描述流体运动的LagrangeEuler方法.ppt

One line title(two lines possible),Click to edit Master text styles,Second level,Third level(suggestion:avoid going beyond third level for the On Site Review Presentation-your stuff may be too detailed for the audience and hard to read in the back of the room),Fourth level,*,/28,流体力学的三种分析方法：,控制体分析法,微分分析法,量纲分析法,第,1,章 流体运动学,(,流体运动的描述与连续方程,),1.1,描述流体运动的方法,1.2,迹线与流线,1.3,流体流动基本方程积分式,雷诺输运公式,1.4,微分形式连续方程,1.5,流体微团的运动分析,1.6,有旋流动与无旋流动,1.1,描述流体运动的方法,1.1.1,拉格朗日方法,1.1.2,欧拉方法,1.1.3,欧拉方法的加速度表达式,*1.1.4,两种方法的相互转换,第,1,章 流体运动学,(,流体运动的描述与连续方程,),1.1.1,拉格朗日方法,根据连续介质的假设，流体由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。,拉格朗日方法与欧拉方法。,Lagrange,方法（质点法）,在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（迹线）,1.1,描述流体运动的方法,用如下方程描述质点（,a,b,c,）所经历的轨迹：,x=x(a,b,c,t),y=y(a,b,c,t),z=z(a,b,c,t),其中，,a,b,c,为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，为,t,0,时质点的初始坐标,;,t,表示时间。,a,b,c,t,称为拉格朗日变数。,a,b,c,给定，表示指定质点的轨迹。,t,给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。,上式就是质点以（,a,b,c,）为参数的轨迹方程。,1.1,描述流体运动的方法,1.1.1,拉格朗日方法,对于给定的流体质点,(,a,b,c),质点的坐标是时间,t,的函数，,速度表达式是：,流体质点的加速度为：,这里使用偏导数是因为轨迹坐标同时是质点标号和时间的函数；,但求导时要求,a,b,c,固定不变，即求导是针对同一流体质点的。,1.1.1,拉格朗日方法,1.1,描述流体运动的方法,流体质点的其它物理量也都是,a,b,c,t,的函数。例如流体质点（,a,b,c,）的温度可表为,T(a,b,c,t),Euler,方法（流场法）,拉格朗日方法是传统的方法，看似简单，但跟踪流体质点很困难，且往往不能用统一的函数描述所有质点的参数的变化。,欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过时的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。,但在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。,1.1.2,欧拉方法,1.1,描述流体运动的方法,其中，,x,y,z,为空间点的坐标，,t,表示时间。,x,y,z,t,称为欧拉变数，是四个相互独立的变量,。,x,y,z,给定，,t,变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。,t,给定，,x,y,z,变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。,1.1,描述流体运动的方法,在固定空间点很容易记录流过空间点的不同质点的速度：,1.1.2,欧拉方法,上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为,欧拉法。,应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体微团所具有的速度。,2.1,描述流体运动的方法,即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流场，如图就是用某时刻下速度的空间分布描绘的一个速度场。,一个速度场,1.1.2,欧拉方法,一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，还有,压强场,。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个,密度场,和,温度场,。这都包括在场的概念之内。