理论物理群论答案.doc

The first assignments about Group Theory (2012)
1，List the conditions for a set to form a group, and verify the set for whole complex numbers but zero construct a group according to multiplication rule; and the set for whole complex numbers including zero construct a group according to addition rule.
解：一个集合构成一个群的条件是
（1） 集合中有唯一的单位元e,对于集合中的任意元素f ,都有ef=fe=f
（2） 满足群的封闭性；对于集合中的任意两个元素f,g, 如果有fg=h,则h也在集合中
（3） 满足结合律；对于集合中的任意元素f,g,h,都满足(fg)h=f(gh)
（4） 满足集合中的每个元素都存在逆元素。
对于除去0以后的全体复数组成的集合必定满足群的封闭性和结合律（因为每个元素都是数字），同时存在唯一的单位元素1，而且对于每个元素都存在其逆元素.即同时满足群的四个条件，构成一个遵循乘法规则的群。
对于全体复数组成的集合必定满足群的封闭性和结合律（因为每个元素均为数字），同时集合中存在唯一的单位元素0，满足0+a=a+0=a(a为集合中的除0外的任意元素)，而且对于每个元素a具有它的逆元素-a,a+(-a)=(-a)+a=0。即同时满足群的四个条件，构成一个遵循加法规则的群。

2，Find the similarity transformation to diagonalize the following matrices
(1), (2),
解：（1）设矩阵的本征值为，则矩阵的本征方程为；
解得到三个本征值
设本征向量为；
当时，；
可以得到，令，得到一个本征向量
。
同理，当时，可求得一个本征向量；
当时，可求得一个本征向量；
所以相似变换的矩阵为；
得到的对角化的矩阵为；
解：（2）设矩阵的本征值为，则矩阵的本征方程为

得到本征值为
设本征向量为
当时，，
；令，可以得到一个本征向量为。
当时，可以得到一个本征向量为
所以相似变换的矩阵为，
变换后的对角化矩阵为

3，Demonstrate that the three roots of equation, , construct a group called according to the general product rule. Extend above conclusion to set of roots of equation,
.
证明：方程的三个根为
它们组成一个集合M=
通过计算有，记，则，；
集合中存在唯一的单位元1；
的逆元素为1，在集合中M中；
的逆元素为，在集合M中；
的逆元素为，在集合M中。
所以M中每个元素都存在逆元。
集合中的每个元素，均为数字，必然满足乘法计算的结合律
同时又有；在集合M中；
；在集合M中；
在集合M中。即任何两个元素的乘积都是集合M中的一个元素。
所以M满足群的定义，是一个群，我们记为，即是一个群。
推广上面的结论：
将3变为n时，方程有n个根，同样满足在方程的根组成的集合中每个元素存在逆元；集合中存在唯一的单位元1；满足乘法计算的结合律；而且满足任何两个元素的乘积是集合中的一个元素。满足群的定义，记为