构建数理桥梁 活跃科学思维——例谈微积分在高中物理中的应用.pdf

构建数理桥梁 活跃科学思维 例谈微积分在高中物理中的应用郭桂泽柯尊淦(佛山市第一中学广东 佛山 )(收稿日期:)摘要:着眼于模型构建、科学推理、科学论证和质疑创新等科学思维要素,应用数学微积分方法分析物理问题,进一步构建物理和数学之间的桥梁,让学生体会微积分在推导物理结论、求解物理问题,甚至在检验命题数据是否严谨等方面的独特魅力,从而活跃学生的科学思维,提升学生的迁移能力和学科素养关键词:微积分;交流电;电磁感应;科学思维;迁移能力教育部考试中心研制的 中国高考评价体系由“一核”“四层”“四翼”部分内容组成(图)其中,“一核”是高考的核心功能,即“立德树人、服务选才、引导教学”,回答“为什么考”的问题;“四层”为高考的考查内容,即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”,回答“考什么”的问题;“四翼”为高考的考查要求,即“基础性、综合性、应用性、创新性”,回答“怎么考”的问题图“一核”“四层”“四翼”内容组成科学思维作为学科素养中重要的二级指标,是指采用严谨求真的、实证性的逻辑思维方式应对各种问题运用抽象与联想、归纳与概括、推演与计算、模型与建模等思维方法来组织、调动相关的知识与能力,解决生活实践或学习探索情境中的各种问题它包含模型建构、科学推理、科学论证、质疑创新等个要素微积分是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用学生在高中数学课堂中会初步学习微积分知识,然而很多学生学完之后觉得好像用处不大,或者不知道如何做到学以致用笔者认为,数学是表达物理规律的重要工具,而物理是数学在实际情境中应用的重要基础学生对于这两者之间联系的认识不应只是停留在“数学主要是给物理量赋值,只有在代入数据求解时才会用到数学”其实,在物理学习过程中经常可以接触到微积分的思想,如求解瞬时速度时可以应用极限思想,理解加速度定义式可以利用导数知识,求解变力做功时可以应用微元法和积分法等等以下是笔者在物理教学实践中应用微积分的个案例利用微积分推导物理结论在高中物理教材中,关于正弦式交流电的有效值,一般都会这样描述“理论推导表明:正弦式电流的电动势、电流和电压的有效值与峰值之的关系如下UUm,IIm”教学过程中,往往教师也会告诉学生,这个推导过程要用到微积分,学生一听,觉得推导过程会很难,甚至觉得自己在数学课堂所学习的微积分知识 年第期物理通报中学物理教学广东省中小学“百千万人才培养工程”专项科研项目“高中物理促进学生科学思维发展的专题教学研究”阶段性成果,项目编号:B QW J G L 很难在物理学习过程中应用其实,教师可以将推导过程适当简化后,让学生课后也尝试推导一次,这样既能让学生更深刻地体会到数学作为物理学习的工具,确实有其魅力所在,也能让学生更好地构建数学和物理之间的桥梁,活跃学生的科学思维【例】若交流电uUms i nt(r a d/s,T s)加载在一个阻值为R的电阻上,直流电U加载在另一个阻值为R的电阻上,两电阻在时间T s内产生的电热均为Q,试推导UUm推理论证:()若用直流电U加载在R上,时间T内产热为QURTUR()若用交流电u加载在R上,电流瞬时值iUmRs i nt在dt时间内产热dQiRdtUmRs i ntRdtUmRs i ntdt在一个周期T内R产生的电热为QTdQUmRs i ntdtUmRs i ntdtUmR(c o st)dtUmR(c o st)dtUmR dtc o stdt()UmRt|s i nt|UmR()s i n s i nUmR令UR UmR解得UUm评价反思:笔者根据交流电电压有效值的定义建构模型、命制此例题,对交流电的表达式进行简化,以降低推导过程中使用微积分知识的难度尽管如此,对于高中学生而言,本题中的原函数求解仍然是有一定难度的,若想让学生亲自动手推导,不防在此例题之前,先让学生回顾一下三角函数的半角公式,并求一下s i nt的导数,搭建相关知识台阶,这样学生的思路才能更加顺畅,增强“跳一跳就能摘到苹果”的信心利用微积分求解物理问题【例】一台发电机在产生正弦式电流,其外电路只有一个阻值为k 的电阻元件R已知该发电机电动势的峰值Em V,线圈匀速转动的角速度 r a d/s,且线圈内阻不计若从如图所示位置开始计时,线圈转过 的过程中,通过R的电荷量q为多少?