广东省梅州市东山中学2012-2013学年高一数学下学期第一次质检试题(含解析)新人教A版.doc

2012-2013学年广东省梅州市东山中学高一（下）第一次质检数学试卷参考答案与试题解析

一、选择题．（50分）
1．（5分）在△ABC中，A=60°，，则B等于（　　）

A．
45°或135°
B．
135°
C．
45°
D．
30°

考点：
正弦定理．
专题：
计算题．
分析：
由A=60°，所给的条件是边及对的角，故考虑利用正弦定理，由正弦定理可得，，可得，结合大边对大角由a＞b 可得A＞B，从而可求B．
解答：
解：∵A=60°，
由正弦定理可得，
∴
∵a＞b∴A＞B
∴B=45°
故选：C
点评：
本题主要考查了在三角形中，所给的条件是边及对的角，可利用正弦定理进行解三角形，但利用正弦定理解三角形时所求的正弦，由正弦求角时会有两角，要注意利用大边对大角的运用．

2．（5分）三角形的两边AB、AC的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为，则三角形的第三边长为（　　）

A．
52
B．

C．
16
D．
4

考点：
余弦定理．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
直接利用余弦定理建立方程求出第三边的长即可．
解答：
解：由余弦定理BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，可得三角形的另一边长为：=2．
故选B．
点评：
本题主要考查余弦定理的应用，考查计算能力．

3．（5分）在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为（　　）

A．
20（1+）m
B．
20（1+）m
C．
10（+）m
D．
20（+）m

考点：
正弦定理的应用．
专题：
计算题；作图题；解三角形．
分析：
作出图形，解三角形即可．
解答：
解：依题意作图如下：AB=20m，仰角∠DAE=60°，俯角∠EAC=45°，
在等腰直角三角形ACE中，AE=EC=20m，
在直角三角形DAE中，∠DAE=60°，
∴DE=AEtan60°=20m，
∴塔高CD=（20+20）m．
故选B．

点评：
本题考查解三角形，着重考查作图能力，考查解直角三角形的能力，属于中档题．

4．（5分）数列，的一个通项公式是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
数列的概念及简单表示法．
专题：
计算题．
分析：
利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可．
解答：
解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴
故选B
点评：
本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律．

5．（5分）在数列{an}中，若，则a3=（　　）

A．
1
B．

C．
2
D．
1.5

考点：
数列递推式．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
利用递推关系式即可求出．
解答：
解：由题意可得：
=1+=2，
=1+==1.5．
故选D．
点评：
正确理解递推关系是解题的关键．

6．（5分）在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于（　　）

A．
30°
B．
60°
C．
90°
D．
120°

考点：
等差数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
根据三内角A、B、C成等差数列，得到2B=A+C，又A+B+C=180°，得到角B的三倍等于180°，求出角B的大小．
解答：
解：∵三内角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C
又A+B+C=180°，
∴3B=180°，
∴B=60°
故选B
点评：
本题看出等差数列的性质和三角形内角和的应用，本题解题的关键是利用等差数列的性质把三个角之间的关系整理出来，本题是一个基础题．

7．（5分）（2005•福建）已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是（　　）

A．
15
B．
30
C．
30
D．
64

考点：
等差数列．
专题：
计算题．
分析：
利用通项公式求出首项a1与公差d，或利用等差数列的性质求解．
解答：
解：解法1：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a7+a9=a1+6d+a1+8d=2a1+14d=16 ①；
a4=a1+3d=1 ②；
由①﹣②得a1+11d=15，
即a12=15．解法2：由等差数列的性质得，a7+a9=a4+a12，
∵a7+a9=16，a4=1，
∴a12=a7+a9﹣a4=15．
故选A．
点评：
解法1用到了基本量a1与d，还用到了整体代入思想；
解法2应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq．
特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap．

