD1B1⊥面ACC1A1
（3）BD⊥DD1矩形BDD1B1

[例5] PA⊥矩形ABCD，M、N为PC、AB中点。
（1）求证：MN⊥AB；
（2）若二面角P—CD—AB成45°，求证：面MND⊥面PDC。

证明：
（1）E为CD中点 ∴ EN⊥AB ME//PD

∴ AB⊥ME ∴ AB⊥面MEN ∴ AB⊥MN

（2）为二面角P—CD—AB平面角

[例6] 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q。求证：
（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线；
（3）DE、BF、CC1三线共点。

证明：（1）∵ EF是△D1B1C1的中位线 ∴ EF//B1D1
在正方体AC1中，B1D1//BD
∴ EF//BD
∴ EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面
（2）正方体AC1中
设A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为
∵ ∴ ，又Q∈EF，∴ Q
则Q是与的公共点 同理，P点也是与的公共点
∴
∴ R∈A1C ∴ R∈，且 ∴ R是的公共点
∴ P，Q，R三点共线
（3）∵ ∴
∴ 四边形BDEF是梯形，从而两腰DE，BF必相交于一点M
∵ M∈DE，DE面CDD1C1
∴ M∈平面CDD1C1 同理M∈面BCC1B1
∴ M∈面CDD1C1∩面BCC1B1=CC1
∴ DE，BF，CC1共点于点M

[例7] 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点。求证：
（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP//平面A1BD。

分析：（1）找出AP在面BB1C1C上的射影，利用三垂线定理证明。
（2）由于M，N，P都为中点，故添加B1C，B1D1作为联系的桥梁。
证明：（1）连BC1，B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影。
∴ AP⊥B1C，又B1C//MN ∴ AP⊥MN
（2）证法一：连结B1D1
∵ P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴ PN//B1D1
又B1D1//BD ∴ PN//BD
又PN平面A1BD，∴ PN//平面A1BD
同理MN//平面A1BD，又PN∩MN=N
∴ 平面PMN//平面A1BD
证法二：连结AC1，AC，如图所示

∵ ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴ AC⊥BD
又CC1⊥面ABCD ∴ AC为AC1在面ABCD上的射影
∴ AC1⊥BD 同理可证AC1⊥A1B
∴ AC1⊥平面A1BD 同理可证AC1⊥平面PMN
∴ 平面PMN//平面A1BD

[例8] 如图所示，已知两条异面直线AB与CD所成的角等于，且AB=m，CD=n，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上。
（1）求证：四边形MNPQ是平行四边形；
（2）当M点在何位置时，MNPQ的面积最大？最大面积是多少？

解析：（1）证明：由于AB//平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ=MN，则AB//MN，同理AB//PQ。由公理4得MN//PQ，同理MQ//NP，故四边形MNPQ是平行四边形。
（2）由于AB与CD所成的角等于，AB//MN，CD//MQ，则
设，则
，则
于是

其中当，即=1时，达到最大值。故当M点位于AC中点时，MNPQ的面积最大，最大面积等于。

[例9] 如图所示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G，求证：AE⊥SB，AG⊥SD。

分析：欲证线线垂直，可证线面垂直。
证明：∵ SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC
∴ BC⊥平面SAB，又AE平面SAB
∴ BC⊥AE ∵ SC⊥平面AEFG ∴ SC⊥AE
∴ AE⊥平面SBC，∴ AE⊥SB
同理AG⊥SD

[例10] 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。
（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）求二面角A—BC—P的大小；
（4）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论。

解析：（1）证明：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD的中点，∴ BG⊥AD
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD
∴ BG⊥平面PAD
（2）证明：连结PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD
由（1）知BG⊥AD，PG∩BG=G，PG平面PGB，BG平面PGB，∴AD⊥平面PGB
∵ PB平面PGB，∴ AD⊥PB

（3）由（2），AD⊥平面PGB
∵ 在菱形ABCD中，AD//BC，∴ BC⊥平面PGB
而PB平面PGB，BG平面PGB
∴ BC⊥PB，BC⊥BG
∴ ∠PBG为二面角A—BC—P的平面角
∵ 在△PAD中，PG=，在菱形ABCD中，BG=
在中，∠PBG=45°，∴ 二面角A—BC—P为45°
（4）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD
取PC的中点F，连结DE，EF，DF
则由平面几何知识，在△PBC中，FE//PB
在菱形ABCD中，GB//DE
而FE平面DEF，DE平面DEF，FEDE=E
∴ 平面DEF//平面PGB
由（1），PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB
∴ 平面PGB⊥平面ABCD ∴ 平面DEF⊥平面ABCD

