2016第六讲--用均值不等式求最值的类型及方法.doc

2016学年度第六讲 均值不等式
一、几个重要的均值不等式
①当且仅当a = b时，“=”号成立；
②当且仅当a = b时，“=”号成立；
注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
二、函数图象及性质
(1)函数图象：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：，；单调递减区间：，.
三、用均值不等式求最值的常见类型
类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、 求函数的最小值。

练习1求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝2x＋（

练习2 当x＞1时，求函数y＝x＋的最小值

练习3当x 时，求函数y＝x＋的最小值

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：
①

练习1求下列函数的最大值
（1）y＝2x（1－2x）（0＜x＜） （2）y＝2x（1－3x）（0＜x＜）

练习2 已知1，求 的最大值

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。
类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x、y，求的最小值。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
类型Ⅳ：条件最值问题。
例4、已知正数x、y满足，求的最小值。

练习1 已知x＋2y＝1，求 ＋的最小值。

练习2 已知x＋2y＝1，求 的最小值

类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数满足，试求、的范围。

评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。
自我检测：1）已知x + y = 2，求 2 x＋2 y的最小值。
2）求函数y = (x≠0)的最大值。
3）
4) 已知，则的最小值是

补充讲解：
1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．
2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．
例1.若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围.

变式训练1：已知方程sin2x－4sinx＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是 （ ）
A．[－3，6] B．[－2，6]
C．[－3，2] D．[－2，2]

例2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．

变式训练2：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于()2千米，运完这批物资至少需要 （ ）
A．10小时 B．11小时
C．12小时 D．13小时