七年级数学专题二：绝对值-相反数-倒数华东师大版知识精讲.doc

初一数学专题二：绝对值 相反数 倒数华东师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
专题二：绝对值 相反数 倒数

二、知识要点
1. 知识点概要
⑴了解有理数的绝对值、相反数、倒数的意义；
⑵会求一个有理数的相反数、绝对值、倒数；
⑶能借助数轴理解一个数的绝对值、相反数、倒数及完成相关计算．
2. 重点难点
⑴有理数（特别是负数）绝对值、相反数的意义；
⑵数形结合的思想方法．

三、考点分析
（一）借助于数轴学习有理数的概念
数轴不但是研究数形结合的典型的思想方法，而且是学习有理数的重要工具．借助于数轴可以加深对有理数的有关概念的理解和运用．
1. 借助于数轴理解正负数
数轴的建立，可以将所有的有理数在数轴上表示出来．即零可以用原点表示，正数可以用原点右边的点表示，负数可以用原点左边的点表示出来．如，－0.1，－1，－2，－100等等只能在数轴的左边表示出来，0在数轴的原点表示出来，0. 1，1，2，100等等只能在数轴的右边表示出来．
2. 借助于数轴理解绝对值
⑴数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．
绝对值的几何意义可以由数轴直接知道：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．a的绝对值记作|a|．
⑵由数轴我们同样可以知道绝对值的代数意义：一个正数的绝对值就是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．用数学式子表示为
⑶绝对值的主要性质：①若为有理数，则||≥ 0；②绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等；③ 若||=¸则≥ 0；④若||+|b|=0¸则=b=0；⑤绝对值没有最大的数，但有绝对值最小的数：0．
3. 借助于数轴理解相反数
⑴我们知道，只有符号不同的两个数，我们称它们互为相反数．如2与－2互为相反数，即2是－2的相反数，－2是2的相反数．零的相反数是零．
由此可知，互为相反数的两个数表示在数轴上分别在原点的两旁，并且这两个数到原点的距离相等．
⑵事实上，我们可以借助于数轴来这样理解相反数的概念，在数轴上，位于原点两旁，且到原点的距离相等的两个点表示的两个数即为互为相反数．如3与－2就不是互为相反数．要注意概念中的“只有”这个字眼，就是说在两个数中，只是符号不同，一个是正号，另一个是负号，其余什么都相同．
另外，由数轴上原点两旁，且到原点的距离相等的两个数总是成对出现的，单独一个数或三个数等都不能说成是互为相反数．符号不同的两个数也不能说成是互为相反数，
⑶相反数的表示方法：一般地，数的相反数是－，这里表示任意的一个数，可以是正数、0、负数，还可以代表任意一个代数式．一般地，在一个数前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数．
⑷相反数的重要性质：①如果a、b互为相反数，则a+b＝0，反之，若a+b＝0，则a、b互为相反数；②如果a、b互为相反数，则a、b在数轴上对应的点到原点的距离相等，即互为相反数的两个数的绝对值相等．
4. 借助于数轴比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．由此，利用数轴比较有理数的大小，采用数形结合的方法，简单、直观，同学们也一定易于掌握．

（二）倒数
⑴倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数．即当ab=1时，则a、b互为倒数；反之，当a、b互为倒数时，则ab=1．
⑵倒数与相反数的区别：
①互为倒数的两个数的积为1，而互为相反数的两个数的和为0；②0的相反数是0，而0没有倒数；③互为倒数的两个数同号，而互为相反数的两个数（0除外）异号．
⑶倒数的求解方法：①求一个整数的倒数时，直接写成这个数分之一即可．如－ 3的倒数是 －；②求一个分数的倒数时，就是把这个分数的分子和分母交换一下即可．如 －的倒数是 －；③若求小数的倒数时，先将小数化成分数再求．如求－0.5的倒数，由－0.5 = －，－的倒数是－2，则－0.5的倒数是－2。特别注意：0没有倒数．

【典型例题】
例1. （2008. 资阳市）如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有（ ）．
A. D点 B. A点　　　　C. A点和D点 D. B点和C点

分析：根据数轴可知：到原点的距离为3个单位的点所表示的数是3、－3，表示3的点是D点，表示－3的点是A点．
解：C.