,1.1,描述流体运动的方法,如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为,定常场,，否则为,非定常场。,1.1.2,欧拉方法,用欧拉法描述一般的非定常流场时，关于加速度要强调两点：,A,（,x,，,y,，,z,）点上,t,瞬时流体,微团的速度是时间的函数，所以速度可以随时间,变化；,原,在,A,点的微团经,t,后到了,B,点，若,B,点的速度与,A,点的不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化。,1.1,描述流体运动的方法,1.1.3,欧拉法的加速度表达式,设,t,瞬时，位于,A,（,x,，,y,，,z,）的一个微团具有速度,u,，,v,，,w,。其中：,u,记为,经,t,时间后,该微团移动到,u,记为,1.1,描述流体运动的方法,1.1.3,欧拉法的加速度表达式,得,此式右侧第一项是微团在,（,x,，,y,，,z,）,处其速度随时间的变化率，即,当地加速度,。后三项是由于微团流向速度不相同的邻点而出现的速度变化率，即,迁移加速度,。,1.1,描述流体运动的方法,1.1.3,欧拉法的加速度表达式,联系雷诺输运公式,-01-3A,系统与控制体,2014,年,2,月,10,日,算子：,往往用符号 表示。这个导数称为随流体运动的导数，称,质点导数、随体导数,或,物质导数,。,从而上述加速度可以写成：,同理：,1.1,描述流体运动的方法,在不引起误会的条件下，也有将随体导数 表为 的。,随体导数与全导数实质上是瞬时统一的，前者采用场的表示方法，后者采用质点运动学的表示方法。,1.1.3,欧拉法的加速度表达式,需要指出，上述加速度仍然是空间坐标和时间坐标四个独立变量（,x,y,z,t,）的函数：,将上三式分别乘 再相加可得加速度的向量式：,1.1,描述流体运动的方法,1.1.3,欧拉法的加速度表达式,试试展开,1.1,描述流体运动的方法,1.1.3,欧拉法的加速度表达式,复合求导,01-1A1 Lagrange-Euler,方法自变量和基本因变量,Euler,加速度,.docx,已知,Lagrange,坐标 速度,Euler,速度,1.1,描述流体运动的方法,1.1.3,欧拉法的加速度表达式,复合求导,则,Euler,加速度,1.1,描述流体运动的方法,1.1.3,欧拉法的加速度表达式,复合求导,1.1.4,两种方法的相互转换,1.1,描述流体运动的方法,1 LagrangeEuler,已知,Lagrange,运动轨迹,则,Lagrange,速度,Lagrange,加速度,1.1.4,两种方法的相互转换,1.1,描述流体运动的方法,Euler,速度求解：,由 反解出 代回到,Lagrange,速度,得,Euler,速度,1 LagrangeEuler,1.1.4,两种方法的相互转换,1.1,描述流体运动的方法,Euler,加速度：,由,Euler,速度得,Euler,加速度：,或者像由,Lagrange,速度得到,Euler,速度那样，由,Lagrange,加速度得到,Euler,加速度：,即将轨迹的逆 直接代到,Lagrange,加速度 得,Euler,加速度,1 LagrangeEuler,1.1.4,两种方法的相互转换,1.1,描述流体运动的方法,1 LagrangeEuler,01-1A2-1 Lagrange-Euler,转换,-,举例,.docx,1.1.4,两种方法的相互转换,1.1,描述流体运动的方法,2 EulerLagrange,已知,Euler,速度,为了求,Lagrange,表达式，必须先假定质点运动规律：,1.1.4,两种方法的相互转换,1.1,描述流体运动的方法,2 EulerLagrange,将,(2),代入,(1),即得以,a,b,c,标认的质点在,t,时刻运动到空间,(x,y,z),处的速度：,另一方面，,Lagrange,下速度还表示为：,1.1.4,两种方法的相互转换,1.1,描述流体运动的方法,2 EulerLagrange,(4),与,(3),相同，得：,上式中,a,b,c,只作为参数，偏微分方程实际上是常微分方程：,1.1.4,两种方法的相互转换,1.1,描述流体运动的方法,2 EulerLagrange,设常微分方程的解为：,其中,C1,C2,C3,为积分常数。,对于在,t=t0,时处在,x=a,y=b,z=c,的质点，有：,1.1.4,两种方法的相互转换,1.1,描述流体运动的方法,2 EulerLagrange,解,(8),得由,a,b,c,表示的,C1,C2,C3,代入,(7),，得到,Lagrange,下运动规律：,直接对上式求导可得,Lagrange,速度和加速度；,或者将,(9),代回,(1),得,Lagrange,速度。,1.1.4,两种方法的相互转换,1.1,描述流体运动的方法,2 EulerLagrange,01-1A2-2 Euler-Lagrange,转换,-,举例,.docx,