高阶FDTD的加权系数优化方法研究.pdf

第 卷 第期 年月金 陵 科 技 学 院 学 报J OUR NA LO FJ I N L I NGI N S T I TUT EO FT E CHNO L O G YV o l ,N o M a r,D O I:/j c n k i /n 高阶F D T D的加权系数优化方法研究朱敏(金陵科技学院电子信息工程学院,江苏南京 )摘要:为了提高电磁散射的计算精确度,对高阶时域有限差分法(F D T D)的加权系数进行优化.提出一种基于Y e e氏蛙跳网格的高阶F D T D优化方法,主要通过优化加权系数消除传播方向上沿轴及网格对角线的色散误差.通过雷达截面散射仿真实验验证了提出的高阶F D T D优化方法相较于未优化的高阶F D T D方法具有更高的计算精度,可应用在复杂目标的电磁散射问题上.关键词:高阶F D T D;各向异性;加权系数;色散误差;雷达散射截面中图分类号:TN ;O 文献标识码:A文章编号:X()收稿日期:基金项目:金陵科技学院科研基金孵化项目(j i t f h x m )作者简介:朱敏(),女,安徽蚌埠人,讲师,博士,主要从事计算电磁学、电磁场与微波技术研究.R e s e a r c ho nW e i g h t i n gC o e f f i c i e n t sO p t i m i z a t i o nM e t h o d so fH i g h e r O r d e rF D T DZ HU M i n(J i n l i n gI n s t i t u t eo fT e c h n o l o g y,N a n j i n g ,C h i n a)A b s t r a c t:I no r d e r t o i m p r o v e t h e c a l c u l a t i o na c c u r a c yo f e l e c t r o m a g n e t i c s c a t t e r i n g,t h ew e i g h t i n gc o e f f i c i e n t so ft h eh i g h e r o r d e rf i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n(F D T D)m e t h o da r eo p t i m i z e d T h eo p t i m i z e dh i g h e r o r d e rF D T D m e t h o db a s e do nY e e sl e a p f r o gg r i di sp r o p o s e d,w h i c hm a i n l ye l i m i n a t e s t h ed i s p e r s i o ne r r o r a l o n g t h e a x i s a n dg r i dd i a g o n a l i n t h ep r o p a g a t i o nd i r e c t i o nb yo p t i m i z i n gt h ew e i g h t i n gc o e f f i c i e n t s S i m u l a t i o ne x p e r i m e n t so fr a d a rc r o s ss e c t i o nf u r t h e rv e r i f yt h a t t h eo p t i m i z e dh i g h e r o r d e rF D T D m e t h o dp r o p o s e dh a sh i g h e rc a l c u l a t i o na c c u r a c yt h a nt h eu n o p t i m i z e dh i g h e r o r d e rF D T D m e t h o d I tc a nb ea p p l i e dt oe l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m so f c o m p l e xt a r g e t s K e yw o r d s:h i g h e r o r d e rF D T D;a n i s o t r o p y;w e i g h t e dp a r a m e t e r;d i s p e r s i o ne r r o r s;r a d a rc r o s ss e c t i o n传统时域有限差分法(f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n,F D T D)是最先被提出的一种有限差分算法,但受数值稳定性和色散条件的制约,它难以提供较高的计算精度.高阶F D T D在某些特定条件下可降低色散误差和各向异性,但算法本身仍需要完善.为了解决上述问题,学者们相继提出了很多新的高精度差分算法.C o l e提出了一种高精度的非标准差分方法.T a f l o v e和H a g n e s s对高阶F D T D和其他多种算法进行了比较研究和优化.N e h r b a s s等给出了一种在不提高阶数的情况下仍能增加计算精度的优化方法.J u n t u n e n等提出的各向异性F D T D方法在不增加计算量的前提下提高了数值准确度.W a n g和T e i x e i r a提出了一些改进方法,如复杂滤波器对角优化法,以降低色散误差.S a x e n a等提出第期朱敏:高阶F D T D的加权系数优化方法研究了高阶局部一维HO L O D F D T D方法,以提高四步L O D F D T D、五步L O D F D和六步L O D D T D方法的精度,与HO L O D F D T D方法相比在所需方向上提供了更高的精度且花费的计算时间更少.D i n g提出了一种基于各向同性色散有限差分格式的无条件稳定分裂步长S S F D T D方法.