周期信号的分解与合成PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,章 连续信号与系统的频域分析,1,本章重点和要点,利用傅里叶级数分析周期信号的离散频谱,利用傅里叶积分分析非周期信号的连续频谱,理解信号的时域与频域间的关系,掌握傅里叶变换定义、性质、应用,掌握系统的频域分析方法,掌握取样定理及其应用,理解频谱分析在通信系统中的应用,2,引言,回顾时域分析中利用卷积对信号进行分解继而求出响应的思路,信号的分解,求响应,再迭加,时域,分析,:,卷积积分,频域,分析,:,傅立叶变换,复频域,分析,:,拉普拉斯,变换,自变量为,S=,+,自变量为,自变量为,t,3,结论,LTI,系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对,LTI,系统单位冲激响应的研究就可分析,LTI,系统的特性。,4,3.1,信号的正交分解,3.1.1,矢量的正交分解,1.,正交矢量,图,3.1-1,两个矢量正交,5,2.,矢量的分解,图,3.1-3,平面矢量的分解,6,图,3.1-4,三维空间矢量的分解,7,上述矢量分解的概念可以推广到,n,维空间。由,n,个相互正交的矢量组成一个,n,维的矢量空间，而正交矢量集,V,1,V,2,，,V,n,为,n,维空间的完备正交矢量集。,n,维空间的任一矢量,V,，可以精确地表示为这,n,个正交矢量的线性组合，即,式中，,V,i,V,j,=0(,i,j,),。,第,r,个分量的系数,8,3.1.2,信号的正交分解,1.,正交函数,设,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),为定义在,(,t,1,t,2,),区间上的两个函数，现在要用与,f,2,(,t,),成比例的一个函数,c,12,f,2,(,t,),近似地代表,f,1,(,t,),，其误差函数为,9,2.,信号的正交展开,设有一函数集,g,1,(,t,),g,2,(,t,),，,，,g,N,(,t,),，它们定义在区间,(,t,1,t,2,),上，如果对于所有的,i,、,j,(,可取,1,2,，,N,),都有,则该函数集就称为区间,(,t,1,t,2,),上的正交函数集。如果,则称该函数集为,归一化正交函数集,。,10,用一个在区间,(,t,1,t,2,),上的正交函数集,g,i,(,t,),中各函数的线性组合就可逼近定义在,(,t,1,t,2,),区间上的信号,f,(,t,),，即,这种近似表示所产生的平方误差为,11,定理,3.1-1,设,g,i,(,t,),在,(,t,1,t,2,),区间上是关于某一类信号,f,(,t,),的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号,f,(,t,),都可以精确地表示为,g,i,(,t,),的线性组合，即,式中，,c,i,为加权系数，且有,式,(3.1-14),称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，,c,i,称为傅里叶系数。,(3.1-14),(3.1-15),12,定理,3.1-2,在式,(3.1-14),条件下，平方误差,E,e,=0,，由,(3.1-13),式有,式,(3.1-16),可以理解为：,f,(,t,),的能量等于各个分量的能量之和，即能量守恒。定理,3.1-2,有时也称为帕塞瓦尔定理。,(3.1-16),13,3.2,周期信号的连续时间傅里叶级数,3.2,周期信号的连续时间傅里叶级数,3.2.1,三角形式的傅里叶级数,三角函数集,cos,n,t,sin,nt,|,n,=0,1,2,是一个正交函数集，正交区间为,(,t,0,t,0,+,T,),。这里,T,=2/,是各个函数,cos,nt,，,sin,nt,的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：,14,上述正交三角函数集中，当,n,=0,时，,cos 0=1,sin 0=0,，而,0,不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为,15,式中，,=2/,T,称为基波角频率，,a,0,/2,，,a,n,和,b,n,为加权系数。式,(3.2-5),就是周期信号,f(t),在,(,t,0,t,0,+,T,),区间的三角傅里叶级数展开式。由于,f,(,t,),为周期信号，且其周期,T,与三角函数集中各函数的周期,T,相同，故上述展开式在,(-,),区间也是成立的。