球的表面积和体积导学案.doc

§1.3.2 球的体积和表面积
班级：_______姓名：_______
教学目标
1、知识与技能：推导球的体积和面积公式，了解推导过程中所用的基本数学思想方法；运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
2、 过程与方法：通过球的体积和面积公式的推导，掌握“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
3、 情感与价值观：提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
教学设计
一、复习引入：
1、问题情境
已知ABB1A1是圆柱的轴截面，AA1＝a，AB=，P是BB1的中点；一小虫沿圆柱的侧面从A1爬到P，求小虫爬过的最短路程．

2、、学生活动
观察下图，试配对：A B C ．

3、听写柱体、锥体、台体的体积公式；圆柱、圆锥、圆台的表面积公式。

4、问题：球是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求球的表面积和体积呢？

二、知识探究
（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定？

思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么？
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？

思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？

思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的体积 ，这是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗？

（二）:球的表面积
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？

思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么？

思考3:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么？它们的体积之和近似地等于什么？

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思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式是什么？

思考5:经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？

三、典例分析
例1 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的2/3；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.

例2 有一种空心钢球，质量为142g（钢的密度为7.9g/cm3），测得其外径为5cm，求它的内径（精确到0.1cm）

例3 已知A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积.

例4 已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.

拓展1：若正方体的边长为a，求正方体的内切球的半径
拓展2：若正四面体的边长为a，求正四面体的内切球的半径
拓展3：若正四面体的边长为a，求正四面体的外接球的半径

四、巩固深化、反馈矫正
1、正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。

2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。

五、课堂学习小结

六、练习：课本练习28页 1，2，3.
作业：
1、填空题
（1）若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；

（2）把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；

（3）正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是
．
2、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，求这个球的表面积。

3、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。

4．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。

5、已知圆锥有一个内接圆柱，此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥的底面半径，且圆柱的全面积∶圆锥的底面积=3∶2. 求圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比．

6、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，，并且；
求沿着长方体的表面自A到C1的最短路线的长．

7、课本29页 习题1.3 B组 1

七、自我评价：