009高考数学点拨精华：运用韦恩图解题“三层次”.doc

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运用韦恩图解题“三层次”

由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次：识图——用图——构图．
一、识图
是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示．
例1 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
(A) （M∩P）∩S
(B) （M∩P）∪S
(C) （M∩P）∩I S
(D) （M∩P）∪I S
解：阴影部分是M与P的公共部分(转化为集合语言就是M∩P)，且在S的外部(转化为集合语言就是I S)，故选(C)．
例2 用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的表达式是（ ）
(A) (A∪B)－(A∩B)
(B) U (A∩B)
(C) (A∩UB)∪(UA∩B)
(D) U (A∪B)∩U (A∩B)
解：阴影有两部分，左边部分在A内且B外(转化成集合语言就是A∩UB)，右边部分在B内且A外(转化成集合语言就是UA∩B)，故选(C)．

二、用图
例3设U是全集，非空集合P、Q 满足PQU，若含P、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______（只要写出一个表达式）.
解 将集合语言用韦恩图表示，
如图1，极易得到其多种答案：
⑴UQ∩P；
⑵P∩(UP∩Q)；
⑶UQ∩(P∪Q)；等等.
例4 已知全集I＝N*，集合A={x│x=2n，n∈N*}，B={x│x＝4n，n∈N*}，则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
解：根据题意，易得BA，画出韦恩图
(如图2)，显然I＝A∪IB，故选(C)．
例5 设全集U ＝{x|0＜x≤10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩UB＝{1，5，7}，UA∩UB＝{9}，求A，B．
分析：本题关系较为复杂，由推理的方法较难，而用韦恩图，则显得简捷．
解：由U ＝{1，2，3，…，9}，据题意，画韦恩图，如右图，易得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．

三、构图
对于某些应用题，若能构造韦恩图求解，可使问题变得简单明了．
例6 某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？
解：设全集U＝{某班50名学生}，A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的学生}，则由韦恩图知，既不会英语又不会日语的学生有：50－22－14－6＝8(人)．

例7 50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确有40人，化学实验做得正确有31人，两种实验都做错的有4人，问这两种实验都做对的有多少人？
解：设全集U ＝{做理化实验的50名学生}，A＝{做对物理实验的学生}，B＝{做对化学实验的学生}，A∩B＝{两种实验都做对的学生}，并设Card(A∩B)＝x，则由韦恩图(图略)，知 40－x＋x＋31－x＋40＝50，解得x＝25．
即两种实验都做对有25人．

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