傅里叶变换、拉普拉斯变换和伽博变换的关系.pdf

傅里叶变换、拉普拉斯变换和伽博变换，作为三种常见的积分变换，无论在数学物理的理论研究中还是在各种工程应用中，都有着极重要的价值本文以傅里叶变换为中心，从逐级修正的角度，详细阐明了三者的理论渊源关键词：傅里叶变换；拉普拉斯变换；伽博变换中图分类号：文献标识码：文章编号：（）【】众所周知，傅里叶变换最早是在傅里叶于年向法国科学学会提交却一直等到年才得以发表的一篇“热传导理论”的论文中提出的在之后漫长的岁月中，数学家和物理学家们又不断提出并发展完善了拉普拉斯变换、伽博变换、小波变换、汉克尔变换、梅林变换等各种各样的积分变换时至今日，这些积分变换已经形成了数学物理中的一个庞大的分支，并在数学、物理学、信号处理、统计学、声学、光学等众多的基础理论和工程技术领域中获得了广泛而深入的应用表面上看，各种积分变换都是将满足一定连续和可积条件的函数表示成特定的三角函数、指数函数（或其他一些特殊函数）积分的变换就数学形式而言，这些积分变换既有着明显的共同之处，也有着明显的不同那么它们彼此之间是否有什么深层的理论渊源呢？现如今，在积分变换的各种教科书中，很多积分变换各自均有较详细的论述，但关于不同变换间的关系，却鲜有论及以至于形成了众说纷纭的情形例如，对于傅里叶变换、拉普拉斯变换和伽博变换三种基本而重要的变换，常有人说傅里叶变换是最基本的变换，因为它形式最简单，也是大家最早接触的变换；但也有人说傅里叶变换不过是拉普拉斯变换的一种特殊形式，拉普拉斯变换才是更普遍的表达形式；而熟悉伽博变换的人又可以说，傅里叶变换也是伽博变换的一种特殊形式各种说法各有道理，但又似乎各有偏颇本文特选取傅里叶变换、拉普拉斯变换和伽博变换这三种变换进行深入分析我们将以傅里叶变换为核心和出发点，从逐级修正的角度，统一分析梳理三种变换之间的理论渊源，帮助读者在更深层次上理解应用打下坚实基础傅里叶变换傅里叶变换是大家最熟悉的积分变换，它的数学形式是非常简洁的傅里叶变换指出，对于在任一有限区间上满足只有有限个第一类间断点的连续性条件，且在（，）的区间上绝对可积的函数（），有如下的积分变换关系式：（）（）（）（）（）（）式（）常称为傅里叶积分式，式（）称为傅里叶变换式，式中的函数（）和（）分别称为变换的原函数和像函数仔细分析傅里叶变换的成立条件，容易发现，傅里叶变换对原函数（）连续性的要求是很容易得到满足的，但在（，）的区间上绝对可积的要求则是一个非常苛刻的条件除了人为刻意做出来的有限区间上的分段函数以外，常见的自然定义在实轴上的初等函数（多项式函数、有理分式函数、三角函数、指数函数等）都不满足这一条件这使得傅里叶变换陷入了一个非常尴尬的境地，即理论上非常重要，但应用上却无法“自然地”使用考虑到傅里叶变换在理论上的重要性，若因它不好用而放弃它是不可取的既然问题的症结在于原函数做不到在（，）区间上绝对可积，那么要 大学物理第卷应用傅里叶变换，关键就在于对原函数进行适当修正，让它可以做到绝对可积拉普拉斯变换对傅里叶变换的修正让函数做到绝对可积的最简单办法，是对函数做积分变换时，在积分中人为添加收敛因子收敛因子的形式可以有很多，但最简单同时应用范围最广泛的是的负指数形式的衰减因子比如在，）区间上，添加一个（）的因子当然这种形式的收敛因子在原函数本身就是指数函数（）时，要求；若，则超出了拉普拉斯变换的适用范围，其修正可参考下面讨论的伽博变换添加收敛因子（）并不能完全解决原函数绝对可积的问题，因为（）只适合加在，）区间上，而对于（，）区间，因子非但不能帮助收敛，还助长了发散为了避免这个问题，就需要进行第二步修正：对原函数再添加一个亥维赛阶跃函数：（）（）（）C（）从而将原函数限定成只在，）区间上取值添加阶跃函数（）对原函数（）的改动是非常大的，它直接舍弃了（）在自变量（，）区间上的取值表面上看，这似乎限制了拉普拉斯变换的适用范围，但实际上却使得拉普拉斯变换格外适合于时间上有初始值问题的研究所以应用上常将拉普拉斯变换的自变量由改为，以适合于通常的习惯至此我们清晰地看到，拉普拉斯变换是傅里叶变换经两步修正后得到的结果：第步，对原函数（）添加指数因子以使其在，）区间上绝对可积；第步，添加阶跃函数（）以消除因子在（，）区间上的发散即通过步修正（）（）（）（）（）得到拉普拉斯