2007年高考数学真题——江苏卷(教师版-含解析).doc

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2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学

参考公式：次独立重复试验恰有次发生的概率为：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为的是（D）
A． B． C． D．
解析：利用公式 即可得到答案D。
2．已知全集，，则为（A）
A． B． C． D．
解析：求B=} 可求= 选A
3．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（A）
A． B． C． D．
解析：由 ， 选A
4．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：（C）
① ②
③ ④
其中正确命题的序号是
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
解析：用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④ 正确，②中m,n可以平行或异面③中n可以在内 选C
5．函数的单调递增区间是（D）
A． B． C． D．
解析： 因 故
得 选D
6．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（B）
A． B．
C． D．
解析：利用对称性，三点到直线距离越远越大
7．若对于任意实数，有，则的值为（B）
A． B． C． D．
解析： 选B
8．设是奇函数，则使的的取值范围是（A）
A． B． C． D．
解析：由 得 选A
9．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（C）
A． B． C． D．
解析：对于任意实数都有得
当取a=c时取等号。 选C

10．在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为（B）
A． B． C． D．
解析：令作出区域是等腰直角三角形，可求出面积 选B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。
11．若，.则　　1/2　　.
解析：
求出

12．某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有　　75　　种不同选修方案。（用数值作答）
解析：按照选一门或一门都不选分类：

13．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　32　　.
解析：
得 32　　

14．正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是
　　　　.
解析：设P在 底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a,则 设侧棱为b则 斜高 。由面积法求 到侧面的距离

15．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　5/4　　.

解析：利用椭圆定义和正弦定理 得 b=2*4=8

16．某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则
　　　　，其中。
解析：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第次预报准确的概率；（4分）
解：（1）
（2）
（3）

18．（本小题满分12分）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，
（1）求证：四点共面；（4分）
（2）若点在上，，点在上，
，垂足为，求证：面；（4分）
（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）
解：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又
BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面。
（2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB
，且EM在平面ABBA内，所以面
（3）面，所以BF，MH，，所以∠MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角，∠EMH=，所以，ME=AB=3，∽MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以=

19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，
（1）若，求的值；（5分）
（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以
，即，
所以，即所以
（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以
因为，所以P为AB的中点。
20．（本小题满分16分）已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，
（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）
（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
解：设的公差为，由，知，（）
（1）因为，所以，
，
所以
（2），由，
所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为
，设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，所以
，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为
与数列的第项相等，从而结论成立。
（3）设数列中有三项成等差数列，则有
2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。
21．（本小题满分16分）已知是不全为的实数，函数，
，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根，
（1）求的值；（3分）
（2）若，求的取值范围；（6分）
（3）若，求的取值范围。（7分）
解（1）设是的根，那么，则是的根，则即，所以。
（2）因为，所以，则
==0的根也是的根。
（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，
（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，
的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而
所以当时，；当时，。
（3），所以，即的根为0和1，
所以=0必无实数根，
（a）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，即所以；
（b）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，
，而，所以，所以不可能小于0，
（c）则这时的根为一切实数，而，所以符合要求。
所以
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