[教学设计]二次根式的乘法.doc

二次根式的乘法(1)
教学目标
　　1.使学生理解积的算术平方根的性质，并会运用这一性质化简被开方数不含分母的二次根式；
　　2.理解式子a2=a(a≥0)，并运用它化简被开方数含字母的二次根式；　
　　3.培养学生从特殊到一般的思维方法.
教学重点和难点
　　重点：运用积的算术平方根的性质化简二次根式.
　　难点：二次根式的化简.
教学过程设计
　　一、复习
　　1.把下列各数分解因数，并把相同的因数写成幂的形式.(要求幂指数是2)
　　 　　　　　　　　8，18，32，72，75，125，200.
　　答：8=2×22;　　18=2×32;　　32=2×42;　　72=2×62;
　　75=3×52;　　125=5×52;　　200=2×102.
　　2.计算：
　　(1)4×9；　　(2)4×9；　　(3)4×25；　　(4)4×25；
　　(5)9×16；　　(6)9×16；　　(7)100×0.01；　　(8)100×0.01.
　　答：(1)4×9=36=6;　　(2)4×9=2×3=6;　　
　　(3)4×25=100=10;　　(4)2×25=2×5=10;
　　(5)9×16=144=12;　　(6)9×16=3×4=12;
　　(7)100×0.01=1;　　(8)100×0.01=10×0.1=1.
　　问：从计算到结果中你发现了什么规律?
　　答：(1)与(2)，(3)与(4)，(5)与(6)，(7)与(8)的运算结果分别相等.
　　二、新课
　　把上面的计算归纳出成一般的表达式
　　　　　　　　ab=a·b(a≥0，b≥0).
　　这就是说，两个非负数的积和算术平方根，等于这两个负非数的算术平方根的积.
　　对于两个以上的非负数，上面的结论也成立，因此二次根式积和算术平方根的性质可概
括为：
　　积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，各因式必须是非负数.
　　我们可以运用这一性质化简二次根式.
　　例1 化简：
　　(1)16×18;　　　　(2)2000;　　(3)108.
　　分析：把被开方数分解因数，利用二次根式的性质ab=a·b，把能开得尽方的数移到根号外面.
　　解 (1)16×81=16×81=4×9=36;
　　 (2)2000=4×100×5=4×100×5=2×105=1205.
　　　 (3)108=4×9×3=4×9×3=2×3×3=63.
　　计算：
　　(1)22；　　(2)32；　　(3)42；　　(4)52；　　
　　(5)(0.1)2；　　(6)(35)2；　　(7)(67)2；　　(8)(0.02)2.
　　答：
　　(1)22=2;　　(2)32=3;　　(3)42=4;
　　(4)52=5;　　(5)(0.1)2=0.1;　　(6)(35)2=35;
　　(7)(67)2=67;　　(8)(0.02)2=0.02.
　　我们得到二次根式的一个关系式
　　　　　　　　　　　　a2=a(a≥0).
　　利用这个关系式，可以把根号内的平方数或平方式移到根号外面.
　　例2 化简：
　　(1)4a2b3=(a≥0);　　(2)x4+x2y2(x≥0);　　(3)x4+2x3y+x2y2(x≥0,x+y≥0).
　　分析：第(2)题和第(3)题的被开方数是多项式，首先把每个多项式分解为因式乘积形式，再运用积的算术平方根的性质及关系式a2=a(a≥0)化简.
　　　　解 (1)4a2b2=4·a2·b2·b=2abb.
　　　　(2)x4+x2y2=x2(x2+y2)=x2·x2+y2=x(x2+y2).
　　　　(3)x4+2x3y2+x2y2=x2(x2+2xy+y2)
　　　　　=x2(x+y)2=x2·(x+y)2
　　　　　=x(x+y)=x2+xy.
　　指出：
　　1.在题(2)中，被开方数含有因式x2+y2 ，不是完全平方分式，所以不能开平方.
　　2.今后，在含字母的二次根式中，未加特别说明时，字母一般表示正数.
　　例3 如图，在△ABC中，∠C=90° AC=10cm,BC=24cm,求AB.
　 分析：在直角三角形中，已知两条直角边的长，运用勾股定理，可以求出斜边的长.
　　因为直角三角形的边长都是正数，所以AB的值取正值.
　　解 因为△ABC的是直角三角形，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2，
　　所以 AB=AC2+BC2=102+242=22×52+22×122
　　　　　=22(52+122)=22×132×=2×13=26(cm).
　　答：AB长为26cm.
　　指出：在计算102+242时，这避免较大数的乘方和开方运算，可运用分解因式的技巧简化运算.
　　三、课堂练习
　　1.填空：
　　(1)mn=m·n成立的条件是；
　　(2)x2－16=x－4·x+4 成立的条件是 ；
　　(3)（a+1）b=a+1·b成立的条件是；
　　2.化简：
　　(1)27；　　(2)48；　　(3)54；　　
　　(4)80；　　(5)96；　　(6)200；　　
　　(7)(－15)2；　　(8)[－(0.02)22.
3．化简。
（1）49×121； （2）27×15；
（3）4y3； (4)8m2n3；
（5）16ab2c3 (6)6x3+8x2y
(7)(a-b)2(a＜b) (8)9x3y2-9x2y3
四、小结
　　1.积的算术平方根的性质ab=a·b成立的条件是a≥0，b≥0.
　　2.化简二次根式的步骤是：
　　(1)把被开方数分解因式(或因数)，使其变成因式(或因数)积的形式；
　　(2)应用积的算术平方根的性质把各因式(或因数)积和算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
　　(3)如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a2=a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简；
(4)化简的最后结果，应使二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)的指数都小于2.
　　五、作业
　　1.把下列各数分解因数：
　　(1)28；　　(2)40；　　(3)216；　　(4)450.
　　2.化简：
　　(1)4×49；　　(2)36×256；　　(3)36x2;
　　(4)0.81×0.49;　　(5)9×16×169;　　(6)a2(b+c)2.
　　3.化简：
　　(1)56×3;　　(2)32×43×5;　　(3)34a3b2c;
　　(4)132－122;　　(5)12x3;　　(6)ab2(c+1)2;
　　(7)(－2)4a5b3;　　(8)a4+a2+14.
　　4.设直角三角形的两条直角边分别是a,b斜边是c.　　
　　(1)如果a=6，b=9,求c;　　(2)如果a=4,c=12，求b；
　　(3)如果c=15,b=10，求a；
　　(此题的结果可以用二次根式表示，不必求出近似值.)
　　5.设正方形的边长是a,面积是S，
　　(1)如果S=150cm2，求a；　　(2)如果S=242cm2，求a.