例2. （2008. 太原市）下列四个数的绝对值比2大的是（ ）．
A. B. C. 1 D. 2
分析：－3的绝对值是3，0的绝对值是0，1的绝对值是1，2的绝对值是2，绝对值比2大的是－3．
解：A．

例3. （2008，江西省）的相反数是（ ）．
A. 5 B. C. D.
分析：与只有符号不同的数是．
解：D．

例4. （2008，遵义市）的倒数是（ ）．
A. B. C. D.
分析：可写成的形式，再将分子与分母颠倒，可得出的倒数是．
解：B．

例5. 在数轴上表示下列各数：
2 的相反数，绝对值是的数，－1的倒数

分析：2 的相反数是－2，绝对值是的数是，－1的倒数是．
解：如图所示：

例6. （2008，广州市）若实数、互为相反数，则下列等式中恒成立的是（ ）．
A. B. C. D.
分析：互为相反数的两个数和为0，商为－1，积为其中一数的平方的相反数，差为被减数的2倍．
解：B.

例7. （2008，芜湖市）若，则的值为（ ）．
A. B. C. 0 D. 4
分析：由绝对值、平方的意义可知是两个非负数的和，故所以，故的值为.
解：B．

例8. 已知| x |＝3，| y |＝7，且 x＜0，则 的值等于（　　）．
A. 10 B. 4 C. ±10 D. －10或4.
分析：由| x |＝3，| y |＝7，可得，由x＜0，得所以＝－3+7＝4，或＝－3+（－7）＝－10．
解：D.

例9. 若正数 a 的倒数等于其本身，负数 b 的绝对值等于3，且c＜a，c2＝36，求代数式 2 （a－2b2）－5c 的值．
分析：正数1的倒数等于其本身，－3的绝对值等于3，=36，又c＜a，所以a＝1，b＝－3，c＝－6．
解：2 （a－2b2）－5c＝2［1－2×（－3）2］－5×（－6）=2（1－18）＋30＝－34＋30＝－4．

例10. 比较大小：若
解析：因为所以可以取，
则有，这样就可以很容易的比较
即
说明：类似本题的已知字母取值范围，比较关于此字母的代数式值的大小常采用特殊值和作差法．（作差法在下面讲过有理数的运算以后再作详细讲解）

例11. 如图是一个正方体盒子的展开图，请把－10，8，10，－2，－8，2分别填入六个小正方形中，使得按虚线折成的正方体相对面上的两数互为相反数．

分析：－10与10，8与－8，－2与2互为相反数，六个小正方形中A与C、B与D、E与F相对．
解：填法多样，只要将互为相反数的两数填在两个相对的面即可如：A填－10，C填10，B填8，D填－8，E填－2，F填2．

例12. 在数轴上a、b、c、d对应的点如图所示，化简|a－b|+|c－b|+|c－a | +|d－b|．

分析：由数轴可知：，所以．
解：原式=．

例13. 已知a、b、c都不等于0，求的值
分析：根据a、b、c的符号的所有可能情况进行讨论，再去掉绝对值符号，这是解本题的关键
简解：因a、b、c的符号没有明确，因此需对a、b、c的符号进行讨论：
（1）若a、b、c均为正数，原式=1+1+1+1=4
（2）若a、b、c中有两个正数，一个负数，不妨设a＞0、b＞0、c＜0，原式=1+1－1－1=0
（3）、若a、b、c中有一个正数，两个负数，不妨设a＞0、b＜0、c＜0，原式=1－1－1+1=0
（4）、若a、b、c均为负数，原式=－1－1－1－1=－4
综上知：=±4或0
说明：本题运用了分类讨论的数学思想方法，所谓分类讨论就是根据问题的特点和要求，将同一条件下的所研究的问题分成若干情况，然后再逐一进行研究和求解的思想方法．注意分类时需做到不重不漏，否则会出现漏解或错解．

例14. 若的倒数与互为相反数，则a等于（ ）．
分析：先求的倒数，再根据互为相反数的两数和为零列出关于a的简易方程，可求出a．
解：由题意可知：，则，所以．

例15. 已知a与b互为倒数，c和d互为相反数，且|x|=6，求式子的值．
分析：互为倒数的两个数乘积为1，互为相反数的两个数和为0，绝对值为6的两个数是±6．
解：=3×1－0+（±6）2=3+36=39．

例16. （2008，南平市）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．
如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则 ．
分析：，由此可以看出，每3个为一周期，2009÷3＝669……2，故
解：．

五、本讲数学思想方法的学习
1、关于分类的思想方法．分类就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论．”在研究有理数的绝对值、相反数时，都是将有理数分成正数、零、负数等三类来研究的．
2、数形结合将抽象问题形象化．数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．在本章学习中，绝对值、相反数的学习都是借助于数轴，其实就是数形结合思想在我们学习中的应用．
3、关于解决概念型的问题的解题策略．①回到定义中去；②从简单的情况入手；③一有可能就画图．