积分变换的最终形式：（）（，）（）（）（）（）（）其中从修正的角度明白了拉普拉斯变换与傅里叶变换的渊源之后，进一步考察原函数（），若我们需要研究它在（，）区间上的变换性质，如何调整上面的修正程序以适应拉普拉斯变换的要求，就是很明了的事情了对参数的进一步探讨在上面（）（）的修正中，除了原函数（）本身就是指数函数的情况以外，其他形式的原函数对指数衰减因子中参数具体取值的要求是不高的文献将参数能取到的下限值称为收敛横标，但多数时候的下限值是可以趋于的，所以收敛横标并没有一个严格的定义虽然在实际应用中，参数需要根据计算的方便指定一个适当大小的数，但理论上它的价值仅在于它的存在性即指数衰减因子的意义在于帮助函数积分收敛，它只需要存在即可，至于具体数值，并没有太高的要求甚至参数完全可以是一个确定的小量而这也更能体现拉普拉斯变换作为傅里叶变换修正的意义事实上，在一些量子场论的理论分析（如文献）中，拉普拉斯变换完全是作为傅里叶变换的修正而存在的，很多学者并不把拉普拉斯变换的名字明确指出来，而就认为它是一个修正的傅里叶变换伽博变换对傅里叶变换的修正前面我们看到，拉普拉斯变换是对傅里叶变换添加了一个衰减因子而得到的积分变换分析衰减因子（）的形式，很显然指数上是的一次方的形式，所以可以认为拉普拉斯变换是傅里叶变换的一级修正既然能有一次方形式的修正，自然我们也可以推广尝试二次方形式的二级修正即我们可以添加（）形式的衰减因子，对原函数（）进行修正：（）（）（）进而得到（）（，）（）（）（）这种修正方案也是一种重要的积分变换它是匈牙利裔英国数学家伽博（）于年提出来的，所以通常称为伽博变换可以看出，伽博变换中，因为衰减因子（）可以使原函数（）在第期曹贞斌：傅里叶变换、拉普拉斯变换和伽博变换的关系 整个（，）的区间上绝对可积，所以不需要再添加阶跃函数（）做进一步的修正因为伽博变换对傅里叶变换的修正只有一步，并不需要舍弃原函数在（，）上的取值，这使得伽博变换比拉普拉斯变换似乎更有优势但实际上，因子的衰减作用是非常强的，它使得函数（）只在的，的范围内具有较好的分析价值，而超出此范围后，函数的分析价值迅速变弱也就是说，伽博变换看似保留了原函数（）在整个（，）区间上的取值，但其实只有（）在，范围内的取值才有意义这就好比是在的，范围内给原函数（）开了一个变换分析的“窗口”，所以伽博变换也称为窗口傅里叶变换对“窗口”的进一步探讨“窗口”的思想是非常重要的，它改进了傅里叶变换只能在自变量全部取值范围内对原函数进行整体变换分析的缺憾，使得局域范围内（或实时）的分析成为可能最早伽博也正是为了解决函数局域分析的问题才提出伽博变换的而我们通过上面的分析，从修正角度清晰地展现了它和傅里叶变换的理论渊源式（）和（）的伽博变换只是最简单最基本的形式，参数具有表征窗口大小的作用实际应用中，还可以再引入一个参数以调节窗口的位置即我们可对原函数进行如下形式的修正：（）（）（）（）其中衰减因子（）也称为窗口函数，它表示给原函数（）开了一个以为中心且大小为 的分析窗口改变参数的取值，即可以对窗口进行移动另外，伽博变换中窗口的大小通常是固定的，这可以说是伽博变换的一个缺点，限制了它在实际中的应用改进的方案是对伽博变换继续进行修正，对窗口函数再添加一个变频的容许条件而这便是在各种工程技术领域广泛应用的小波变换了从伽博变换到小波变换的修正思想超出了本文讨论的主线，我们将在后续文章中详细探讨总结本文我们从逐级修正的角度，在数学形式上详细地梳理清楚了拉普拉斯变换和伽博变换与傅里叶变换之间的理论渊源可以看出，拉普拉斯变换和伽博变换分别是傅里叶变换的指数形式的一级和二级的修正，而傅里叶变换才是积分变换核心思想的真正承担者明白了这一点，如果有需要，进一步对傅里叶变换进行三级、四级甚至更高级别的修正自然也不是什么难事但因为二级修正已经使函数衰减过快，而三级、四级等的修正无疑衰减得更快，所以实用价值也就更小了同时，明白了傅里叶变换的核心地位，对我们进一步深入理解傅里叶变换，作为一种无穷维幺正变换，在量子场论的路径积分（也称泛函积分）和其他理论学科中发挥的基础作用，也有着巨大的促进作用参考文献：梁昆淼数学物理方法 版北京：高等教育出版社，吴崇试，高春媛数学物理方法 版北京：北京大学出版社，顾樵数学物理方法北京：科学出版社，（，）：，：；