结构力学(虚功原理和结构位移计算).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章,虚功原理和结构位移计算,Computation of displacement of structure,1,主 要 内 容,4,2,刚体体系虚功原理及其应用,4,3,变形体结构位移计算一般公式,4,4,荷载作用下的位移计算及举例,4,5,图 乘 法,4,6,温度作用时的位移计算,4,7,互等定理,4,8,小 结,4,1,结构位移概念,2,4-1,结构位移概念,1、工程结构在荷载作用、温度变化、材料收缩和支座移动等因素下：,结构的形状一般会发生变化,-,变形(或形变),结构的截面位置会发生变化-,位移(线位移或角位移),()为超静定结构的内力分析打下基础,（,）为研究结构动力计算和稳定分析的打基础,在结构的制作、架设、养护等过程中，往往需预先知道结构的变形情况，以便采取相应的措施（如图），以消除位移的影响,2、结构位移计算的目的,(1)验证结构的刚度,3,3,、位移产生的原因,（,1,）、结构,内力,应变,结构上各点位置发生变化,荷载作用,变形,（,2,）、结构,非荷载作用,温度改变、支座移动、,材料涨缩、制造误差,位移,虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。,4,变形,(deformation),结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变；,由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生,位移,。,1,）、,线位移,4,、,结构位移,2,）、,角位移,：,3,）、位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。,上述各种位移统称为“广义位移”。,与广义位移相对应的力称为“广义力,”,。,水平线位移：,H,铅直线位移：,V,5,在梁和桁架中，垂直方向位移称为,挠度,(deflection),在刚架中，结点水平方向位移,称为,侧移,在超静定刚架中，荷载作用下，结点不仅有角位移，同时有侧移现象。如图示,6,4）,、各种位移举例,相对位移,Relative displacement,CD,=,C,+,D,绝对位移,(,Absolute displacement,),7,一般而言，位移有其产生的,原因,和所在结构,部位和方向,。,位移用,表示,.,双角标,表示,第二角标：,产生该位移的原因,第一角标：,位移的地点和方向,i,j,P,j,A,B,ij,ij,由于作用于,j,点确定方向的力,P,j,所引起的,i,点在某,确定方向的位移,8,i,j,P,j,=,1,A,B,ij,jj,柔度,(,Flexibility,),单位力所引起的位移,ij,间接柔度,jj,直接柔度,jj,0,ij,0,0,=0,9,5,、计算位移的有关假定,1),、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。,2),、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。,3),、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。,4),、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。,满足以上要求的体系为,“线变形体系”。,因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用,叠加原理。,P,P,B,A,6,、计算结构位移的方法,几何法,单位荷载法,10,4-2,刚体体系虚功原理及其应用,一、基本概念,1,、功,(Work),：,2,、实功：力由于自身所引起的位移而作功。,P,当静力加载时，即：,P,由,0,增加至,P,由,0,增加至,实功的计算式为：,11,3,、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。,P,A,A,D,虚功的计算式为：,4,、虚功对应的两种状态及应满足的条件：,虚功的两因素,:,力,相应的位移,（,1,）,虚力状态：,为求真实位移而,虚设的力,状态，应满足,静力平衡,条件,（,2,）,虚位移状态：,为求真实力而,虚设的位移,状态，应满足,变形协调条,。,12,刚体虚功原理：刚体平衡的,充要条件,是作用于刚体上的,外力,在刚体的,任何虚位移,上所作的虚功总和为,零,。