此方法对各向同性色散F D T D的加权因子和比例因子进行了改进,可以为单个频率生成较精确的相位速度.与传统的四级分步F D T D方法相比,即使在稳定因子较大的情况下,S S F D T D方法的数值色散误差也显著减小,数值模拟验证了此方法的有效性.W a n g等提出了一种基于跳变交替方向隐式F D T D和传统F D T D计算传输线网络瞬态响应的混合时域有限差分法,混合方法具有较好的精确度.K u a f等给出了一种新的部分隐式三维F D T D方法,此方法的最大色散误差和各向异性误差分别为 和 .这些改进方法在计算精度上有一定的提升,但是缺少对传播方向上色散误差的改进.本文在上述研究的基础上,提出一种基于Y e e氏蛙跳网格的高阶F D T D优化方法,降低数值色散误差,消除在给定频率下各向异性带来的误差,对于宽频带信号也能通过该方法减小色散误差和平均累计的相位差.加权系数的优化本文提出的高阶F D T D优化方法主要是通过优化加权系数来降低数值色散误差.为了简单说明该方法,下面考虑一个在线性各向同性均匀无耗介质中传播的二维T Ez波,高阶F D T D优化方法的M a x w e l l方程在x方向的迭代公式可以改写为如下离散形式:Enx(i/,j,k)Enx(i/,j,k)tHn/z(i/,j/,k)Hn/z(i/,j/,k)yHn/y(i/,j,k/)Hn/z(i/,j,k/)z()tHn/z(i/,j/,k)Hn/z(i/,j/,k)yHn/y(i/,j,k/)Hn/z(i/,j,k/)z()式中,为介电常数,E为电场强度,H为磁场强度,y和z分别为y和z轴上的空间步长,离散均匀即yz,t为时间步长,i、j、k分别为计算区域元胞的标号.为需要优化的加权系数,代表采用的是传统F D T D方法;代表采用的是高阶F D T D方法.下面通过增长因子 来分析本文提出的高阶F D T D优化方法的色散误差.使用傅里叶分析方法 可以得到优化的高阶F D T D增长因子为(rxpxrypy)j(rxpxrypy)e x p j t a n(rxpxrypy)(rxpxrypy)()式中,j,rxcts i n(kxx/)/x,rycts i n(kyy/)/y,c为真空中的光速,kx为沿x轴向的数值相位常数,kxkc o s(),kyks i n(),数值相位kkxky,为与x轴相关的电磁波的传播角度,px()s i n(kxx/)/,py()s i n(kyy/)/.通过对式()增长因子方程 的计算和整理,可以得到关于加权系数的色散方程为s i n(t/)cts i n(kxx/)x()s i n(kxx/)xs i n(kyy/)y()s i n(kyy/)y()从式()可以看出,不仅可以通过改变加权系数来降低色散误差,还可以通过调节其他的相关参数来优化色散误差.沿轴方向数值色散误差的优化在均匀离散的情况下即xy时,为了消除沿x轴和y轴方向的色散误差,本文对式()进行处理,金陵科技学院学报第 卷这里以x轴方向为例来说明,由式()可得x轴方向的色散方程为s i n(t/)cts i n(kxx/)x()s i n(kxx/)x()求解式()可以得到轴向优化加权系数为s i n(t/)cts i n(kxx/)xs i n(kxx/)xs i n(kxx/)x()式中,在给定的频率下kx/,为给定频率下的波长;网格步长x/N,N 为每波长网格数.这些参数代入式(),就是加权系数关于每波长网格数N 和时间步长的方程,确定其中的两个量就能得到另一个量的解.根据x轴色散方程式(),简化得到以下形式:s i n(s/N)/s s i n(/N)s i n(/N)s i n(/N)()式中,s为C o u r a n t稳定系数.图加权系数随每波长网格数N变化的曲线图为不同s下加权系数随每网格波长数N 变化的曲线,其中Sc,s分别为 Sc、Sc、Sc和 Sc.从图可以看出,当N 固定时随着s的增加而减小,当s固定时随着N 的增加而减小.数值色散误差可以通过数值相速Vn/c来衡量.图给出了加权系数优化前N 时的相对相速在不同s条件下随着传播角度变化的曲线.从图可以看出,色散误差随着s的减小而减小.根据式(),加权系数可以通过相对相速Vn/c来优化,优化后的曲线如图所示.从图可以看出,加权系数优化后的相对相速与传播角度的关系与优化前的一致,优化后的色散误差在相同s下更低.图加权系数优化前N 时相对相速随传播角度变化的曲线图加权系数优化后N 时相对相速随传播角度变化的曲线 对角线上数值色散误差的优化本节采用对角线优化方法(d i a g o n a l l yo p t i m i z e dm e t h o d,D OM)对数值色散的误差进行优化,在二维情况下,将传播角度 代入式(),可得沿 方向上的色散方程为s i n(t/)cts i n(dx/)x()s i n(dx/)x()第期朱敏:高阶F D T D的加权系数优化方法研究式中,kdk/,k/.求解式()得到关于加权系数d的表达式为ds i n(t/)cts i n(dx/)xs i n(dx/)xs i n(dx/)x()式()的加权系数d在不同的C o u r a n t稳定系数s下与每波长网格数N 的变化关系如图所示.从图可以看出,随着s的增加,加权系数减小.图为s Sc时优化前后的相对相速与传播方向的关系曲线,可以看出对角线 方向的误差完全被消除了.