广东省深圳市2011届高三数学第二次调研考试-文.doc

绝密★启用前 试卷类型：A
2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：
若锥体的底面积为，高为，则锥体的体积为．
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则 等于
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位）的模等于
A． B. C. D.

3．在△中，已知，，分别为，，所对的边，且，，，则等于
A． B．或 C． D．或
4．已知向量，，若，则等于
A． B． C． D．
5. 曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
6．已知图1、图2分别表示、两城市某月日至日当天最低气温的数据折线图(其中横轴表示日期,纵轴表示气温)，记、两城市这天的最低气温平均数分别为和,标准差分别为和．则
A．， B．，
C．， D．，
图1
图2

7．已知：；：方程表示双曲线．则是的
正(主)视图
侧(左)视图
俯视图
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
8．如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和
俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥
体的体积为
A． B． C． D．
9．因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价，第二次提价；
方案乙：第一次提价，第二次提价；
方案丙：第一次提价，第二次提价，
其中，比较上述三种方案，提价最多的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．一样多
10．先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数），
所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．
11．已知点满足，则的取值范围是 ．
12．定义已知，，，则 ．
（结果用，，表示）
13．如图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图2），再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图3），…，依此类推．设第个图中原三角形被剖分成个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为 ； ．
… …

图1 图2 图3

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的交点为,
点坐标为，则线段的长为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形中，
，，以为直径的圆交边于
点，，则的大小为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的最大值并求出此时的值；
（2）若，求的值．

17．（本小题满分12分）
某校高三（1）班共有名学生，他们每天自主学习的时间全部在分钟到分钟之间，按他们学习时间的长短分个组统计得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
[180 , 210）

[210 , 240）

[240 , 270）

[270 , 300）

[300 , 330）

（1）求分布表中，的值；
（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这名学生中按时间用分层抽样的方法抽取名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？
（3）已知第一组的学生中男、女生均为人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．

18．（本小题满分14分）
如图1，在直角梯形中，，，且．
现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
图1
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.

图2

19．（本小题满分14分）
已知椭圆的两焦点为，，并且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆:，直线:，证明当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围．

20．（本小题满分14分）
执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为，，…，，，．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”）
（1）若输入，写出输出结果；
（2）若输入，令，证明是等差数列，并写出数列的通项公式；
（3）若输入，令，．
开始
输入的值
，
输出

且？
结束
是
否
求证：．

21．（本小题满分14分）
已知函数（为自然对数的底数），，,．
（1）判断函数的奇偶性,并说明理由；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）证明：对任意实数和，且，都有不等式
成立．
2011年深圳市高三年级第二次调研考试
数学(文科)答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
D
B
C
C
A
D
C
C
二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．
11． ． 12．． 13．； ． 14．．　　 15．．
说明：第13题第一空2分，第二空3分.
三、解答题
16．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的最大值并求出此时的值；
（2）若，求的值.
解：（1）
…………2分
当，即时，取得最大值为.
…………6分
（2）令时，得. …………8分
…………12分
17．（本小题满分12分）
某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330
分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
[180,210）

[210,240）

[240,270）

[270,300）

[300,330）

( 1 )求分布表中，的值；
（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？
（3）已知第一组的学生中男、女生均为人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．

解：（1） ，．……………………………4分
（2）设应抽取名第一组的学生，则得．
故应抽取名第一组的学生． ……………………………6分
（3）在（II）的条件下应抽取名第一组的学生．
记第一组中名男生为，名女生为．
按时间用分层抽样的方法抽取名第一组的学生共有种等可能的结果，列举如下：
． ……………………………9分
其中既有男生又有女生被抽中的有这种结果， ………………10分
所以既有男生又有女生被抽中的概率为 …………………………12分
18．(本小题满分14分)
如图1，在直角梯形中，，，且．
现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.

图 图

（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且． …………………………3分
所以四边形为平行四边形．
所以∥． …………………………4分
又因为平面，且平面，
所以∥平面． ………………………5分
（2）证明：在正方形中，．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以． ………………………7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．
所以． …………………………8分
所以平面． …………………………10分
（3）解法一：由（2）知，平面
又因为平面， 所以平面平面． ……………………11分
过点作的垂线交于点，则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度 ………………………12分 在直角三角形中，
所以
所以点到平面的距离等于. ………………………14分
解法二：由（2）知，
所以
………………………12分
又，设点到平面的距离为
则
所以
所以点到平面的距离等于. ………………………14分
19．（本小题满分14分）
已知椭圆的两焦点为，，并且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆:，直线:，证明当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围．
解：(1)解法一：设椭圆的标准方程为，
由椭圆的定义知:

得
故的方程为. ...............4分
解法二：设椭圆的标准方程为，
依题意，①， 将点坐标代入得②
由①②解得，故的方程为. ...............4分
（2）因为点在椭圆上运动，所以，则，
从而圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交. ............... 8 分
直线被圆所截的弦长为

...............10 分

. ...............14 分
20．(本小题满分14分)
执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为，，…，，，．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”）
（1）若输入，写出输出结果；
（2）若输入，令，证明是等差数列，并写出数列的通项公式；
（3）若输入，令，．求证：．
开始
输入的值
，
输出

且？
结束
是
否

解:（1）输出结果为0，，. ………………4分
（注：写对第一个数给1分，写对二个数得2分.）
（2）当时，
（常数），，．
所以，是首项，公差的等差数列． …………………………6分
故，，数列的通项公式为，，．
……………………………9分
（3）当时，，
， ……………………………11分
是以为首项，为公比的等比数列．

两式作差得
即

……………………………13分
当时， ……………………14分
21．（本小题满分14分）
已知函数（为自然对数的底数），，,．
（1）判断函数的奇偶性,并说明理由；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）证明：对任意实数和，且，都有不等式
成立．
解: （1） 函数的定义域为，
且
∴ 函数是奇函数. ………………2分
（2）
………………3分
当时，且当且仅当时成立等号，故在上递增；
………………4分
当时，，令得或，
故的单调递增区间为或； ………………5分
当时，，令得或，
故的单调递增区间为或． ………………6分

（3）不妨设,
,
………………7分
令,则只需证 ………………8分
先证, 由（2）知在上递增,
∴ 当时，
∴ ，从而由知成立； ………………10分
再证，即证：，
令，则是减函数，
∴当时，，从而成立. ………………13分
综上，对任意实数和，且，都有不等式
成立. ………………14分
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用心 爱心 专心