即：,(3),、,虚力原理,：研究虚设的平衡力系在实际位移上的,功，以计算结构的未知位移,(,如挠度、转角等,).,(4),、,虚位移原理,：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功，,以计算结构的未知力,(,如支座反力等,).,二、刚体虚功原理,理论力学,质点、质点系虚功原理,W,外,0,13,1,、虚力原理,(Virtual force theory),以图,(a),示静定梁为例说明虚力原理,已知：支座,A,移动位,移,c,1,，,求,解：,因位移状态给定,故用虚力原理,虚设一单位力，如图,(b),示,A,B,C,P=,1,R,1,图（,b,）,由平衡条件知：,R,1,由虚功方程：,即,未知力与已知力之间的几何方程,A,B,C,图（,a,）,a,b,c,1,A,B,14,应用虚力原理求未知位移的,关键,是沿拟求位移,方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求与已知位移,c,1,对应的支反力,R,1,这种解法称为,单位荷载法。,特点,：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。,适用范围：,刚体体系的位移计算，,变形体体系的位移计算问题。,2,、支座位移时静定结构的位移计算,虚设单位荷载的,目的,使虚功方程中正好包含拟求位移对应的力,即：单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移。,15,例,1:,如图示梁在支座,A,有竖向位移,c,A,，拟求,C,点的竖向位移,C;,杆,CD,的转角,.,解,:,(1),在点加一竖向,，图,(b),示,:,(a),(b),(c),列虚功方程：,(,),在杆上一力偶,，图,(,),示,:,解得：,所得位移为正，表明,与单位荷载方向一致,16,小结：,支座,K,有给定位移,c,K,时静定结构的位移计算步骤,2.,令虚设力在 实际位移上作虚功，写出虚功方程,沿拟求位移,方向虚设相应的单位荷载，求出单位,荷载下的支座反力,F,RK,.,得到虚设的平衡力系。,3.,求拟求位移为：,17,图（,c,）,例,2,：,已知,B,截面处有相对转角,，拟求,A,点的竖向位移,。,分析：,图（,b,）,图（,a,）,M,2),虚设,P=1,3),虚功方程,所以,1,）等效图（,b,）,18,例题,3,三铰刚架，支座,B,发生如图所示的位移,a=5cm,b=3cm,l,=6m,h,=5m,。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角,A,。,-5,解：思路,:,沿拟求位移方向上,加单位力,（图,2,），求出支座反力后依求位移公式计算位移：,（图,1,）,（图,2,）,19,3.,局部变形时刚体体系的位移计算公式,图示悬臂梁,B,点附近的微段,ds,有局部变形,微段局部变形包括,平均剪切应变,轴线曲率为,k,轴向伸长应变,求,A,点沿 方向的位移分量,d,B,C,A,s,ds,C,1,A,1,d,思 路：,相对剪切位移,d,=,ds,相对转角,d,=,k,ds,=,ds/,R,相对轴向位移,d,ds,首先,d,l,g,ds,d,q,20,其次：将微段变形集中化，即,ds 0,B,截面发生集中的相对位移,d,、,d,、,d,最后：应用刚体虚功原理，得,或,虚设单位力在截面,B,处引,起的弯矩、剪力、轴力,B,A,P=,1,局部变形的位,移计算公式,21,4-3,变形体结构位移计算一般公式,其中 -虚拟单位力下的弯距、轴力、,剪力和反力,-实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应,变、平均剪切应变和支座位移,一、公式,支座位移,22,分析，见图,(a),求结构上任一点,C,沿指定方向,K-K,上,的分位移,(1),可按常规计算方法，,但计算工作麻烦。,(2),利用虚功原理，,结构有变形又要有力系。,23,求结构变形，须有平衡力系,虚功原理中，,作功力系与位移可以彼此无关，,二者之一可以虚设,。,见图,(b),状态,II,表示虚拟状态，沿,K-K,方向作用,虚拟力引起的内力为,求,24,(1),先设刚架处于,II,：,内力，外力满足平衡条件,(2),再设其产生,I,的位移：,即，将结构的实际位移作为,状态,II,的虚位移,根据虚功原理和 得：,25,，,，,26,此即为由虚功原理得到的,计算结构位移的一般公式,(,称单位载荷法,),它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相对位移。,虚拟状态中的,单位力,为所计算,位移相应的广义力,。,27,二、变形体位移计算的步骤：,1,、沿拟求位移,方向虚设相应的单位荷载,3,、利用公式计算拟求位移,注：,1,、,是广义位移,2,、应用单位荷载法每次只能求得一个位移,3,、虚拟单位力的指向可任意假定，求出结果为正表明,实际位移方向与虚拟单位力的方向一致，否则相反,2,、确定单位荷载下的结构内力,M,、,N,、,Q,和支反力,R,28,三、几种类型的虚拟状态,求线位移：,沿拟求位移方向上施加相应的单位力。