【模拟试题】
1. 三个平面两两相交，则交线有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 1条或3条
2. 下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）
① 垂直于同一直线的两条直线平行；
② 垂直于同一直线的两个平面平行；
③ 垂直于同一平面的两直线平行；
④ 垂直于同一平面的两平面平行
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 已知不重合的直线和平面M，下面四个命题中，正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
4. 已知是不重合的直线，是不重合的平面，有下列命题：
① 若，则；② 若，则；③ 若，m//n，则m//且m//；④ 若，则。其中真命题的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
5. 已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知是不同的两个平面，直线，直线，命题：与无公共点；命题：。则与的关系是（ ）
A. p成立，则q成立，反之不成立
B. q成立，则p成立，反之不成立
C. p成立，则q成立，反之亦然
D. 以上都不对
7. 存在，使是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 过平面外一点，作平面的平行线可以作（ ）
A. 一条 B. 两条 C. 无数条 D. 以上都不对
9. 已知直线和平面，下列推论错误的是（ ）
A. B.
C. 或 D.
10. 已知是两个平面，直线，若以①；②；③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（ ）
A. ①③②；①②③ B. ①③②；②③①
C. ①②③；②③① D. ①③②；①②③；②③①
11. 已知是直线，是平面，给出下列命题：①，则；②，，则；③，则；④，，，则。其中正确命题的序号是（ ）
A. ①②④ B. ①③④ C. ②④ D. ②③
12. 过平行六面体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（ ）
A. 4条 B. 6条 C. 8条 D. 12条
13. 已知直线，平面，且，给出下列四个命题：
① 若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则。其中正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14. 如图所示，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是（ ）

A. 平面ABD⊥平面ABC B. 平面ADC⊥平面BDC
C. 平面ABC⊥平面BDC D. 平面ADC⊥平面ABD
15. 关于直线与平面，有下列四个命题（ ）
① 若且则；② 若且，则
③ 若且则；④ 若且，则
其中真命题的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③
16. 如果直线与平面满足，，那么必有（ ）
A. 和 B. 和
C. 且 D. 和
17. 设为两两不重合的平面为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）
① 若，则
② 若，则
③ 若，，则
④ 若，，，则m//n
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
18. 过平行六面体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（ ）
A. 4条 B. 6条 C. 8条 D. 12条
19. 平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（ ）
A. 一条直线 B. 一个圆 C. 一个椭圆 D. 双曲线的一支
20. 若是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若//，，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
21. 在空间中，有如下命题：
① 互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
② 若平面//平面，则平面内任意一条直线m//平面；
③ 若平面与平面的交线为m，平面内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面；
④ 若点P到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形内部的射影是该三角形的内心。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
22. 已知为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且，b⊥，则下列命题中的假命题是（ ）
A. 若a//b，则// B. 若⊥，则a⊥b
C. 若a，b相交，则，相交 D. 若，相交，则a，b相交
23. 已知为直线，、、为平面，有下列四个命题：
① 若m//，m//，则//
② 若，则
③ 若⊥，//，则⊥
④ 若⊥，则m⊥n
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
24. 已知平面//平面，直线，直线，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（ ）
A. B. C. D.
25. 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、DD1的中点，则过D、E、F三点的截面截正方体所得截面形状是 。

26. 如图是正方体的平面展示图，在这个正方体中：
① BM与ED平行；
② CN与BE是异面直线；
③ CN与BM成60°角；
④ DM与BN垂直。
以上四个命题中，所有正确命题的序号是 。

27. 如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：
① AF⊥PB；② EF⊥PB；③ AF⊥BC；④ AE⊥平面PBC。
其中正确命题的序号是 。

28. 如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：

① 水的部分始终呈棱柱状；
② 水面四边形EFGH的面积不改变；
③ 棱A1D1始终与水面EFGH平行；
④ 当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值。
其中正确命题的序号是 。

【试题答案】
1. D 2. B 3. B 4. B 5. D 6. B 7. B 8. C 9. D 10. A
11. B 12. D 13. B 14. D 15. D 16. A 17. B 18. D 19. A 20. D
21. B 22. D 23. B 24. A
25. 矩形 26. ③④ 27. ①②③ 28. ①③④
用心 爱心 专心