广东省连州市连州中学2013届高三数学8月月考试题-文.doc

连州中学2013届高三8月月考数学文试题

本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡（卷）上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
参考公式：
1. 锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
2. 一组数据x1，x2，…，xn的方差，其中表示这组数据的平均数。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设i为虚数单位，则复数的虚部是
A. B. C. D.
2.设集合，，则=
A. B. C. D.U
3.若向量，，则
A. B. C. D.
4．给出两个命题：：的充要条件是为非负实数；：奇函数的图像一定关于原点对称，则假命题是
A．或　　　　　Ｂ． 且　 　　　C．﹁且 　　　D．﹁或
5.已知变量x，y满足约束条件 则z=x+2y的最大值为
A． B. C. D.
6.在中，若=°, ∠B=°，BC=，则AC=
A．4 B. 2 C. D.
7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

A． B.
C. D.

8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与
圆+=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于
A．3 B. 2
C. D.

9．执行如图2所示的程序图，若输入n的值为6，则输出s的值为

A． B．
C． D．

10．对任意两个非零的平面向量和，定义.
若两个非零的平面向量，满足与的夹角，
且和都在集合中，则
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11~13题）
11.函数的定义域为 .
12.若等比数列{an}满足则 .
13.由正整数组成的一组数据其平均数是，且方差等于，则的值分别为 .
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 与 的交点的直角坐标为___ ___。
15．（几何证明选讲选做题）如图3, 已知圆的半径为，从圆
外一点引切线和割线，圆心到的距离为
，，则切线的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的最大值与最小正周期；
（2）求的单调递增区间.

17.（本小题满分12分）
某年级抽取了100名学生某次考试的数学成绩，
画出频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区
间是：， ，，，
.

（1）求图中的值，并求这10 0名学生中
数学成绩优秀的人数（80分及以上为优秀）；
（2） 若60分及以上为及格，估计从及格的学生中抽取一位学生分数为优秀的概率。

18．（本小题满分14分）
如图5，在长方体中为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．

19.（本小题满分14分）
已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和.
（1）求通项及；
（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其
前项和.

20.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且离心率
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.

21.（本小题满分14分）已知，，，是常数．
（1）求曲线在点处的切线．
（2）是否存在常数，使也是曲线的一条切线．若存在，求的值；若不存在，简要说明理由．
（3）设，当≥0时，讨论函数的单调性．
连州中学2013届高三数学8月月考
数学（理科）参考答案及评分标准
一． 选择题：

二．填空题： (9); (10) 4 ; (11) 2 ; (12) ;
(13) ; (14) 1 ; (15)
三．解答题：
（2）解：因为…………………………………………6分
…………………………………………………7分
．…………………………………………………8分
所以，即． ①. ………………………………9分
因为， ②………………………………10分
由①、②解得．…………………………………………………………11分
因为，所以………………………………………………12分

…9分
所以的分布列为：

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P

[]

………………………………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………………………………………12分
解法二： 直三棱柱，底面三边长AC=3， BC=4，AB=5，
，且在平面ABC内的射影为BC，；….3分
AC，BC，两两垂直。……………………………………………4分
如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，…6分
（Ⅰ），，，……8分
（Ⅱ）设与和交点为E，连结。
，，
平面，平面，平面………………..11分
（Ⅲ），
异面直线与所成角的余弦值为………………………………14分
（2）解：假设存在常数，使得，即，所以M为AB的中点.
圆方程可化为，所以圆心M为（1，1）. …………………………6分
因为直线经过点M，所以直线的方程为.………………………………7分
由，消去得.………9分
因为点M（1，1）在椭圆的内部，所以恒有.……………………10分
设，则.-----------11分
因为M为AB的中点，所以，即，解得.…………13分
所以存在常数，使得.………………………………………14分令，则，
令，得（舍去）．………………………………………9分
当时，， ∴ 是减函数．…………………………11分

，即对一切成立，
又随n递增，且 ……………………12分
，， …………………14分

用心 爱心 专心