,16,可得加权系数：,17,狄利赫利条件：,.,在一个周期内只有有限个间断点；,.,在一个周期内有有限个极值点；,.,在一个周期内函数绝对可积，即,一般周期信号都满足这些条件,.,18,3.2,周期信号的分解与合成,3.2.1,周期信号的三角级数表示,cosn,1,t,sinn,1,t,3.2.2,周期信号的复指数表示,e,j n,1,t,19,3.1,周期信号的分解与合成,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义,1.,从信号分析的角度,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。,2.,从系统分析角度,已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应；,而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。,20,傅里叶生平,1768,年生于法国,1807,年提出,“,任何周期信号都可用正弦函数级数表示,”,1829,年狄里赫利第一个给出收敛条件,拉格朗日反对发表,1822,年首次发表在,“,热的分析理论,”,一书中,21,傅立叶的两个最主要的贡献,“,周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”,傅里叶的第一个主要论点,“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”,傅里叶的第二个主要论点,22,3.2.1,周期信号的三角级数表示,任何正常的周期为,T,的函数,f,(,t,),都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。,直流,分量,基波分量,n=1,谐波分量,n1,基波角频率,23,3.2.1,周期信号的三角级数表示,傅立叶系数,直流系数,余弦分量系数,正弦分量系数,可取,t,0,=0,，,t,0,=,T,/2,24,3.2.1,周期信号的三角级数表示,周期信号的另一种三角级数表示,25,3.2.1,周期信号的三角级数表示,几个系数的关系,26,3.2.1,周期信号的三角级数表示,几种系数的特点,是,n,的偶函数,是,n,的奇函数,是,n,的偶函数,是,n,的奇函数,27,3.2.1,周期信号的三角级数表示,f,(,t,),为偶函数时的傅立叶级数,取,t,0,=,T,/2,f,(,t,),=f,(,t,),，,偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量，无正弦分量。,28,3.2.1,周期信号的三角级数表示,f,(,t,),为奇函数时的傅立叶级数,取,t,0,=,T,/2,f,(,t,),=,f,(,t,),，,奇函数的傅立叶级数只有正弦分量，无直流分量和余弦分量。,29,3.2.1,周期信号的三角级数表示,f,(,t,),为奇谐函数时的傅立叶级数,f,(,t,),沿时间轴平移半个周期，,并关于时间轴对称，,此时波形不变，,这样的,f,(,t,),称为半波函数或奇谐函数。,当,n,为偶数时：,奇谐函数的傅立叶级数中只含有基波和奇次谐波的正、余弦分量，无偶次谐波分量。,30,3.2.1,周期信号的三角级数表示,f,(,t,),为偶谐函数时的傅立叶级数,f,(,t,),沿时间轴平移半个周期，,此时波形不变，,这样的,f,(,t,),称为半波函数或奇谐函数。,当,n,为奇数时：,偶谐函数的傅立叶级数中只含有偶次谐波的正、余弦分量，无基波和奇次谐波分量。,31,3.2.1,周期信号的三角级数表示,P94/,例,3.2,1,：,求周期矩形波的傅里叶级数展开式。,奇函数：,且也是奇谐函数：,n,为,奇数：,32,3.2.2,指数形式的傅里叶级数,式中，,T,=2/,为指数函数公共周期，,m,、,n,为整数。任意函数,f,(,t,),可在区间,(,t,0,t,0,+,T,),内用此函数集表示为,33,式中，相关系数,F,n,34,3.2.2,周期信号的复指数表示,由,3.2.1,知：,由欧拉公式：,则：,令：,引入了负频率,35,3.2.3,两种展开式的系数间的关系,由于,所以：,36,3.1.3,两种展开式的系数间的关系,复系数还可表示为：,37,3.2.3,两种展开式的系数间的关系,类,P94/,例,3.2,1,：,求周期矩形波的复指数展开式。,38,3.2.3,两种展开式的系数间的关系,39,