第四讲多维随机变量及其联合分布.doc

多维随机变量及其联合分布

一、主要内容
1．二维随机变量及其联合分布
注意其分量 或 的分布，同时也要注意由于交互作用所产生的概率效果。
如果令，，则=，（交运算）
二维离散型随机变量的概率分布，用二维联合分布律讨论。
满足：a)非负性≥0，； b)规范性=1 。
二维连续型随机变量的概率分布用联合概率密度（简称密度函数）讨论，
满足：a) 非负性：≥0，；
b) 规范性：，
。
分布函数为：= ，（所有随机变量都可用）
分布函数的性质。
例1. 设随机变量与独立，其中的分布为 ，而的概率密度函数为，求随机变量=+的概率密度g(u)。
解：由于为离散型随机变量，为连续型随机变量，故只能用分布函数讨论的分布。由定义，设为的分布函数，则 ，有

=
=
利用与的独立性，可得

求导后有 。
二维连续型随机变量分布函数与密度函数的关系：
= 由密度函数求分布函数（难点）：
由分布函数求密度函数（注意边界）
常用二维随机变量：均匀分布、正态分布、两个独立一维所构成的
二维正态分布或

例2.试求在区域D上服从均匀分布的随机变量的联合分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域。
分析：分段密度函数时一定要分清需要积分的区域，故一般先画个草图，标出非零的密度函数，然后分不同情况观察 落在给定的左下方平面区域内的概率，从而标出 的值。
解：首先计算区域D的面积，区域D是边长为1的三角形，其面积为，故的联合密度函数为：，

下面分5种情况讨论：
1）当时，，于是有联合分布函数；
2）当时，如图所示
；
3）当时，如图所示

；
4）当时，如图所示
；
5）当时，，
综合起来，的联合分布函数为：
。
例3．设二维随机变量的密度为 ，试求分布函数以及概率 。
分析：由密度函数求分布函数可以按上例的分析先作图，再积分来求解；
在计算随机变量满足某种关系的概率时可用密度函数积分，而随机变量关系则反映在其积分区域上。
解：这里分为5种情况考虑，即

用密度函数积分计算概率。
。

注：积分时符号对应，且 。

2.边缘分布，条件分布及独立性
1）边缘分布
已知二维分布时，易求边缘分布，反之一般不行；
当，独立时，可由乘法运算求得二维联合分布。
离散型随机变量的联合分布律为： ，
则其边缘分布为： ， 。
连续型随机变量的联合密度函数为 ，则：，
。
联合分布函数为，其边缘分布则为：，
。
2）条件分布（利用二维分布与事件交的关系来定义）
对于离散型随机变量，当时

对于连续型随机变量，条件密度函数，。
（分母不能等于0，换句话说，分母为0时条件密度函数不存在。）
例4．设随机变量在{1，2，3，4}中等可能地取值，而随机变量在中等可能地取一整数值，求的联合分布及边缘分布。
分析：本问题的特殊处在于在中取值，但是随机（不确定）的。对此类问题有时可以用条件概率分析，如：若 ，则就在{1，2，3}中等可能地取整数值，这时问题就比较清楚了。
解：考虑= ，
其中 ，由于 ，而当 时 ，当 时， ，于是可有联合分布律和边缘分布：

1
2
3
4

1

2
0

3
0
0

4
0
0
0

1

X
1
2
3
4
P

Y
1
2
3
4
P

例5．设随机变量在区间（0，1）上可以随机取值，而当取到时，则在（）上随机取值，试求：1.（，）的联合分布；2.的边缘分布；3.。
分析：此题与例7相似，但此处是连续型的问题。
解：由题意 ，
而当时， 。
这样当时 。
注：当时，由于条件密度无定义，故要另外设法证明。
而当时，由于，
故 。
另外当时，由于

故。
另外添上时的情况以后可以有 。的边缘分布易于从积分求得：
。而概率亦可由积分求出：

例6.把一枚均匀硬币连抛三次，以表示在三次中出现正面的次数，表示在三次中出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，试求的联合概率分布；，的边缘分布及条件概率。
解：当连抛三次出现三次反面时，的取值为；出现一次正面两次反面时，的取值为；出现两次正面一次反面时，的取值为；出现三次正面时，的取值为，则
；；
；。
所以，的联合概率分布为：
Y
X
1
3
0
0

1

0
2

0
3
0

，的边缘分布分别为：
X
0
1
2
3
P

Y
1
3
P

条件概率.
例7．设的密度函数为

试求其边缘密度与条件密度函数。
分析：求边缘分布应先画出平面上不等于0的部分，再援引公式 ，如密度函数为分段函数，应据等于常数的直线是否与阴影部分相交，把分成几个区域进行讨论。求条件密度应注意当不等于0时才有定义。
解：边缘密度为：

注意：要求，故只考虑。
== ；
类似当 时， 。
注意：1）分段二维密度的边缘分布表达式不能漏掉0的部分；
2）条件分布必需注意何时才有意义。
3）独立性（，间独立性几种等价定义）（联合=边缘之积，条件=无条件）
a） 的条件分布等于边缘分布。
b） = ， 。
c）连续时= ， ；
一般密度函数可变量分离：，则和相互独立。
d）离散时，= ， 。
例8．已知的分布分别为 ， ，且，求的联合分布，并问独立否？
分析：条件等价于 ，且零概集的子集仍是零概集，推出均为零概集。
解：由于，从而 ，
得到分布律：

-1
0
1

0

0

1
0

0

1

注：“零概集的子集仍是零概集”这一性质常用于计算题或证明题的讨论，在使用时请注意零概集与空集的区别，即 ；但若，不能推出。
例9．设的密度函数为 ，试证，独立的充要条件为可分离，即存在 使对任意，有=。
证：必要性显然，下面只证充分性。
假设=，则= ，
已知=，则必收敛，且= ，
同理，=，
则有 =。
由二维密度规范性，有 1==。
代入上式，就知 == 对任意均成立，
故，独立，证毕。
注：本例结论可以作为平时判独立性的一种方法，但对分段的必需同时注意其函数表达式以及范围的乘积关系。

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