图例题图解法一:(利用法拉第电磁感应定律求解)线圈转过 ,则磁通量变化量B S通过R的电荷量qI t又IEtEntEmn B S 解得qEm R C解法二:(以时间t为积分变量,利用积分求解)该发电机产生的电动势瞬时值e c o s t由ieR得通过R的电流瞬时值i c o s t设线圈转动周期为T,则线圈转过 的时间为tTT 则通过的电荷量 年第期物理通报中学物理教学qtidtt c o s tdt s i n t|t C解法三:(以转过角度为积分变量,利用积分求解)该发电机产生的电动势瞬时值e c o s t由ieR得通过R的电流瞬时值i c o s t设线圈转动角度为,则 t t线圈转过 时则d dt,即dt d则通过的电荷量qtidtt c o s tdt c o s d s i n|C评价反思:解法一是高中阶段解决此类题目的最常用解法,结合磁通量变化量和感应电动势最大值等概念,巧妙运用法拉第电磁感应定律进行求解,比较符合高中学生的知识水平和认知水平解法二需结合复合函数求导公式来求解原函数,对于初学微积分知识的学生来说,求解难度偏大解法三需结合微分运算对积分参量进行转换,但相比解法二而言,因省去结合复合函数求导公式来求解原函数的过程,可以在一定程度上降低出错率在解法二和解法三的求解过程中,我们不难发现,只需使用欧姆定律这一简单的物理规律,结合微积分等数学知识来求解物理问题这样既能帮助学生进一步认识微积分等数学知识在物理问题中的意义和价值,又能让学生体会物理问题解决的多样性和统一性,能够在一定程度上达到发散学生思维,培养创新意识利用微积分检验命题数据【例】如图所示,足够长的光滑平行金属导轨MN、P Q竖直放置,其宽度Lm,一匀强磁场垂直穿过导轨平面,导轨的上端M与P之间连接阻值为R 的电阻,质量为m k g、电阻为r 的金属棒a b紧贴在导轨上现使金属棒a b由静止开始下滑,下滑过程中a b始终保持水平,且与导轨接触良好,其下滑距离x与时间t的关系如图所示,图像中的O A段为曲线,A B段为直线,导轨电阻不计,g m/s(忽略a b棒运动过程中对原磁场的影响),试求:()当t s时,重力对金属棒a b做功的功率()金属棒a b在开始运动的 s内,电阻R上产生的热量()磁感应强度B的大小图例题图图x t关系图求解过程:()由x t图可知 s时金属棒a b的速度vAxA BtA B m/sm/s重力对金属棒a b做功的功率 年第期物理通报中学物理教学Pm g vA W()根据能量守恒定律得m g xA BmvQ总电阻R上产生的热量QRRRrQ总代入数据,解得QR J()金属棒a b匀速运动时有B I Lm g又IERrEB L v代入数据,解得B T评价反思:此题是一道非常经典且热门的电磁感应试题,据笔者了解,在最近的 多年间,频频出现在全国各地的高三模拟卷或高二测试卷中,如 年北京市海淀区二模、年大连市模拟、年滨州市一模、年 郴州市一 模、年 如 皋 市 校 级 一模等笔者本想在此题后面增设第()问“求金属棒a b在开始运动的 s内,通过电阻R的电荷量q”,然后给学生练习然而,笔者却发现:采用不同的方法(以下的解法一和解法二)进行科学推理时,结果竟然是不同的!求解过程如下解法一:在 s内平均感应电动势EtB LxA BtA B电路中的平均电流IERr通过R的电荷量qI tA B代入数据,解得qC解法二:在 s内,对金属棒a b有m g tO ABI LtO AmvAm g tO AB L qmvA代入数据,解得q C(与解法一结果不同)评价反思:笔者利用微积分进行科学论证(详见以下的解法三),发现此题其实隐藏着一个鲜为人知的错误 x t图像数据不准确虽然题中的x t图对第()、()、()问的求解都没有影响,但是图像始终是错误的,命题是不严谨的解法三:利用微积分进行数据检验在t时刻,金属棒a b受安培力FtB i L又ieRreB L vt在 s内,对金属棒a b有m g tO A FtdtmvAm g tO A BB LvtRrLdtmvAm g tO ABLRr vtdtmvAm g tO ABLRrxO AmvA解得xO A(m g tO AmvA)(Rr)BL()代入数据可知:等式不成立,数据出错最后,笔者也利用解法三的结论对x t图像进行修正,提出以下两种修正方法:修正法一:若令xO A m为准确值,将数据代入式(),可知tO A s,tO B s,修正时间轴的两个坐标值即可修正法二:若令tO A s为准确值,将数据代入式(),可知xO A m,xO B m,修正位移轴的两个坐标值即可结束语在以上教学实践案例中,笔者适当将学生学过的数学知识和物理规律进行联系,构建数理桥梁,引导学生进行知识迁移能力训练,让学生体会微积分在推导物理结论、求解物理问题,甚至在检验命题数据是否严谨等方面的独特魅力,旨在活跃学生的科学思维,启发学生形成“学而有用、学以致用、用而有效”的学习观念,提升学生的学科素养参 考 文 献教育部考试中心中国高考评价体系M北京:人民教育出版社,:教育部考试中心中国高考评价体系M北京:人民教育出版社,:王娟高中物理关于微积分的教与学J数理化解题研究,():王彦芸高中物理教学中引入微积分方法的必要性J教育教学论坛,():年第期物理通报中学物理教学