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题（每小题3分，计30分）
1. －2的绝对值是（　　）
　（A）－2. 　　（B）2. 　　　（C）－. 　　（D）.
2. －ｍ的相反数是（　　）
　 （A）－ｍ. 　　（B）ｍ. 　　　（C）. 　　　（D）.
3. 下列说法错误的是（　　）
　（A）０的相反数是０. 　　　　　　　（B）正数的相反数是负数.
　（C）一个数的相反数必是正数. 　　　（D）互为相反数的两个数到原点的距离相等.
4. 若＝，则a的值为（　　）
　（A）. 　　　（B）. 　　　（C）或. 　（D）或.
*5. 绝对值等于本身的有理数共有（　　）
　（A）1个. 　　　（B）2个. 　　（C）0个. 　　（D）无数个.
6. 下列各组数中，互为相反数的有（　　）
　　⑴ 3. 2 与 －2. 3 ⑵ －（－ 4）与 – 8 ⑶ – （－ 8）与 – 8 ⑷ －与－[－（－）]
　 （A）1组. 　　　（B）2组. 　　（C）3组. 　　（D）4组.
7. 下列式子正确的是（　　）
　　（A）＞. 　　　　　　　（B）0＜.
　　（C）＜. 　　　　　　　　（D）＝.
*8. 下列说法正确的个数有（　　）
　　⑴所有的有理数都能在数轴上找到唯一的一点　⑵数轴上每一点都表示有理数
　　⑶０是最小的有理数 　⑷因为负数小于零，所以
　　（A）1个. 　　（B）2个. 　　　（C）3个. 　（D）０个.
9. 以下是关于这个数在数轴上的位置的描述，其中正确的描述是（ ）
（A）在左边. 　　　　　　　　　　（B）在0. 1右边.
（C）在原点与之间. 　　　　　　　（D）在左边.
*10. 在数轴上与2之间的有理数有（　　）
　（A）5个. 　　（B）4个. 　　　（C）3个. 　（D）无数个.

二、填空题（每小题3分，计30分）
11. 最大的负整数是________，最小的正整数是_____________.
12. －2在原点_______边，距原点_______个单位长度，数5在数轴上距原点_______个单位，－5距5_________个单位.
13. _________的相反数是本身.
14. 是_________的相反数. 是___________的相反数.
15. 在数轴上表示离开原点的距离是3，那么a=__________.
16. 2的相反数的绝对值是________________.
*17. 绝对值不大于2的整数是__________________.
*18. 如果与互为相反数，那么ｍ＝_____________.
19. 若，则.
*20. 若.

三、解答题（计40分）
21. 计算下列各题（8分）
（1） （2）
（3） （4）
22. 把在数轴上表示出来. （3分）
23. 某城市早上测得的温度是3℃，中午测量时发现温度上升了5℃，晚上测量时比中午下降了6℃，问晚上的气温比早上气温变化了多少?记作什么?借助数轴加以分析. （3分）
24. 化简下列各数：（6分）
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
25. 已知互为相反数，m、n互为倒数，求. （4分）
26. 已知的值. （4分）
*27. 已知. （5分）
*28. 在数轴上有三个点A、B、C，如图所示：（7分）

　 ⑴将B点向左移动4个单位，此时该点表示的数是多少？
⑵将C点向左移动6个单位得到数x1，再向右移2个单位得到x2，x1，x2分别是多少？用“＞”把B，x1，x2连接起来．
⑶怎样移动A、B、C中的两点，才能使3个点表示的数相同？有几种方法？

【试题答案】
一、选择题
1. B 　2. B 　3. C　 4. C　 5. D　 6. A　 7. B　 8. A 　9. D　 10. D　

二、填空题
11. – 1，1；
12. 左，2，5，10；
13. 0；
14. －8，2；
15. ±3；
16. 2；
17. ±1，±2，0；
18. －1；
19. 2，3；
20. 1或－5；

三、解答题
21. ⑴13 ⑵16 ⑶ ⑷105；
22. 略.
23. 晚上的气温是2℃，晚上的气温比早上气温低1℃，记作－1℃；
24. ⑴2 ⑵－2. 6 ⑶ 3. 5 ⑷－ 8 （5）－4 （6）－6；
25. ；　
26. －5或－19；　
27. 20；
28. ⑴－5 ⑵ ，0＞－1＞－2；⑶略。三种方法.