,29,求转角、相对转角：,沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。,30,若求结构上,C,点的竖向位移，可在该点沿所求位移方向加一单位力，如图示,31,2),若求结构上截面,A,的角位移，可在截面处加一单位力偶。,若求桁架中,AB,杆的角位移，应加,一单位力偶，构成这一力偶的两个,集中力的值取,1/,d,。作用于杆端,且垂直于杆,(,d,为杆长,),。,32,3),若要求结构上两点,(A,、,B),沿其连线的相对位移，可在该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。,33,4),若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截面上加两个方向相反的单位力偶。,34,4-4,荷载作用下的位移计算及举例,一、荷载作用下内力和变形的关系,35,式 中,M,F,N,F,Q,是实际荷载引起的内力,以使微段顺时针转动为正,36,1）梁和刚架,2）桁架,3）桁梁混合结构,4）拱,二、各类结构的位移公式,37,三、位移计算举例,例题,1,试求图示刚架,A,点的竖向位移,AV,。各杆材料相同，截面抗弯模量为,EI,。,38,解：（,1,）在,A,点加一单位力，建立坐标系如（图,2,）示，写出弯矩表达式,AB,段：,BC,段：,（,2,）荷载作用下（图,1,）的弯矩表达式,AB,段：,BC,段：,（,3,）将以上弯矩表达式代入求位移公式,39,例,2,，计算图示刚架,C,端的水平位移和角位移,已知,EI,为常数。,40,解：在载荷作用下，,刚架的 图如图所示，,状态,I,AB,柱,BC,梁,41,求,C,点的水平位移，可在,C,点加一单位力,得状态,II,，,图,BC,梁,AB,柱,状态,II,代入位移公式，得：,42,求,C,点的角位移，,可在,C,点加一单位弯矩,如图示,.,其计算方法与,(1),相同,43,例,2.,计算桁架结点,C,的竖向位移，设各杆,EA,都相同。,解,1),、分析内力：,本问题因为桁架与载荷均对称，,所有只需计算,一半桁架的内力,。,A,B,D,E,44,利用体系,整体平衡,关系，得：,支座反力,利用,结点法,，取,A,点分析,由,A,点的,Y,方向平衡得：,A,B,D,E,45,利用三角形关系,A,点,X,方向平衡,得：,(,拉力,),A,B,D,E,(,压力,),同理,46,A,B,D,E,取,D,点分析,D,点,X,方向平衡,(,压力,),显然,DC,杆的杆力为,零,。,47,2),、计算位移,C,点加一单位力,P,1,由位移公式：,为正值表示，,C,处的位移与虚拟力的方向相同。,48,例题,3,试求图示桁架,C,点的竖向位移,CV,。各杆材料相,同，截面抗拉压模量为,图,(a),图,(b),解（,1,）在,C,点加一单位力，作桁架内力图,.,如图,(b),示,.,（,2,）作出荷载作用下的桁架内力图,如图,(a),示,.,49,（,3,）将,N,K,、,N,P,代入求位移公式,50,例题,3,试求图示半径为,R,的圆弧形曲梁,B,点的竖向位移,BV,。梁的抗弯刚度,EI,为常数。,51,解（,1,）在,B,点加一单位力，写出单位力作用下的弯矩表达式,（,2,）写出单位力作用下的弯矩表达式,（,3,）将,M,K,、,M,P,代入求位移公式,52,练习题：试求图示连续梁,C,点的竖向位移,CV,和,A,截面的转角,A,截面抗弯模量为,EI,。,P,C,B,A,l/2,l/2,答案：,C,B,A,l/2,l/2,M,答案：,(1),(2),53,实际荷载,虚设单位荷载,3）求位移,(3)试求所示悬臂梁在,A,端的竖向位移,解：,1）虚设单位荷载如图(,b),2）,求内力表达式,讨论:,54,解：,0.5,0.5,0,0,1.5,-1.58,1.5,-1.58,(4)求所示桁架顶点,C,的竖向位移,。,55,2）求,1.5,1.5,4.50,-4.74,3.00,-4.42,-0.95,1.50,3）求,56,(5)求,B,点的竖向位移。,57,4-5,图 乘 法,Method of graph multification,一、图乘法得引入,二、图乘法适用条件及公式推导,1,、适用条件,积分,可通过,M,、,M,P,两图相乘,的方法求得.,1,）、杆件为,等截面直杆,。,2,）、,EI,为常数,。,3,）、,M,、,M,P,图形中,至少有一个为直线图形,。