图传播角度 时加权系数d随每波长网格数N变化的曲线图优化前后s Sc时相对相速随传播方向变化的曲线 仿真实验图介质椭球的几何模型为了进一步验证优化的高阶F D T D方法的有效性,本文进行了仿真实验.图为介质椭球几何模型,介质椭球的相对介电常数为,相对磁导率为,电导率为,在x、y和z三个方向上的半径分别为、和 m.入射波为GH z沿着z轴方向传播的正弦波,电场极化方向为x轴.计算区域的网格尺寸设置为波长的/,即 m;C o u r a n t稳定系数s为;时间步长t为 x/c(xyz).高阶F D T D、优化的高阶F D T D以及矩量法(m e t h o do fm o m e n t s,M o M)的介质椭球远区H面和E面双站雷达散射截面(r a d a rc r o s ss e c t i o n,R C S)计算结果分别见图和图.M o M在 世纪 年代由H a r r i n g t o n提出,现在已经成为计算电磁学中最常用的方法之一,在天线、微波和电磁波技术以及电磁波散射等方面有着广泛的应用.M o M通过定义泛函内积或加权余量法对计算结果进行处理,是目前计算精度较高的算法,因此本文采用M o M的计算结果作为参考.图介质椭球H面的双站R C S计算结果图介质椭球E面的双站R C S计算结果金陵科技学院学报第 卷从图可以看出,在介质椭球H面时优化的高阶F D T D与M o M方法的R C S曲线吻合较好.从图可以看出,在介质椭球E面时优化的高阶F D T D与M o M的R C S曲线更加接近.综上可知,相对未优化的高阶F D T D方法,优化后的高阶F D T D方法的计算结果与M o M结果吻合得更好.这说明优化的高阶F D T D方法可以在粗网格情况下提高计算精度,尤其适用于具有复杂表面的电大尺寸介质目标.结语本文通过对高阶F D T D方法色散方程中的加权系数进行优化达到消除或降低色散误差的目的,同时获得高阶F D T D优化方法.所提出的优化方法主要从两个方面消除色散误差:一是消除沿轴方向的色散误差,并从色散方程中推导出优化的加权系数;另一是消除沿对角线方向的色散误差,并计算出优化后的加权系数.通过介质椭圆双站R C S的仿真实验验证了提出的优化方法,结果表明优化的高阶F D T D比高阶F D T D具有更好的精确性.参考文献:Y E EKE N u m e r i c a l s o l u t i o no f i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n v o l v i n gM a x w e l l se q u a t i o n s i ni s o t r o p i cm e d i aJI E E ET r a n s a c t i o n so nA n t e n n a sa n dP r o p a g a t i o n,():C O L EJB Ah i g ha c c u r a c yF D T Da l g o r i t h mt os o l v em i c r o w a v ep r o p a g a t i o na n ds c a t t e r i n gp r o b l e m so nac o a r s eg r i dJ I E E ET r a n s a c t i o n so nM i c r o w a v eT h e o r ya n dT e c h n i q u e s,():C O L EJB H i g h a c c u r a c yY e e a l g o r i t h mb a s e do nn o n s t a n d a r d f i n i t ed i f f e r e n c e s:n e wd e v e l o p m e n t s a n dv e r i f i c a t i o n sJI E E ET r a n s a c t i o n so nA n t e n n a sa n dP r o p a g a t i o n,():T A F L OV EA,HAG N E S SSC T h e f i n i t e d i f f e r e n c e t i m e d o m a i nm e t h o dM N o r w o o d:A r t e c hH o u s e,N EHR B A S SJW,J E V T I CJO,L E ER R e d u c i n g t h ep h a s e e r r o r f o r f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d sw i t h o u t i n c r e a s i n g t h eo r d e rJ I E E ET r a n s a c t i o n so nA n t e n n a sa n dP r o p a g a t i o n,():J UN TUN E NJS,T S I B OUK I ST D R e d u c t i o no fn u m e r i c a ld i s p e r s i o ni nF D T D m e t h o dt h r o u g ha r t i f i c i a la n i s o t r o p yJ I E E ET r a n s a c t i o n so nM i c r o w a v eT h e o r ya n dT e c h n i q u e s,():WANGS M,T