第9章-第8节.doc

第九章　第八节

1．(2014·福州质检)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)
A．抛物线　 B．双曲线
C．椭圆　　　 D．圆
解析：选A　设圆心C(x，y)，由题意得＝y＋1(y＞0)，化简得x2＝8y－8.故选A.
2．已知圆O：x2＋y2＝4，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上)，M在直线PP1上，且＝2，则动点M的轨迹方程是(　　)
A．4x2＋16y2＝1 B．16x2＋4y2＝1
C.＋＝1　　　　 D.＋＝1
解析：选D　由题意可知P是MP1的中点，设M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则
又x＋y＝4，故2＋y2＝4，即＋＝1.故选D.
3．已知向量a＝(x＋1，－ky)，b＝(y，x－1)，且a∥b，则点P(x，y)的轨迹不可能是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．抛物线　　　 D．双曲线
解析：选C　依题意得(x＋1)·(x－1)＋ky·y＝0，故x2＋ky2＝1，当k＝1时，点P(x，y)的轨迹为圆；当k＞0，且k≠1时，点P(x，y)的轨迹为椭圆；当k＜0时，点P(x，y)的轨迹为双曲线．故选C.
4．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2，且·＝1，则P点的轨迹方程是(　　)
A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
解析：选A　设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x ，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.又点Q(－x，y)，由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入上式，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．故选A.
5．(2014·郑州质检)已知A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为(　　)
A.＋y2＝1　　　　 B.＋＝1
C.＋y2＝1　　　　 D.＋＝1
解析：选A　设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P是线段AB的中点，∴.∵A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，∴y1＝x1，y2＝－x2.
∴.又|AB|＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12，∴12y2＋x2＝12，∴动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1.故选A.
6．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1　　　　 B.－＝1
C.－＝1　　　　 D.－＝1
解析：选B　设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意，知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则两式作差，得＝＝＝，又直线AB的斜率是＝1，所以＝1.将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，所以双曲线E的标准方程是－＝1.故选B.
7．(2012·湖南高考改编)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．则曲线C1的方程为________．
解析：y2＝20x　由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，其方程为y2＝20x.
8．已知点P是双曲线－y2＝1上的一个动点，F1，F2是双曲线的两个焦点，则△PF1F2的重心M的轨迹方程是________．
解析：x2－9y2＝1(y≠0)　设P，M两点的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，由题意知双曲线的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
∵△PF1F2存在，∴y1≠0，
∴即①
∵y1≠0，∴y≠0，
∵点P在双曲线上，将①式代入已知曲线方程得－(3y)2＝1(y≠0)，所以所求重心M的轨迹方程为x2－9y2＝1(y≠0).
9．(2014·银川一中模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的方程为________．
解析：x2－＝1　抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为直线x＝－2.
∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，
∴双曲线的右焦点坐标为F(2,0)，
∴双曲线的左焦点坐标为F′(－2,0)，
∵|PF|＝5，∴点P的横坐标为3，
代入抛物线y2＝8x，y＝±2.不妨设P(3,2)，
∴根据双曲线的定义|PF′|－|PF|＝2a，得出－5＝2a，
∴a＝1.∵c＝2，∴b2＝3，
∴双曲线方程为x2－＝1.
10．(2014·南昌模拟)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
解析：②③　因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；由题中条件易知曲线C的方程为·＝a2，显然若点(x0，y0)在曲线C上，则(－x0，－y0)必在C上，可知曲线C关于坐标原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2≤|PF1|·|PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．综上②③正确．
11．由抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R，求点R的轨迹方程．
解：设P(x1，y1)，R(x，y)，则Q，F，
∴OP的方程为y＝x，①
FQ的方程为y＝－y1.②
由①②得x1＝，y2＝，
代入y2＝2x，可得y2＝－2x2＋x.
∴点R的轨迹方程是y2＝－2x2＋x.
12．矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程；
(3)若动圆P过点N(－2,0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－3.
又因为点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.
(2)由
解得点A的坐标为(0，－2)，
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又|AM|＝＝2，
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
(3)因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径．
又因为动圆P与圆M外切，
所以|PM|＝|PN|＋2，
即|PM|－|PN|＝2.
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支．
因为a＝，c＝2，所以b＝＝.
从而动圆P的圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－).

1．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x　　　 D．y2＝8x
解析：选B　抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为F，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为·||||＝4，解得a＝±8.所以抛物线的方程为y2＝±8x.
2．(2014·山西师大附中月考)已知A、B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若 2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．抛物线　　　 D．双曲线
解析：选C　以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a,0)、B(a,0)，因为 2＝λ·，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ＝0时，是直线的轨迹方程．综上，方程不表示抛物线的方程．故选C.
3．如图，椭圆C0：＋＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．则直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程为________．

解析：－＝1(x＜－a，y＜0)
设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)．②
由①②得y2＝(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，
故＋＝1.从而y＝b2，代入③得－＝1(x＜－a，y＜0)．
4.

如图，在直角坐标系中，已知△PAB的周长为8，且点A、B的坐标分别为(－1,0)、(1,0)．
(1)试求顶点P的轨迹C1的方程；
(2)若动点P1(x1，y1)在曲线C1上，试求动点Q的轨迹C2的方程；
(3)过点C(3,0)作直线l与曲线C2相交于M、N两点，试探究是否存在直线l，使得点N恰好是线段CM的中点．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意可得顶点P满足|PA|＋|PB|＝6，
故顶点P的轨迹C1是以A、B为焦点的椭圆，但要除去椭圆的左、右两个顶点．椭圆的半焦距长c＝1，长半轴长a＝3，所以b2＝a2－c2＝8，
故轨迹C1的方程为＋＝1(x≠±3)．
(2)由题意，点P1(x1，y1)在曲线C1上，
故＋＝1(x1≠±3)．
设＝x，＝y，则x1＝3x，y1＝2y.
代入＋＝1(x1≠±3)，得x2＋y2＝1(x≠±1)，
所以动点Q的轨迹C2的方程为
x2＋y2＝1(x≠±1)．
(3)假设存在直线l，使得点N恰好是线段CM的中点，
设M(x2，y2)，x2≠±1，则x＋y＝1.①
因为点N恰好是线段CM的中点，所以N.
又点N在曲线C2上，所以2＋2＝1.②
联立①②，解得x2＝－1，y2＝0，与x2≠±1矛盾．故不存在满足题意的直线l.