,58,2,、公式推导,结论：,在满足前述条件下，积分式 之值等于某一图形 面积,乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵,距,y,0,再除以,EI,。,y,x,o,y,y,c,dx,d,M,P,(x),M,(,x,),x,x,c,B,A,此即位,图乘法的公式,积分问题,转化为,求内力图的,面积、形心、和竖标,的问题,59,3,、使用乘法时应注意的问题,1,）、适用条件必须满足，缺一不可。,2,),、正负号规则：,面积,与标距,y,0,在杆件同侧，乘积为正；否则为负。,a,）杆件是等截面直杆，即,EI,常数,b,）两内力图中至少有一个是直线,c,）纵距,y,0,只能从直线图中取得,.,60,4,、几种常见图形的,面积和形心,位置,61,三、使用乘法时应注意的问题,M,图,M,P,图,P,y,o,1,、,y,o,必须取自直线图形,62,M,图,M,P,图,1,y,1,2,y,2,2,、,当,M,为折线,图形时,，,必须,分段,计算,63,M,图,M,P,图,3,、,当杆件为,变截面,时亦应,分段,计算,1,y,1,2,y,2,64,M,P,图,M,图,4,、,图乘有,正负,之分,：,弯矩图在杆轴线,同侧取正号；,异侧取负号。,P,y,o,P,y,o,65,M,图,M,P,图,5,、,若两个图形,均为直线图形时，,则面积、纵标可,任意,分别,取自两图形,2,y,2,1,y,1,66,6,、,图乘时，可将弯矩图,分解为简单图形，按叠加法,分别图乘,l,y,1,y,2,1,y,3,y,4,2,a,b,c,d,M,P,图,M,图,67,M,图,M,P,图,a,c,d,l,a,l,68,使用乘法时应注意的问题小结：,1,、,y,o,必须取自直线图形；,2,、当,M,为折线,图形时,，必须分段,计算；,3,、当杆件为,变截面时亦应分段,计算；,4,、,图乘有正负,之分,；,5,、若两个图形,均为直线图形时，,则面积、纵标可,任,意,分别取自两图形；,6,、,图乘时，,可将弯矩图,分解为简单图形，按叠加法,分别图乘；,7,、,三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须,牢记。,69,5、举例,解：,1）作,M,p,图,2）作 图,3）求,(a),1,70,解：,1）作,M,p,图,2）作 图,3）求,例2 图示为一悬臂梁，在,A,点作用集中荷载,F,p,。试求,中点,C,的挠度,CV,71,w,1,w,2,w,3,解：,1）作,M,p,图,2）作 图,3）求,例3 试求下列图示刚架结点,B,的水平位移,BH,。各杆截面,为矩形,bh,惯性矩相等。只考虑弯曲变形的影响。,72,解：（,1,）绘,M,p,图,例题 试求左图所示刚架,C,点的竖向位移,CV,和转角,C,。各杆材料相同，截面抗弯模量为,:,（,2,）,求,C,点的竖向位移，在,C,处加一单位力，绘,M,1,图,M,p,图,M,1,图,73,(3),求,C,点的转角,在,C,处加一单位力偶，绘出（,M,2,图）,M,p,图,M,2,图,74,6-5,温度作用时的位移计算,一、由于温度改变引起的位移,静定结构温度改变并不引起内力，变形和位移,是材料自由膨胀、收缩的结果。,杆件的微段,h,1,、,h,2,分别为轴至上、下边缘的距离,75,上边缘温度上升,下边缘温度上升,沿杆截面厚度为线性分布，,轴线温度,上下温差,76,轴线温度：,上下边缘的温差：,曲率：,伸长应变：,线膨胀系数,d,77,由位移计算公式：,若 沿每一杆件的全长为常数，则：,以温度升高为正，弯矩 和温差 引起的,弯矩为同一方向时，其乘积取正，反之取负。,式中,:,78,例：试求右图，,a,所示刚架,C,点的,水平位移,。,已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上,升,10C,，刚架各杆的截面相同且与形心轴对,称，线膨胀系数为,。,解：在,C,点沿水平方向,加一单位力,P,1,。,79,作出相应的 、图。并有：,轴向上的温度上升值。,80,式中,h,为截面高度。所得结果为正值，表示,C,点位移,与单位力方向相同。,杆件由于温度改变而发生的弯曲变形，,该变形与由于 所产生的弯曲变形方向相同,(,如图虚线所示,),，,81,应用条件：,线,性,小,变形体系,1、功的互等定理,4-7,互等定理,82,功的互等定理：,在任一线形变形体系中,第一状态外力在第二状态位移上所作的功等于第二状态,外力在第一状态位移上所作的功，即,83,2、位移互等定理,位移影响系数,如果作用在体系上的力是单位力，则在第一个单位力方向上，,由于第二个单位力所引起的位移等于第二个单位力方向上，,由于第一个单位力所引起的位移。,84,3、反力互等定理,反力影响系数,如果结构支座发生的是单位位移，则支座,1,由于支座,2,的单位位移所引起的反力,r12,等于支座,2,由于支座,1,的单位位移所引起的反力,r21,。