E I X E I R A FL At h r e e d i m e n s i o n a la n g l e o p t i m i z e df i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i na l g o r i t h mJ I E E ET r a n s a c t i o n so nM i c r o w a v eT h e o r ya n dT e c h n i q u e s,():WANGSM,T E I X E I R AFL D i s p e r s i o n r e l a t i o n p r e s e r v i n gF D T Da l g o r i t h m sf o rl a r g e s c a l et h r e e d i m e n s i o n a lp r o b l e m sJ I E E ET r a n s a c t i o n so nA n t e n n a sa n dP r o p a g a t i o n,():S A X E NAAK,S R I VA S T AVAKV H i g h e ro r d e rL O D F D T D m e t h o d sa n dt h e i rn u m e r i c a ld i s p e r s i o np r o p e r t i e sJI E E ET r a n s a c t i o n so nA n t e n n a sa n dP r o p a g a t i o n,():D I N GJC An o v e l u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l eS S F D T Dm e t h o dw i t h i s o t r o p i cd i s p e r s i o nJ I E E EM i c r o w a v e a n dW i r e l e s sC o m p o n e n t sL e t t e r s,():WAN GY,WANGJ,YAOL,e ta l Ah y b r i dm e t h o db a s e do nl e a p f r o gA D I F D T Da n dF D T Df o rs o l v i n gm u l t i s c a l et r a n s m i s s i o nl i n en e t w o r kJ I E E EJ o u r n a l o nM u l t i s c a l e a n dM u l t i p h y s i c sC o m p u t a t i o n a lT e c h n i q u e s,:KU A FM,Z T O P R AKAY P a r t i a l l y i m p l i c i tF D T D(P I F D T D)m e t h o df o r l o w e rd i s p e r s i o na n da n i s o t r o p i ce r r o r sJ I E E EA c c e s s,:YANGSS,MA OCG,S UNDY S a m p l i n g r a t e o fHEMPw a v e f o r mf o r r e d u c i n gn u m e r i c a l d i s p e r s i o n i nF D T Df r a m e w o r kC/A s i a P a c i f i cI n t e r n a t i o n a lS y m p o s i u m o nE l e c t r o m a g n e t i cC o m p a t i b i l i t y(A P EMC)B e i j i n g:I E E E,:MOHAMMA D IS,KA R AM IH,A Z A D I F A R M,e ta l A s s e s s i n gt h ee f f i c a c yo faG P U b a s e dMW F D T D m e t h o df o rc a l c u l a t i n g l i g h t n i n ge l e c t r o m a g n e t i c f i e l d so v e r l a r g e s c a l e t e r r a i n sJ I E E EL e t t e r so nE l e c t r o m a g n e t i cC o m p a t i b i l i t yP r a c t i c ea n dA p p l i c a t i o n s,():L I U H H,Z HA OXY,W A N G XH,e ta l A nu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l ec o n f o r m a lL O D F D T Dm e t h o df o rc u r v e dP E Co b j e c t sa n d i t sa p p l i c a t i o n t oEM Cp r o b l e m sJ I E E ET r a n s a c t i o n so nE l e c t r o m a g n e t i cC o m p a t i b i l i t y,():(责任编辑:湛江谭彩霞)