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2012学年第一学期联谊学校期中考试
高三 （数学（理））试卷
满分：150分，考试时间120分钟
选择题部分
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合，则∩B =
A． B． C． D．
2．若向量，且，则锐角为
A． B． C． D．
3. 设向量，是单位向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设与（且≠2）具有不同的单调性，则与 的大小关系是
A．M<N B．M=N C．M>N D．M≤N
5.设等比数列的前n项和为Sn，若，则
A．2 B． C． D．3
6.如图是函数的图象的一部分, 设函数，, 则是
A． B．
C． D．
7．为得到函数的图像，只需将
函数的图像 （ ）
A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
8．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形
框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，
则这九个数的和可以为
A．2097 B． 2264 C． 2111 D．2012
9．函数在上有两个不同的零点,则
实数的取值范围是
A． B． C. D．
10. 已知函数 函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是
A． B． C. D．
非选择题部分
二．填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）
11. 已知，则 ；
12．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ；
13.等差数列中，是前项和， ,,则的值为 ；
14. 锐角三角形ABC中，若，则的范围是 ；
15．若函数，（且）的值域为R，则实数的取值范围是 ；
16．等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，。给出下列结论：①；②，③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198。其中正确的结论是 ；
17．已知O为△ABC的外心，， 若，
且32+25=25，则 。
三．解答题（本大题共５小题，共７2分）
18. (本题满分14分)在中，分别是角,,的对边，且.
（I）若函数求的单调增区间；
（II）若，求面积的最大值．
19. （本题满分14分）已知
（I）求的最值；
（II）是否存在的值使？
20．（本题满分14分）数列的前项和为，，，等差数列满足，
（I）分别求数列，的通项公式；
（II）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
21．（本题满分15分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，
都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
已知函数;
（I）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为
有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）已知，函数在上的上界是，求的取值范围。
22. （本题满分15分）已知函数，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的值；
（Ⅲ）设 （）有两个极值点、 （），
求实数的取值范围，并证明：
2012学年第一学期联谊学校期中考试
高三数学试题（理科）答案
1-5:ABCCB 6-10:DBDAB
11. 12． 13. 4026 14..15． 16． ①②④ 17． 10
u18．解：（I）由条件：
………………3分
故，则， ………1分
所以的单调增区间为 ………………3分
（II）由余弦定理：
………………3分
当且仅当取得最大值. ………………4分
19解：（I）由已知得： ………………1分 ………………1分
………………1分
令
的 ………………4分
（II）假设存在的值满足题设，即
………………3分
………4分
20．（I）由----①得----②，
①②得，；………………3分
由得 ………………1分
………………1分
；………………2分
（II），………………1分
对恒成立， 即对恒成立，----10分
令，，
当时，，当时，，………………4分
，．………………2分
21．解：（I）当时，
因为在上递减，所以，即在的值域为
故不存在常数，使成立
所以函数在上不是有界函数。 ………………4分
（Ⅱ）由题意知，在上恒成立。
，
∴ 在上恒成立
∴ ………………3分
设，，，由得 t≥1，
（设，
所以在上递减，在上递增， （单调性不证，不扣分））
在上的最大值为， 在上的最小值为
所以实数的取值范围为。 ………………2分
（Ⅲ），
∵ m>0 ， ∴ 在上递减，
∴ 即
∵ ， ∴ 在上递增，
∴ 即个 ………………2分
①当时，， 此时
②当，即，， 此时 ，
③当时，，此时 …………3分
综上所述：当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是 ………………1分
22.解：（Ⅰ） ，……………… 2分
在递减，在递增
· ……………… 2分
· （Ⅱ）
所以（即）的必要条件是，得……………… 3分
当时，由(1)知恒成立。
所以 ……………… 2分
(注：直接得出，没有证明的，得3分)
（3），
，有两个极值点、等价于
方程在上有两个不等的正根
得 ……………… 2分
由得， （）
设，
得，
所以 ………… 4分
8
用心 爱心 专心
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