,4、位移、反力互等定理（自学）,85,要求,1 熟练写出位移计算一般公式及其各符号含义，并理解公式推导过程,2 熟练掌握静定结构位移计算方法。,积分法,图乘法,（应用条件、计算步骤、注意事项）,刚架、梁、桁架和组合结构的位移计算,3 互等定理,6,8,小 结,86,4、习题,一、判断题,1）计 算 组 合 结 构 的 位 移 时 可 以 只 考 虑 弯 曲 变 形 的 影 响，即。（）,2）静 定 结 构 的 内 力 计 算，可 不 考 虑 变 形 条 件。（）,3）静定结构在温度变化、支座移动等影响下，不仅产生变形，同时产生内力。（）,4）静定结构在荷载作用下，产生的位移大小与该结构的各杆,EI,的相对值有关。（）,87,5）,求 图 示 结 构,A,点 竖 向 位 移 可 用 图 乘 法。（）,6）静 定 结 构，在 支 座 移 动 作 用 下，有 位 移、有 内 力 产 生。（）,88,二、选择题,1）求 图 示 梁 铰,C,左 侧 截 面 的 转 角 时，其 虚 拟 状 态 应 取（）,89,2）图 示 结 构（,EI,=,常 数）,受 荷 载,P,及 支 座 移 动 的 共 同 作 用，,A,端 的 弯 矩,M,A,等 于：,A.,Pl,+3,EIa,/4(,上 侧 受 拉）;,B.,Pl+EIa,/3(,上 侧 受 拉）;,C.,Pl,/2+3,EIa,/4(,下 侧 受 拉）;,D.,Pl,/2(,下 侧 受 拉）。(),90,3）图 示 结 构 的 两 个 状 态，位 移 互 等 ，和 的量 纲 为：,A.,长 度；,B.,无 量 纲；,C.,长 度/力；,D.,力/长 度。（）,状 态(1),状 态(2),91,4）图 示 梁,A,点 的 竖 向 位 移 为（向 下 为 正）：,A.;,B.;,C.;,D.。(),92,5）图 示 结 构,EI,=,常 数，刚 结 点,C,的 角 位 移 为：,A.（,顺 时 针）；,B.（,顺 时 针）；,C.（,顺 时 针）；,D.。（）,93,三、填空题,1）结 构 位 移 计 算 的 两 个 主 要 目 的 是_ 和 _。,3）结构位移计算的理论基础是_原理,4）图 示 桁 架 仅 上 弦 各 杆 温 度 增 高,材 料 的 线 膨 胀 系 数 为,，,则,A,点 的 水 平 位 移 为：_。,2）应 用 图 乘 法 求 杆 件 结 构 的 位 移 时，各图乘的杆段必 须 满 足 如 下 三 个 条 件：,(,a),;(b),;(c),。,94,四、试绘制图示结构内力图。,P/2,P/2,P,a,a,a,a,a/2,a/2,P,pa,2KN,16kN/m,2kN/m,8kN,30kN,30kN,3kN/m,5m,5m,10m,10m,10m,m,m,a,2a,2a,a,五、试绘制图示结构弯矩图。,2m,2m,2m,2m,95,P/2,P/2,P,a,a,a,Pa/2,Pa/2,Pa/2,Pa/2,P/2,P/2,P/2,P/2,P/2,P/2,M,图,Q,图,N,图,a,a/2,a/2,P,pa,P,2P,2P,2pa,1.5pa,0.5pa,2P,P,2P,M,图,Q,图,N,图,2pa,96,a/2,a/2,a/2,2KN,16kN/m,2kN/m,8kN,a/2,20,36,12,1,26,13kN,5kN,6kN,2,6,5,13,13,5,M(kN.m),Q(kN),N(kn),30kN,30kN,3kN/m,5m,5m,10m,10m,10m,450,75,150,37.5,M(kN.m),m,m,a,2a,2a,a,1.5m,3m,m,M,图,7.5kN,37.5kN,0.5m/a,1.5m/a,2m/a,3m,97,六、试求图示桁架指定截面之内力。,1,2,3,4,P,P,P,P,1,2,3,4,P,a,a,2a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,2a,1,2,3,a,a,98,A,B,C,D,P,P,0,E,1,1,（,1,）作,1-1,截面，研究其左半部：,（,2,）研究结点,D,：,（,3,）研究结点,E,：,K,99,A,B,C,P,P,0,3,3,（,1,）作,1-1,截面，研究其右半部：,（,3,）研究结点,C,：,1,1,2,2,D,n,0,0,0,0,0,（,2,）作,2-2,截面，研究其右半部：,作,3-3,截面，研究其左半部：,100,（,2,）作,1-1,截面，研究其右半部：,（,1,）研究结点,A,：,（,3,）研究结点,C,：,（,4,）研究结点,G,：,101,七、试求图示结构,A,点的竖向位移。,q,a,B,A,EI,八、试求图示结构,B,点的水平位移。,P,a,a,a,P=1,P=1,EI,EI,EI,A,B,102,本章结束,Thank you!,103,