8．（5分）等差数列﹣5，﹣2，1，…的前20项的和为（　　）

A．
450
B．
470
C．
490
D．
510

考点：
等差数列的前n项和．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由题意可得公差为3，代入求和公式计算可得答案．
解答：
解：由题意可得数列的公差d=﹣2﹣（﹣5）=3，
由等差数列的求和公式可得：
数列的前20项的和S20=20×（﹣5）+=470
故选B
点评：
本题考查等差数列的前n项和，属基础题．

9．（5分）在等比数列{an}中，已知首项为，末项为，公比为，则此等比数列的项数是（　　）

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6

考点：
等比数列的通项公式．
专题：
计算题．
分析：
设此等比数列的项数是n，由题意可得 =×，解得此等比数列的项数n的值．
解答：
解：在等比数列{an }中，已知首项为，末项为公比为，设此等比数列的项数是n，
由等比数列的通项公式可得，=×，
∴=，解得 n=3，
故选 A．
点评：
本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．

10．（5分）等比数列{an}中，若a1+a2=20，a3+a4=40，则a5+a6=（　　）

A．
2
B．
40
C．
80
D．
120

考点：
等比数列的通项公式；等比数列．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由已知式子可得q2=2，而a5+a6=（a3+a4）•q2，计算即可．
解答：
解：设等比数列{an}的公比为q，
则a3+a4=（a1+a2）•q2=40，解得q2=2，
故a5+a6=（a3+a4）•q2=40×2=80
故选C
点评：
本题考查等比数列的通项公式，整体代入是解决问题的关键，属基础题．

二、填空题．（20分）
11．（5分）下列数列既是递增数列，又是无穷数列的有　（4）　．（填题号）
（1）1，2，3，…，20；
（2）﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n，…；
（3）1，2，3，2，5，6，…；
（4）﹣1，0，1，2，…，100，…

考点：
等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题：
阅读型；等差数列与等比数列．
分析：
要找既是无穷数列必须是项数无限的数列，又是递增数列必须是后一项总比前一项大的数列．依据这一标准从四个答案中判断正确选项即可．
解答：
解：而（1）选项中的数列是有穷数列，不满足题意
（2）中数列的项递减数列；
（3）中数列的项摆动的，不是递增的；
而（4）中的数列是递增数列，满足所有条件．
故答案为（4）
点评：
考查学生对无穷数列和递增数列概念的理解能力．

12．（5分）设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}前7项的和为　127　．

考点：
等比数列的前n项和．
专题：
计算题．
分析：
先根据条件a1=1，a5=16以及公比为正数求得q，进而根据等比数列的求和公式，求得答案．
解答：
解：因为a5=a1•q4
∴q4=16又因为公比为正数．所以q=2．
∴S7===127．
故答案为：127．
点评：
本题主要考查了等比数列的求和公式．属基础题．在应用等比数列的求和公式时，一定要先判断公比的值，再代入公式，避免出错．

13．（5分）已知等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=　4　．

考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
利用等比数列的性质可求其公比q3，利用等比中项的性质可求a3．
解答：
解：∵{an}为等比数列，a6=6，a9=9，设其公比为q，
∴，
∴（或者由a62=a3•a9求a3）
故答案为：4．
点评：
本题考查等比数列的性质，考查学生观察与应用的能力，属于基础题．

14．（5分）在三角形ABC中，bcosC=ccosB，则三角形ABC是　等腰　三角形．

考点：
三角形的形状判断．
专题：
解三角形．
分析：
运用正弦定理，化简ccosB=bcosC，即sinCcosB=sinBcosC⇒sin（B﹣C）=0，B=C，推出三角形的形状．
解答：
解：∵bcosC=ccosB
∴sinCcosB=sinBcosC
∴sin（B﹣C）=0
∴B=C
∴三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰．
点评：
本题考查正弦定理的应用，三角形形状的判断，基本知识的有考查．

三、解答题．
15．（12分）在三角形ABC中，已知，解三角形ABC．

考点：
正弦定理；余弦定理．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
由正弦定理可得，可求sinC，结合c＜b及三角形的大边对大角可求C，然后根据三角形的内角和定理可求A，再求出a即可
解答：
解：∵
由正弦定理可得，
∴sinC=
∵c＜b
∴C＜B=60°
∴C=30°，A=90°，a=2c=2．
点评：
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用．

16．（12分）某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°的方向上，距离为海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，求：
（1）AD的距离；
（2）CD的距离．

考点：
正弦定理；余弦定理．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
（1）利用方位角求出B的大小，利用正弦定理直接求解AD的距离；
（2）直接利用余弦定理求出CD的距离即可．
解答：
解：（1）在△ABD值中，因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，
24海里；货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，
所以B=45°，由正弦定理，
所以AD===24海里．
（2）在△ACD中，AD=24，AC=8，∠CAD=30°，
由余弦定理可得：CD2=AD2+AC2﹣2•AD•ACcos30°=242+（8）2﹣2×24××=192，
所以CD=8海里．
点评：
本题考查正弦定理与余弦定理的应用，注意方位角的应用，考查计算能力．

17．（14分）某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？

考点：
等差数列的通项公式．
专题：
应用题；等差数列与等比数列．
分析：
由题意可得，该公司的利润构成以200为首项，以﹣20为公差的等差数列，结合等差数列的通项可求an，然后令an≤0可求
解答：
解：由题意可得，该公司的利润构成以200为首项，以﹣20为公差的等差数列
an=200﹣20（n﹣1）=220﹣20n
令an≤0可得，n≥11
从第12年起，该公司经销该产品将亏损．
点评：
本题主要考查了等差数列的通项公式在求解实际问题中的应用，解题的关键是通项的 求解

18．（14分）已知三个实数a、b、c成等差数列，且它们的和为12，又a+2、b+2、c+5成等比数列，求a、b、c的值．

考点：
等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由题意可得2b=a+c，且a+b+c=12，进而可得b=4，c=8﹣a①，由成等比数列可得ac+5a+2c+10=36②，综合①②可解a，c的值．
解答：
解：由题意可得2b=a+c，且a+b+c=12，
所以b=4，a+c=8，即c=8﹣a ①
又a+2、b+2、c+5成等比数列，
所以（4+2）2=（a+2）（c+5），
化简可得ac+5a+2c+10=36 ②
把①代入②可得a2﹣11a+10=0，
解得a=1或a=10，代回①分别可得b=7或﹣2
故a、b、c的值分别为1，4，7；或 10，4，﹣2．
点评：
本题考查等差数列和等比数列的综合应用，涉及一元二次方程的解法，属基础题．

19．（14分）（2000•北京）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，证明：

考点：
正弦定理；三角函数恒等式的证明；余弦定理．
专题：
证明题．
分析：
由余弦定理得到a2，b2的表达式，两者作差整理即，再正弦定理将等式右边的a，b，c换成sinA，sinB，sinC来表示，逆用正弦的差角公式即可得出结论．
解答：
证明：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，
b2=a2+c2﹣2accosB，（3分）
∴a2﹣b2=b2﹣a2﹣2bccosA+2accosB整理得（6分）
依正弦定理，有，（9分）∴
=（12分）
点评：
本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能．

20．（14分）已知数列满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）求{an}的通项公式．

考点：
等比数列的通项公式．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）给等式an+1=2an+1两边都加上1，右边提取2后，变形得到等于2，所以数列{an+1}是等比数列，得证；
（2）设数列{an+1}的公比为2，根据首项为a1+1等于2，写出数列{an+1}的通项公式，变形后即可得到{an}的通项公式．
解答：
解：（1）由an+1=2an+1得an+1+1=2（an+1），
又an+1≠0，
∴=2，
即{an+1}为等比数列；
（2）由（1）知an+1=（a1+1）qn﹣1，
即an=（a1+1）qn﹣1﹣1=2•2n﹣1﹣1=2n﹣1．
点评：
此题考查学生掌握等比数列的性质并会确定一个数列为等比数列，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．

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